数学实验五主讲:魏平１.圆周率π的计算历程所谓“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。。回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难
题
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。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。实验时期基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用π＝3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。在中国刘徽：公元263年前后，刘徽提出著名的“割圆术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三○七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。在中国祖冲之: 在刘徽研究的基础上，进一步地发展，经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正24576边形，而得到一个结论：3.1415926＜π＜3.1415927同时得到π的两个近似分数：约率为22／7； 密率为355／113。他算出的π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
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法时期这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算π。1593年，韦达给出 这一不寻常的公式是π的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π值。接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：发现了下面的公式1706年，英国天文学教授JohnMachin利用并利用这个公式计算到了圆周率的100位.1914年，印度数学家SrinivasaRamanujan 发表了下面的公式：在1985年，Gosper用这个公式计算到了圆周率的17500000位．1989年，David和GregoryChudnovsky发表了下面的公式并在1994年计算到了4044000000位．它的另一种形式是1995年，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe共同发表了下面的圆周率计算公式（简称BBP公式） 该公式的最大优点在于：经后来人将该公式变形后打破了传统的计算方法，可以直接计算圆周率的任意第n位数，而不是先计算前面的n-1位数．1997年，FabriceBellard发表了一个比BBP算法更快的公式从而，大大降低了圆周率近似值的计算量.例1解编写下面的程序:n=10;%选择展开式的次数s=0;digits(22);%定义计算过程中的精度fork=1:ns=s+4*(-1)^(k+1)/(2*k-1);endvpa(s,20)%定义显示精度为20位 练习n=50;%定义等分积分区间数，可以更改i=0:1/n:1;s=0;fork=1:length(i)-1s=s+(1/(1+((i(k)+i(k+1))/2)^2))*1/n;end4*s等分区间数n103.14242598500110203.14180098689309503.141625986923001003.141600986923125003.1415929869231210003.1415927369231350003.14159265692313数值积分简介在高等数学中有一类积不出的积分，如（概率积分） （椭圆积分）利用数值积分法输入：x=0:0.1:1;y=exp(-x.^2);trapz(x,y)输出：ans=0.746211MATLAB命令梯形方法——trapz(x,y)抛物线方法——quad(f,a,b)如求积分的近似值y=inline('exp(-x.^2)');quad(y,0,1)ans=0.746826梯形方法抛物线方法梯形方法公式推导：条件：当区间划分为n等分时——trapz(x,y)复化梯形方法当区间等距划分为n个子区间时现对每个子区间再二等分，得到2n个子区间举例利用复化梯形算法求Pi的近似值.取运用复化梯形算法输入初值：输出结果：STOPNoYesclear;a=0;b=1;f=inline('4/(1+x*x)');t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b));er=1;n=1;whileer>1.0e-6h=(b-a)/n;s=0;fori=1:ns=s+f(a+i*h-h/2);endt2=(t1+h*s)/2;er=abs(t2-t1);fprintf('t=%.6f,r=%.6f\n',t2,er);n=2*n;t1=t2;end抛物线方法分析：条件：梯形法是对每个子区间用梯形面积近似曲线下面积累加而成；而抛物线法是对每个子区间考虑其中点，用三点决定的抛物线下面积来近似.当区间划分为n(n>1)等分时——辛浦生(Simpson)方法clear;a=0;b=1;f=inline('4/(1+x*x)');t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b));er=1;s1=0;n=1;whileer>1.0e-6h=(b-a)/n;s=0;fori=1:ns=s+f(a+i*h-h/2);endt2=(t1+h*s)/2;s=t2+(t2-t1)/3;er=abs(s-s1);fprintf('s=%.6f,r=%.6f\n',s,er);s=s1;n=2*n;t1=t2;endcs=0n=500%随机取点数fori=1:na=rand(1,2);ifa(1)^2+a(2)^2<=1cs=cs+1endend4*cs/n１１０3.184000000000003.104000000000003.138666666666673.120800000000003.14376000000000 从计算结果看：这种数据模拟算法收敛的速度很慢．虽然在实验次数较少时，算得的近似值距离真实值误差较大，但这种数据模拟方法简单易行．在精度要求不是很高的情况下，这种取随机数进行数据模拟的方法还是有一定的实用价值，通过简单编程我们可以模拟出许多数学现象．本次实验上机任务 教材：李继成等 上机操作实验１至实验３中所有指令和例题，熟悉Matlab相关命令；
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