一 救学救学 年第 期
抛物线与费马数的有趣联系
甘肃省金昌市第一 中学 董安林
一 、 相关背景
费马在 年给梅森的一封信中断言“形如
” 十 的数永远是素数” 虽然 年欧拉推
翻了费马这个关于素数的结论 , 但好像从它诞生
之 日起 , 就注定了它是数学的焦点之一 , 人们不
厌其烦地寻找它 , 探索它 最新成果是 年
月 发现凡 盯是合数
·
二、 相关概念
费马数 形如 ” 的数叫做费马数 记
凡 ” , , , , ,
·
⋯
费马数列 通项公式为 。。 “ 任
的数列叫做费马数列
·
辗转相交法 如图 , 抛物线沪二 却工 伽
, 口是其顶点 , 轴是其对称轴 , 、 几是其上
异于 的两个不同的点 , 几 , 几 门
轴 是 二轴上的任意一点 , 连结 并
延长交抛物线于点几 , 连结几尸并延长交抛物
线于点 , 几 门二轴二 再连结 并
延长交抛物线于点 , 连结几 并延长交抛物
线于点几 , 几 门 二轴 再连结 、
几 , 构造几 、 凡 , 依次类推 , 可得点列 、
、 、 、 · ⋯
我们把这种方法叫辗转相交法
, 几
可视为费马数的几何意义
推导 因为抛物线沪 一 可由抛物线
沪 二 平移得到 , 所以不妨先研究抛物线沪二
, 如图
设只 ‘, 从 其中 ‘ 尹 , 从 尹 , ‘任
再设 , 、 , 、 ‘ ‘, , 葱任
’ ’ 一 几 ,
⋯ 夕 脚 , 犷述 , , ,
叭
·
功 一
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
⋯⋯ ①
设直线 几 的方程为 二 , 。 , 代入沪二
, 可得 , 一 , 一
叭
·
夕 二 一
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⋯⋯ ②
⋯ , 即 ,
设 几 夕 , 几几
联立
,
夕 ,
,
,
一 , 一 , , 一 , 一
③④
·
如 一 ,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⋯⋯
脚 一
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⋯⋯
④得 夕
’
夕
·
如
·
驹
夕夕卜得得脚⑧
丫 · 珑 一乌
二 加
’
如 二 一一 ⋯⋯
设几几 夕 , 代入沪 得
夕 一 夕一 ,
’ 加
·
由 ⑥、
如 二 一
· · · · · · · , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
⋯⋯ ⑧
⑧可得 答
,
, 答
, 。
一一
好一同样的作法 , 可得 二
一一
一砂
图
三 、 性质及其推导
性质 对抛物线沪 二 一 实施辗转相交
法 , 所得点列 。 的横坐标成费马数列 , 即
。 ” 〔 ,
护
,
口
口
了竺、’
丝 坦
杀
, 即 ” 几
件 一
“
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年第 期 救学救学 一夕
, , 一
, 一
, 一 ·
故。 , , 一 ,
沙 尹 , 一
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⋯⋯
将式 、 代入 , 立即可知 是正整数
从而 △ 为本原海伦三角形
②必要性 按照舒伯特构造海伦三角形的
方法 , 因为 △ 为海伦三角形 , 容易看出 参
、 、
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。 廿 二
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之
刀 乙
一 、 二 月
二二二 二公二二 ‘二艺 证毕
几
定理 给出了本原海伦三角形的一般形式
三角形的三边长 、 万、 与面积 、 外接圆
半径 有如下熟知的关系
本原海伦三角形的三边长由式 确定 , 代
入上式 ,得
、 , 、 二 ‘二 , ⋯
,
见又 , 二 、 二 均为有理双 从血仔往
芯 乙
、 任 , , , , 使得
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产
,
公式
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一
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一一
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峪护 , 毛山
一
’
少 一
沙 尹
’
又因为
, 得
一
由 可知
根据正弦定理容易看出 , 以 护 、
、 一 为三边的三角形
必与 △ 相似 注意到 △ 的三边长互
素, 可设 。为 、 与
一 的最大公因数 , 则 △ 的三边
定理 本原海伦三角形的外接圆半径不可
能是整数
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
分两种情况讨论
① 当 、 、 、 均为奇数时 , 因为 ,
, , , 故
一
与 是偶数 , 且均
不能被 整除 从而 尹 不能被
整除 另一方面 , 根据式 或 , 可知 为偶
数 , 故 。能被 整除 由式 知 不是整数
② 当 、 、 。、 不全是奇数时 , 因为 ,
, , , 故 与 一奇一偶 , 或 与 一奇
一偶 从而 不能被 整除 但
。能被 整除 同样由式 可知 不是整数
证毕
定理 说明完美海伦三角形不存在
参考文献
【 沈康身 数学的魅力 上海辞书出版
社 年 月
上接第 于 页
令 , 即取点 为 , 点
因为 , 所以 。 ” , 即 。 ” ,
现在我们将抛物线沪二 二所在的坐标系的 ,
轴向左平移 个单位 , 则抛物线变成了沪 一
, 点 的坐标变成了 , , 点尸的坐标变成了
, , 此时我们有 。 ” , , 即 。 凡 , ,
“ 任 , 凡为费马数
,
拓展 若上述抛物线方程改为沪二 伽
令互一 , 贝。。。 一
·
入 ” 经平、入
、、
, 用同样方法作 ‘ ‘ ,
‘ 几
, 则 即 , 是
任意点 , , 则有 。 几 一
。 ”
’ 一 ,
移 , 抛物线沪 一 对应 。二
·
妒 ”
我们不妨将它称作广义费马数
四 、 几点想法
或许数论可以和几何学更加有机地融合
或许其他圆锥曲线中也有类似的关系
希望广义费马数有一定的发展前景
参考文献
【 李文林 数学史教程 高等教育出版社
年 月
·
全 日制普通高级中学教科书
·
数学
·
第二
册 人民教育出版社 年 月
浙公网安备 33021202002483