【福建】高考数学复习方略：选修4-5《不等式选讲》第3节《柯西不等式》第三节柯西不等式柯西不等式(1)代数形式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥________,当且仅当_______时,等号成立.(2)向量形式设α,β是两个向量,则≤_____________,当且仅当__________，或___________________时,等号成立.ad=bc(ac+bd)2(3)三角形式设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么(4)一般情形设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,&helli...
第三节柯西不等式柯西不等式(1)代数形式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥________,当且仅当_______时,等号成立.(2)向量形式设α,β是两个向量,则≤_____________,当且仅当__________，或___________________时,等号成立.ad=bc(ac+bd)2(3)三角形式设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么(4)一般情形设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则≥________________________,当且仅当___________________或_____________________________________时,等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2bi=0(i=1,2,3,…,n)存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,…,n)【即时应用】(1)思考：在柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？提示:不可以.当b·d＝0时，柯西不等式成立，但不成立.(2)已知x,y,z均为正数且x+y+z=1.若，则：x=______,y=______,z=______.【解析】∵∴4×3≥∴当且仅当,即x=y=z=时,上式取到等号.由已知∴x=y=z=.答案:(3)设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为______，最小值为______.【解析】由柯西不等式知(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，∴(a＋2b)2≤5×5＝25，∴－5≤a＋2b≤5.即a＋2b的最大值为5，最小值为-5.答案:5-5热点考向1利用柯西不等式证明不等式【方法点睛】应用柯西不等式应注意的问题(1)柯西不等式的一般结构为,在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题.(2)使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小.【例1】(2012·福建高考)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R，且f(x+2)≥0的解集为［-1,1］．(1)求m的值.(2)若a，b,c均为正数且=m，求证：a+2b+3c≥9．【规范解答】(1)因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为［-1,1］,故m=1.(2)由(1)得=1，由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)()≥.【变式备选】1.已知正数a,b,c满足a+b+c=1，证明：a3+b3+c3≥【证明】利用柯西不等式=(a3+b3+c3)(a+b+c)2(∵a+b+c=1),又因为a2+b2+c2≥ab+bc+ca,在此不等式两边同乘以2，再加上a2+b2+c2得：(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2).∴(a2+b2+c2)2≤(a3+b3+c3)(a+b+c)2≤(a3+b3+c3)·3(a2+b2+c2).故a3+b3+c3≥当且仅当a=b=c=时，等号成立.2.设△ABC的三边长分别为a,b,c，(1)判定b+c-a,a+b-c,c+a-b的符号；(2)求证：【解析】(1)因为a,b,c为三角形的三边，所以b+c-a>0,c+a-b>0,a+b-c>0.(2)==a+b+c.热点考向2利用柯西不等式求最值【方法点睛】利用柯西不等式求最值应注意的问题在利用柯西不等式求最值时，要注意将结构式与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，结合已知条件，构造“积和方”或“方和积”，利用柯西不等式求最值时，一般右边为常数，且应注意等号成立的条件．【例2】(2012·南平模拟)已知x,y,z为正实数，且=1,求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.【解题指南】因为=1,所以可以构造x+4y+9z=,然后利用柯西不等式求解.【规范解答】由柯西不等式得x+4y+9z=当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6,y=3,z=2.所以当x=6,y=3,z=2时，x+4y+9z取得最小值36.【反思·感悟】1.解答本题时，关键是利用=1构造能利用柯西不等式的“方和积”.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：【变式训练】已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:(2)求的最小值.【解析】(1)根据柯西不等式，得［(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)］·≥(5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以当且仅当时取等号.(2)根据基本不等式,得当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100即(x2+y2+z2)≥2,当且仅当时,等号成立.综上,当且仅当x=1,时,等号成立.所以的最小值为18.【变式备选】求函数f(x)=的最大值.【解析】由柯西不等式，f(x)===故当且仅当即x=时，f(x)取得最大值为
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