《基本初等函数的导数》教学
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【引入新课】问
题
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1：求函数在处的导数的步骤是什么？
答案
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：第一步，计算，并化简；第二步，若存在，求；第三步，得到.问题2：函数在处的导数的几何意义是什么？答案：函数在处的导数就是曲线在处的切线的斜率k0，即.问题3：求函数的导数的步骤是什么？答案：第一步，计算，并化简；第二步，若存在，求；第三步，得到.【探究新知】问题1：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？如何求函数的导数？答案：因为所以所以追问1：若
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示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？答案：如图，若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.追问2：若，你能发现它的导数与函数之间的关系吗？答案：若则问题2：如何求函数的导数？答案：因为所以所以追问：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？答案：如图，若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.问题3：如何求函数的导数？答案：因为所以所以追问1：的几何意义是什么？答案：如图，表示函数的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，越来越小，减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，越来越大，增加得越来越快.追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？答案：若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速直线运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.问题4：如何求函数的导数？答案：因为所以所以追问：的几何意义是什么？答案：如图，表示函数的图象上点(x,y)处切线的斜率为，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.问题5：如何求函数的导数？答案：因为所以所以追问1：画出函数的图象.根据函数的图象，描述它的变化情况.答案：如图,结合函数图象及其导数发现，当时，随着的增加，函数减少得越来越快；当时，随着的增加，函数减少得越来越慢.追问2：求出曲线在点处的切线方程.答案：根据导数的几何意义，函数在处的导数就是曲线在点(1,1)处切线的斜率.因为，所以函数在处的导数，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率为，在点(1,1)处的切线方程为.问题6：如何求函数的导数？答案：因为所以所以问题7：6个函数中，除第1个是常函数外，其余5个都是哪一类基本初等函数？原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))答案：都是幂函数.追问：你能发现它们的导数与函数之间的关系吗？答案：若则还有哪些基本初等函数？它们的导数又是什么？这将是下一节课我们要讨论的主要问题.
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