六元一次不定方程整数解的求解公式_张四保

　第３４卷第３期２０１３年６月　青岛科技大学学报（自然科学版）Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．３Ｊｕｎ．２０１３　　　文章编号：１６７２－６９８７（２０１３）０３－０３２９－０２六元一次不定方程整数解的求解公式张四保（喀什师范学院数学系，新疆喀什８４４００８）摘　要：讨论了六元一次不定方程整数解的解法，给出了其一切整数解的解公式。关键词：六元一次不定方程；整数解；求解公式中图分类号：Ｏ　１５６．１　　　　　文献标志码：Ａ收稿日期：２０１２－０７－０６作者简介：张四保（１９７８—），男，讲师．Ａ　Ｆｏｒｍｕｌａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｆｉｎｄｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ＬｉｎｅａｒＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｓｉｘ　ＵｎｋｎｏｗｎｓＺＨＡＮＧ　Ｓｉ－ｂａｏ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｋａｓｈｇａｒ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｋａｓｈｇａｒ　８４４００８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｓｉｘ　ｕｎｋｎｏｗｎｓ　ｗｅｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄ　ａ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｆｉｎｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｓｉｘ　ｕｎｋｎｏｗｎｓ；ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｆｏｒｍｕｌａｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　　不定方程是数论中最古老的一个分支，在历史上有着极其丰富的研究 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 。近代许多优秀的数学家如费马、欧拉、高斯、库默等都从事过不定方程的研究。在现行的教材中，对于不定方程的解法以及解公式都体现在对二元一次不定方程、三元一次不定方程上，而对于ｓ（ｓ≥４）元一次不定方程的整数解解公式讨论甚少。文献［１］给出了四元一次不定方程的整数解的求解公式；文献［２］给出了五元一次不定方程的整数解的求解公式。本文将探讨六元一次不定方程整数解的求解公式。１　预备知识引理１［３］　设ａ，ｂ，ｃ是整数，且ａ·ｂ≠０。若（ａ，ｂ）｜ｃ，则二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解，且其一切整数解可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为ｘ＝ｘ０－ｂ１ｔ，ｙ＝ｙ０＋ａ１ｔ｛，其中ｔ是任意整数，ｘ０，ｙ０是满足ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ的一对整数，（ａ，ｂ）＝ｄ，ａ＝ａ１ｄ，ｂ＝ｂ１ｄ。引理２［４］　ｎ元一次不定方程ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋…＋ａｎｘｎ＝Ｎ有整数解的充要条件是（ａ１，ａ２，…，ａｎ）｜Ｎ。引理３［５］　设ａ，ｂ，ｃ，ｎ是整数，且ａ·ｂ·ｃ≠０，（ａ，ｂ，ｃ）＝１，（ａ，ｂ）＝ｄ，ａ＝ａ１ｄ，ｂ＝ｂ１ｄ，则三元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｎ有整数解，且其一切整数解可以表示为ｘ＝ｘ０＋ｂ１ｔ１＋ｕ１ｃｔ２，ｙ＝ｙ０－ａ１ｔ１－ｕ２ｃｔ２，ｚ＝ｚ０＋ｄｔ２烅烄烆，其中ｔ１，ｔ２是任意整数，ｘ０，ｙ０，ｚ０是满足ａｘ０＋ｂｙ０＋ｃｚ０＝ｎ的整数，ｕ１，ｕ２是满足ａ１ｕ１＋ｂ１ｕ２＝１的整数。