-第PAGE4页北京工业大学经管学院期末试卷《离散数学》（A）学号姓名：成绩一、单项选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（每题2分，共18分）1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．P→QB．P∨QC．P∧QD．P∧Qp→q，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。“→”与此题无关2.关于命题变元P和Q的极大项M1表示(C)。书P15-P20，此题换作p、q更容易理解A.┐P∧QB.┐P∨Qp∨┐q----01----1-----M1C.P∨┐QD.P∧┐Q3.设R（x）：x是实数；S（x,y）：x小于y。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（ D ）4.在论域D={a,b}中与公式（）A（x）等价的不含存在量词的公式是（ B ）A.B.C.D.5．下列命题公式为重言式的是（ C ）A．Q→（P∧Q）B．P→（P∧Q）C．（P∧Q）→PD．（P∨Q）→Q牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况6.设A=｛1，2，3｝，B=｛a,b｝，下列二元关系R为A到B的函数的是(A)A.R=｛<1,a>,<2,a>,<3,a>｝B.R=｛<1,a>,<2,b>｝C.R=｛<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a>｝D.R=｛<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a>｝7.偏序关系具有性质（ D ）背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设R为实数集合，映射则是(D).(A)单射而非满射(B)满射而非单射(C)双射(D)既不是单射也不是满射.书P96.设函数f：A→B（1）若ranf=B，则f是满射的【即值域为B的全集，在本题中为R，该二次函数有最高点，不满足】（2）若对于任何的x1,x2∈A,x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的【即x,y真正一一对应，甚至不存在一个y对应多个x。显然，本题为二次函数，不满足】（3）若f既是满射的，又是单射的，则称f是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】二、填空题（每空2分，共22分）１.设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，
,∈S,*=,则*运算的幺元是_____<1,0>_____。∈S,若a≠0，则的逆元是______<1/a,-b>______。书P123定义２.在个体域D中，公式的真值为假当且仅当__某个G(x)的真值为假__，公式的真值为假，当且仅当__所有G(x)的真值都为假__。３.给定个体域为整数域，若F（x）：表示x是偶数，G（x）：表示x是奇数；那么，是一个永真式；而是一个永假式。４.设{,,,,,}；s(R)={,,,}。书P89、P85.自反闭包：r(R)=RUR0={,}U{,,,}={,,,,,}对称闭包：s(R)=RUR -1={,}U{,}={,,,}传递闭包：t(R)=RUR2UR3U……５.设X={1,2,3},Y={a,b}，则从X到Y的不同的函数共有___8___个.书P96，B上A的概念：设Ａ、Ｂ为集合，所有从Ａ到Ｂ的函数构成集合ＢA，读作“B上A”如果|A|=m，|B|=n，m、n不全是0，则|BA|=nm即，若题中给出集合A有m个元素，B有n个元素，可直接用nm计算出A到B的函数个数。本题中为23=8６.设a,bG，则（a-1）-1=a，（ab）-1=b-1*a-1。书P139公式7.设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={<1,2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则fg=__{<1,3>,<2,1>,<3,1>}___，gf=__{<1,3>,<2,3>,<3,2>}__。书P82-83合成：FG={|xGz∧zFy}需要说明的是，这里的合成FG是左复合，即G先作用，然后将F复合到G上。之前的答案“有误”，因为采用了右复合。这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的，但两个定义都是合理的，只要在体系内部采用同样的定义就可以了。总之，在咱们的离散里牢记左复合。三、计算题（每题9分，共36分）设集合A＝{1,2,3,4,5}，A上的关系R＝{<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}画出R的关系图；问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书P87表格，根据关系图可直接判断性质……给出R的传递闭包。R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R2=RR={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R3=R2R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}……所以，t(R)={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>} 2.集合S={a,b,c,d,e}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆 元。*abcdeabacccbabcdeccccccdedcbaedecdb幺元：b零元：c逆元：a-1=a,b-1=b,d-1=d,e-1=e书P123定义3．求合式公式A=P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。A=P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))=P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))=P→((┐P∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))=P→(Q∧P)=┐P∨(Q∧P)=(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)=(cP∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)=m0∨m1∨m3成真赋值为00，01，114．求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？完全平方数的个数：10002=1000000，所以有1000个（即1到1000）完全立方数的个数：1003=1000000，所以有100个（即1到100）既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：106=1000000，所以有10个（即16到106）所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10)=998910四、证明题（每题8分，共24分）1．若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）2．给出关系不满足对称性的条件并证明。∃∈R∧∉R⇔∃∈R∧∉R⇔┐∀(∈R∧∈R)3．如果关系R和S为X上的等价关系，证明：R∩S也是X上的等价关系。(1)自反设x∈X【推∈R∩S】∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的自反关系∵x∈X∴∈R,∈S∴∈R∩S∴R∩S在X上是自反的(2)对称设∈R∩S【推∈R∩S】∵∈R∩S∴∈R,∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的对称关系∴∈R,∈S∴∈R∩S∵此时∈R∩S∴R∩S在X上是对称的【∈R∩S时，必有∈R∩S】(3)传递设∈R∩S，∈R∩S【推∈R∩S】∵∈R∩S∴∈R,∈S∵∈R∩S∴∈R,∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的传递关系∴∈R,∈S∴∈R∩S∵此时∈R∩S，∈R∩S∴R∩S在X上是传递的【∈R∩S，∈R∩S时，必有∈R∩S】综上所述，R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系书P90等价关系：自反、对称、传递偏序关系：自反、反对称、传递因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系，一般需分为三个性质分别证明，同时，题目条件中若给出等价关系或偏序关系，也可分为三部分选择使用。这类题条件较多（自己设的、题目推的），一定要思路清晰，否则容易写乱自己绕不出来……这道题三部分每个部分所设的条件都是该性质定义里的“若”，想要推出定义里的“则”，即用定义证明。这就是思路很重要的一部分。
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