森林救火数学建模

森林救火数学建模森林救火模型摘要：当森林失火的时候，我们都会派出消防队员进行救火，但是如何指派才能使火灾造成的损失和救援的开支都最小呢？此时就可以归结到我们经常会用数学语言表示相应的对象，做出合理假设，利用数学运算，找到相应变量间的关系。关键字：森林救火；模型优化一、问题重述森林失火了，消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那消防站应派出多少队...

森林救火模型摘要：当森林失火的时候，我们都会派出消防队员进行救火，但是如何指派才能使火灾造成的损失和救援的开支都最小呢？此时就可以归结到我们经常会用数学语言表示相应的对象，做出合理假设，利用数学运算，找到相应变量间的关系。关键字：森林救火；模型优化一、问题重述森林失火了，消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那消防站应派出多少队员前去救火呢？二、问题分析如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出合理的假设.三、模型假设1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的；2、损失费与森林烧毁面积Bt成正比，比例系数为C，即21烧毁单位面积的损失费为C；13、从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度dB与时间dtt成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速度，即dBt,0tt;dt14、派出消防队员x名，开始救火以后（tt），火势蔓1延速度降为（线性化）x，其中可视为每个队员的平均灭火速度，且有：x因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；5、每个消防队员单位时间费用为C（包括灭火器材料的消2耗及消防队员的薪金等），救火时间为tt，于是每个队员21的救火费用为C(tt)；每个队员的一次性支出为C(运送2213队员、器材等一次性支出).四、符号说明t开始救火时刻1t灭火时刻2B(t)t时刻森林烧毁面积B(t)造成损失的被烧毁的森林的面积2C烧毁单位面积的损失费1dB火势蔓延程度dtt火势蔓延速度x消防队员人数每个队员的平均灭火速度C每个队员单位时间费用2C每个队员的一次性支出3五、建立模型总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费C1的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为C(x)cB(t)cx(tt)cx122213由假设3，4，火势蔓延速度dB在0tt内线性dt1地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用b表示，而后，在ttt内，火势蔓延的速度线性地减12少（如下图）即dBt,0tt1dt(x)(tt),ttt,212因而有bbt,tt121x烧毁面积为tdB1B(t)2dtbt20dt22恰为图中三角形的面积.由b的定义有bt(x)(tt)，于是121bbbtt,t,212xx所以1bbbC(x)bC()CxCx1232xx其中只有派出的消防队员的人数是未知的.问题归结为如下的最优化问题：minC(x)x0s..tx0.dC这是一个函数极值问题。令0dx容易解得Cb22Cbx122C23六、模型的分析与改进1、应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的.2、派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.七、结论我们需要排出的消防员为：Cb22Cbx122C23

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