表
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6.3常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系1+∞+∞f(t)=∫F(ω)ejωtdωF(ω)=∫f(t)e−jωtdt2π−∞−∞连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对重连续时间函数f(t)傅里叶变换F(ω)连续时间函数f(t)傅里叶变换F(ω)重要要√δ(t)112πδ(ω)√√djωtdδ(t)j2πδ(ω)dtdωdktkdkδ(t)(jω)k2πjkδ(ω)dtkdωk√u(t)111u(ω)+πδ(ω)δ(t)−jω2j2πttu(t)d1jπδ(ω)−dωω2⎧1,t>021⎧−j,ω>0sgn(t)=⎨,t≠0F(ω)=⎨⎩−1,t<0jωπ⎩j,ω<0√δ(t−t)e−jωtejωt2πδ(ω−ω)√0000cosωtπ[δ(ω+ω)+δ(ω−ω)]δ(t+t)+δ(t−t)2cosωt000000sinωtjπ[δ(ω+ω)−δ(ω−ω)]δ(t+t)−δ(t−t)j2sinωt000000√ωτW√⎪⎧1,t<ττSa()Sa(Wt)⎪⎧1,ω
τ⎩⎪0,ω>W√ωτWWt⎪⎧1−tτ,t<ττSa2()Sa2()⎪⎧1−ωW,ωτ⎩⎪0,ω>W√11e−atu(t),Re{a}>02πe−τωu(ω),τ>0a+jωτ−jt2aτe−at,Re{a}>0πe−τω,τ>0ω2+a2t2+τ2√a+jωe−atcosωtu(t),Re{a}>00(a+jω)2+ω20√ωe−atsinωtu(t),Re{a}>000(a+jω)2+ω2011te−atu(t),Re{a}>0,τ>02πωe−τωu(ω)(a+jω)2(τ−jt)2tk−1e−at1u(t),Re{a}>0(k−1)!(a+jω)k√+∞2π2πδ(t)=∑δ(t−lT)∑+∞δ(ω−k)TTTl=−∞k=−∞√tωτ−()−()eτπτe2√τττ(ω+ω)τ(ω−ω)τ[u(t+)−u(t−)]cosωt000[Sa+Sa]22222+∞+∞∑Fejkωt2π∑Fδ(ω−kω)0kk0k=−∞k=−∞连续傅里叶变换性质及其对偶关系1+∞+∞f(t)=∫F(ω)ejωtdωF(ω)=∫f(t)e−jωtdt2π−∞−∞1f(0)=∫+∞F(ω)dωF(0)=∫+∞f(t)dt2π−∞−∞连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对重名称连续时间函数f(t)傅里叶变换F(ω)名称连续时间函数f(t)傅里叶变换F(ω)重要要√线性αf(t)+βf(t)αF(ω)+βF(ω)1212√尺度比f(at),a≠01ωF()例变换aa对偶性f(t)g(ω)g(t)2πf(−ω)√√时移f(t−t)频移F(ω−ω)√0F(ω)e−jωtf(t)ejωt000时域微djωF(ω)频域微−jtf(t)d√f(t)F(ω)分性质dt分性质dω时域积F(ω)频域积f(t)∫tf(τ)dτ+πF(0)δ(ω)+πf(0)δ(t)∫ωF(σ)dσ分性质−∞jω分性质−jt−∞√时域卷f(t)*h(t)F(ω)H(ω)频域卷f(t)p(t)1√F(ω)*P(ω)积性质积性质2π√对称性f(−t)F(−ω)奇偶虚f(t)是实函数实性质f(t)=Od{f(t)}jIm{F(ω)}f*(t)F*(−ω)of(t)=Ev{f(t)}Re{F(ω)}ef*(−t)F*(ω)希尔伯f(t)=f(t)u(t)F(ω)=R(ω)+jI(ω)特变换1R(ω)=I(ω)*πω√时域抽12π频域抽1+∞2πf(t)∑+∞δ(t−nT)∑+∞F(ω−k)∑f(t−n)F(ω)∑+∞δ(ω−kω)样TT样ωω0n=−∞k=−∞0n=−∞0k=−∞√帕什瓦1∫∞f(t)2dt=∫∞F(ω)2dω尔
公式
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−∞2π−∞取反----------取反共轭----共轭取反共轭取反----共轭2基本的离散傅里叶级数对1+∞+∞f(t)=∫F(ω)ejωtdωF(ω)=∫f(t)e−jωtdt2π−∞−∞1f(0)=∫+∞F(ω)dωF(0)=∫+∞f(t)dt2π−∞−∞离散傅里叶级数对相对偶的离散傅里叶级数对重重周期N的序列f[~n]傅里叶级数系数F~周期N的序列f[~n]傅里叶级数系数F~要kk要√√√√√√√√√√√3双边拉氏变换对与双边Z变换对的类比关系+∞+∞F(s)=∫f(t)e−stdtF(z)=∑f[n]z−n−∞n=−∞双边拉氏变换对双边Z变换对重要连续时间函数f(t)像函数F(s)和收敛域离散时间序列f[n]像函数F(z)和收敛域重要√δ(t)1,整个s平面δ[n]1，整个Z平面√sk，有限s平面δ（k）(t)Δkδ[n](1−z−1)k，z>0√u(t)1s，Re{s}>0u[n]√1(1−z−1)，z>1√tu(t)(n+1)u[n]√1s2，Re{s}>01(1−z−1)2，z>1tk−11(n+k−1)!u(t),Re{s}>0u[n]1(1−z−1)k，z>1(k−1)!skn!(k−1)!−u(−t)1s，Re{s}<0−u[−n−1]1(1−z−1)，z<1−tu(−t)−(n+1)u[−n−1]1s2，Re{s}<01(1−z−1)2，z<1tk−11(n+k−1)!−u(−t),Re{s}<0−u[−n−1]1(1−z−1)k，z<1(k−1)!skn!(k−1)!√1√e−atu(t),Re{s}>Re(−a)anu[n]1(1−az−1)，z>as+a√1te−atu(t),Re{s}>Re(−a)(n+1)anu[n]1(1−az−1)2，z>a(s+a)2tk−11(n+k−1)!e−atu(t),Re{s}>Re(−a)anu[n]1(1−az−1)k，z>a(k−1)!(s+a)kn!(k−1)!1−e−atu(−t),Re{s}000s2+ω21−(2cosΩ)z−1+z−200√sinωtu(t)ωsinΩnu[n](sinΩ)z−1√00，Re{s}>000s2+ω21−(2cosΩ)z−1+z−200√s1−(acosΩ)z−1e−atcosωtu(t)，Re{s}>−aancosΩnu[n]00(s+a)+ω01−(2acosΩ)z−1+z−200√ω(asinΩ)z−10e−atsinωtu(t)0，Re{s}>−aansinΩnu[n]0(s+a)+ω01−(2acosΩ)z−1+z−200−2a(a−a)z−atan，a<1e，Re{a}>0，Re{a}>Re{s}>Re{−a}，a02s1−zansgn[n]，a<1，Re{a}>Re{s}>Re{−a}，a
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