２　主要结论及其证明定理　设ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·ａ５·ａ６≠０，青岛科技大学学报（自然科学版）第３４卷（ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５，ａ６）＝１，那么六元一次不定方程ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４＋ａ５ｘ５＋ａ６ｘ６＝Ｎ（１）的一切整数解解公式可表示为　ｘ１＝ｘ′１（ｙ′１＋ｂ′ｔ１－ｕ１ｃｔ２）－（ａ２／ａ）ｍ，ｘ２＝ｘ′２（ｙ′１＋ｂ′ｔ１－ｕ１ｃｔ２）＋（ａ１／ａ）ｍ，ｘ３＝ｘ′３（ｙ′２－ａ′ｔ１－ｕ２ｃｔ２）－（ａ４／ｂ）ｎ，ｘ４＝ｘ′４（ｙ′２－ａ′ｔ１－ｕ２ｃｔ２）＋（ａ３／ｂ）ｎ，ｘ５＝ｘ′５（ｙ′３＋ｄ１ｔ２）－（ａ６／ｃ）ｋ，ｘ６＝ｘ′６（ｙ′３＋ｄ１ｔ２）＋（ａ５／ｃ）ｋ烅烄烆，其中ｔ１，ｔ２，ｍ，ｎ，ｋ是任意整数，（ａ１，ａ２）＝ａ，（ａ３，ａ４）＝ｂ，（ａ５，ａ６）＝ｃ，（ａ，ｂ）＝ｄ１，ａ＝ａ′ｄ１，ｂ＝ｂ′ｄ１，ｘ′１，ｘ′２是满足ａ１ｘ′１＋ａ２ｘ′２＝ａ的整数，ｘ′３，ｘ′４是满足ａ３ｘ′３＋ａ４ｘ′４＝ｂ的整数，ｘ′５，ｘ′６是满足ａ５ｘ′５＋ａ６ｘ′６＝ｃ的整数。证明　由于（ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５，ａ６）＝１，１｜Ｎ，由引理２可知，方程（１）有整数解。设　ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＝ａｙ１，（ａ１，ａ２）＝ａ，（２）　ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４＝ｂｙ２，（ａ３，ａ４）＝ｂ，（３）　ａ５ｘ５＋ａ６ｘ６＝ｃｙ３，（ａ５，ａ６）＝ｃ，（４）　ａｙ１＋ｂｙ２＋ｃｙ３＝Ｎ。（５）对于方程（５），由题意显然有（ａ，ｂ，ｃ）＝１，则式（５）一定有整数解。设（ａ，ｂ）＝ｄ１，ａ＝ｄ１ａ′，ｂ＝ｄ１ｂ′，根据引理３可得方程（５）的一切整数解解公式为ｙ１＝ｙ′１＋ｂ′ｔ１－ｕ１ｃｔ２，ｙ２＝ｙ′２－ａ′ｔ１－ｕ２ｃｔ２，ｙ３＝ｙ′３＋ｄ１ｔ２烅烄烆，其中ｙ′１，ｙ′２，ｙ′３是方程（５）的一个特解，ｕ１，ｕ２是满足ａ′ｕ１＋ｂ′ｕ２＝１的整数，ｔ１，ｔ２是任意整数。设ｘ１＝ｘ′１，ｘ２＝ｘ′２是ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＝ａ的一个特解，则ｘ１＝ｘ′１ｙ１，ｘ２＝ｘ′２ｙ１是方程（２）的一个特解。由于（ａ１，ａ２）＝ａ，由引理１可得方程（２）的一切整数解解公式为ｘ１＝ｘ′１ｙ１－（ａ２／ａ）ｍ＝ｘ′１（ｙ′１＋ｂ′ｔ１－　ｕ１ｃｔ２）－（ａ２／ａ）ｍ，ｘ２＝ｘ′２ｙ１＋（ａ１／ａ）ｍ＝ｘ′１（ｙ′１＋ｂ′ｔ１－　ｕ１ｃｔ２）＋（ａ１／ａ）ｍ烅烄烆，其中ｔ１，ｔ２，ｍ是任意整数。设ｘ３＝ｘ′３，ｘ４＝ｘ′４是ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４＝ｂ的一个特解，则ｘ３＝ｘ′３ｙ２，ｘ４＝ｘ′４ｙ２是方程（３）的一个特解。由于（ａ３，ａ４）＝ｂ，由引理１可得方程（３）的一切整数解解公式为ｘ３＝ｘ′３ｙ２－（ａ４／ｂ）ｎ＝ｘ′３（ｙ′２＋ａ′ｔ１－　ｕ２ｃｔ２）－（ａ４／ｂ）ｎ，ｘ４＝ｘ′４ｙ２＋（ａ３／ｂ）ｎ＝ｘ′４（ｙ′２＋ａ′ｔ１－　ｕ２ｃｔ２）＋（ａ３／ｂ）ｎ烅烄烆，其中ｔ１，ｔ２，ｎ是任意整数。设ｘ５＝ｘ′５，ｘ６＝ｘ′６是ａ５ｘ５＋ａ６ｘ６＝ｃ的一个特解，则ｘ５＝ｘ′５ｙ３，ｘ６＝ｘ′６ｙ３是方程（４）的一个特解。由于（ａ５，ａ６）＝ｃ，由引理１可得方程（４）的一切整数解解公式为　ｘ５＝ｘ′５ｙ３－（ａ６／ｃ）ｋ＝ｘ′５（ｙ′３＋ｄ１ｔ２）－　（ａ６／ｃ）ｋ，ｘ６＝ｘ′６ｙ′３＋（ａ５／ｃ）ｋ＝ｘ′６（ｙ′３＋ｄ１ｔ２）＋　（ａ５／ｃ）ｋ烅烄烆，其中ｔ１，ｔ２，ｋ是任意整数。综合以上可得，六元一次不定方程（１）的一切整数解解公式为ｘ１＝ｘ′１（ｙ′１＋ｂ′ｔ１－ｕ１ｃｔ２）－（ａ２／ａ）ｍ，ｘ２＝ｘ′２（ｙ′１＋ｂ′ｔ１－ｕ１ｃｔ２）＋（ａ１／ａ）ｍ，ｘ３＝ｘ′３（ｙ′２－ａ′ｔ１－ｕ２ｃｔ２）－（ａ４／ｂ）ｎ，ｘ４＝ｘ′４（ｙ′２－ａ′ｔ１－ｕ２ｃｔ２）＋（ａ３／ｂ）ｎ，ｘ５＝ｘ′５（ｙ′３＋ｄ１ｔ２）－（ａ６／ｃ）ｋ，ｘ６＝ｘ′６（ｙ′３＋ｄ１ｔ２）＋（ａ５／ｃ）ｋ烅烄烆，其中ｔ１，ｔ２，ｍ，ｎ，ｋ是任意整数，（ａ１，ａ２）＝ａ，（ａ３，ａ４）＝ｂ，（ａ５，ａ６）＝ｃ，（ａ，ｂ）＝ｄ１，ａ＝ａ′ｄ１，ｂ＝ｂ′ｄ１，ｘ′１，ｘ′２是满足ａ１ｘ′１＋ａ２ｘ′２＝ａ的整数，ｘ′３，ｘ′４是满足ａ３ｘ′３＋ａ４ｘ′４＝ｂ的整数，ｘ′５，ｘ′６是满足ａ５ｘ′５＋ａ６ｘ′６＝ｃ的整数。证毕。参　考　文　献［１］冉光华．四元一次不定方程的公式解［Ｊ］．铜仁学院学报，２００７，１（１）：９９－１０３．［２］高丽，齐琼．五元一次不定方程的公式解［Ｊ］．云南师范大学学报：自然科学版，２０１１，３１（１）：１－３．［３］潘承洞，潘承彪．初等数论［Ｍ］．２版．北京：北京大学出版社，２００３：８０．［４］闵嗣鹤，严士健．初等数论［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００９：３２．［５］柯召，孙琦．谈谈不定方程［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，２０１１：５．（责任编辑　姜丰辉）０３３