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极坐标计算二重积分

极坐标计算二重积分极坐标计算二重积分一般分为两种方法，即先对 求，再对求积分，和先对求，再对 求积分。一、先对 求，再对求积分先在[ ,  ]上选取一个固定的值，在此积分域内，从 1( )   穿进积分域，从 2 ( )   穿出。即 1 2( ) ( )      ，然后再固定 ，得的范围为[ ,  ]。则 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) D f d d f d d         ...

极坐标计算二重积分一般分为两种方法，即先对 求，再对求积分，和先对求，再对 求积分。一、先对 求，再对求积分先在[ ,  ]上选取一个固定的值，在此积分域内，从 1( )   穿进积分域，从 2 ( )   穿出。即 1 2( ) ( )      ，然后再固定 ，得的范围为[ ,  ]。则 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) D f d d f d d                           几种积分区域的情况 (1) . 1 2( ) ( )          2 1 ( ) ( ) ( cos , sin )d f d               (2). 20 ( )        2 ( ) 0 ( cos , sin )d f d             (3). . 0 2   0 ( )    2 ( ) 0 0 ( cos , sin )d f d           关键是定出的范围，及确定出 1( )  和 2 ( )  的表达式。 的确定：从极点出发，画两条射线，使积分区域完全包含在这两条射线所组成的区域内，且些两条射线与积分区域的边界必须有交点，若找不到这样的射线，则的范围是[0,2 ] 的确定：根据积分区域正确确定 ( )  ，同时注意将直角坐标下的方程，转化为级坐标下的方程。例题 1. 在伋坐标下把二重积分化为先对 r 再对的累次积分，区域Ｄ为 2 2 2:{( , ) | }D x y Rx x y R   ，f在Ｄ上连续。如图：当 2 2     时，从 cosr R  进入积分域，从 r R 穿出，即 cosR r R   当 3 2 2    时，从 0r  进入积分域，从 r R 穿出,即0 r R  3 2 2 cos 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) R R R D f x y d d rf x y dr d rf x y dr                注意：在不同的取值范围内， 1( )  ， 2 ( )  的表达式不同将二重积分在极坐标下化为先对 r后对的累次积分的步骤： 1. 先确定的范围，即从极点出发画两条射线，使积分区域完全包含在这两条射线组成的区域内，若找不到这样的射线，则的范围是[0,2 ]。一般的范围较易确定，可直接写出有时则须根据曲线的方程来确定。 2. 1( )  ， 2 ( )  的确定，在[ ,  ]上确定一角度，以此角度从极点引一条线，当此线进入积分区域时，此线与积分区域最行接触的曲线为 1( )  ，穿出时，最后离开的曲线为 2 ( )  ，需注意，在不同范围内， 1( )  与 2 ( )  的表达式会不同，此时须将积分区域分割，然后分区域进行积分 3. 确定了 r与的范围，则二重积分就很容易写出： 2 2 1 1 3 3 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) ... ( cos , sin )n n D f r r rdrd d f r r rdr d f r r rdr d f r r rdr                                           上述公式用于需分区的情况 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin )d f r r rdr           （此公式用于不需要分区域的情况）二、先对后对 r积分如图：先在[a,b]上选取一个固定的 r 值，在此积分区域内，从 1( )   进入积分区域，从 2 ( )   出来，即， 1 2( ) ( )      而 r 的范围是 [a,b] 则 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) b a D f d d f d d                         此方法由于积分十分繁琐一般很少使用。例 2，在极坐标下把二重积分 ( , ) D f x y d 化为先对，再对 r的累次积分，积分区域Ｄ为： {( , ) | 0 1;0 1}D x y x y     。解：由下图知，0 2r  当0 1r  时，从 0  进入积分区域，从 2   出积分区域，即0 2   当 1 2r  时，从 1 arccos r   进入积分区域，从 1 arcsin r   出积分区域。即 1 1arccos arcsin r r   于是： 1 1 2 arcsin 2 10 0 1 arccos ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin )r rD f x y d dr rf r r d dr rf r r d             

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