第七部分《平面向量》单元检测《平面向量》山西省历年真题考纲要求专题18平面向量的概念及线性运算知识清单考点一平面向量的基本概念考点二平行向量与相等向量考点三向量的线性运算考点一平面向量的基本概念1、向量的定义2、向量的表示法既有大小又有方向的量称为向量.如a,b,c等注意：向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具.考点一平面向量的基本概念知识清单考点一平面向量的基本概念考点二平行向量与相等向量考点三向量的线性运算考点二平行向量与相等向量知识清单考点一平面向量的基本概念考点二平行向量与相等向量考点三向量的线性运算向量的加法向量的减法数乘运算向量共线的条件运算法则考点三向量的线性运算向量的加法三角形法则平行四边形法则图7-1向量的加法向量的减法数乘运算向量共线的条件运算法则考点三向量的线性运算向量的减法三角形法则图7-1向量的加法向量的减法数乘运算向量共线的条件运算法则考点三向量的线性运算数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.λa与a的模、方向的关系规定如下：（1）|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.向量的加法向量的减法数乘运算向量共线的条件运算法则考点三向量的线性运算向量共线的条件向量共线的充要条件：向量a与非零向量b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a=λb.向量的加法向量的减法数乘运算向量共线的条件运算法则考点三向量的线性运算运算法则λ（μa）=（λμ）a（λ+μ）a=λa+μaλ（a+b）=λa+λba+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）a+0=0+a=a.典例精解例1给出下列四个命题：（1）零向量没有方向（2）单位向量的模一定相等（3）若a∥b,b∥c,则a∥c（4）若a=b，则a∥b.其中真命题的个数是（）.A.1B.2C.3D.4典例精解零向量模长为0，方向不确定，所以（1）为假命题；单位向量的模都等于1，所以（2）为真命题；对于（3），只要b=0，就不一定能得到a∥c，所以（3）为假命题；两个相等向量的方向一定相同，所以（4）为真命题.所以正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
选B.本题考查向量的概念及单位向量、零向量、向量的模(长度)等知识点.解决此类问题的关键是弄清向量的有关概念.典例精解由平面向量加法及减法的运算法则易得选项B不正确,故答案为B.考查了向量的线性运算典例精解考查了平面向量的线性运算.典例精解例4解析本题考查平面向量的运算法则和学生的计算能力.技巧点拨（1）原式=2a+6b-4a+4b=-2a+10b典例精解典例精解解析技巧点播本题用梯形作为载体，考查了向量的线性运算，即向量的加法、减法和数乘运算.解答此题的关键是要熟练掌握三角形法则和平行四边形法则.知识清单一向量加法、减法、数乘运算的坐标表示二向量共线的充要条件的坐标表示一、向量加法、减法、数乘运算的坐标表示1.向量的坐标表示使得a=xi+yj成立的有序实数对(x,y)称为向量a的坐标，记作a=（x,y）.a=xi+yjx轴正方向上的单位向量y轴正方向上的单位向量2.求向量的坐标一、向量加法、减法、数乘运算的坐标表示3.向量加法、减法、数乘运算的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则①a+b=(x1+x2,y1+y2);②a-b=(x1-x2,y1-y2);③λa=(λx1,λy1).知识清单一向量加法、减法、数乘运算的坐标表示二向量共线的充要条件的坐标表示二、向量共线的充要条件的坐标表示例1若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),用a、b表示c=.典例精解典例精解解析技巧点播设，则所以，解得所以考查了向量的坐标运算和两个向量相等的条件典例精解例2已知向量a=(3,5),b=(-2,1).(1)若a+kb与-a垂直,求实数k的值;(2)若a+kb与-a共线,求k的值,这时它们的方向是相同还是相反?典例精解a+kb=(3-2k,5+k),-a=(-3,-5).(1)因为(a+kb)⊥(-a),所以(a+kb)·(-a)=0,即-3(3-2k)-5(5+k)=0,解之得k=34.(2)因为a+kb与-a共线,所以-5(3-2k)+3(5+k)=0,解之得k=0.此时,a+kb=(3,5)=-(-3,-5)=-(-a),即两向量的方向相反.注意向量平行和垂直的充要条件,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0,a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.知识清单一两个向量的夹角二两个向量垂直三两个向量的内积（数量积）的定义四向量内积的性质五向量积的运算律知识清单六两向量a与b垂直的充要条件七向量内积的坐标表示八两点间的距离公式九中点公式一、两个向量的夹角及两个向量垂直当向量a与b方向相同时，θ=0°当向量a与b方向相反时，θ=180°.如果两个向量a与b的夹角是90°,我们就说a与b垂直,记作a⊥b.两个向量垂直知识清单一两个向量的夹角二两个向量垂直三两个向量的内积（数量积）的定义四向量内积的性质五向量积的运算律三、两个向量的内积（数量积）的定义向量a与b的模与它们的夹角的余弦之积称为a与b的内积（数量积），记作a·b，即a·b=|a||b|cos
.说明：零向量与任意向量的内积为0.知识清单一两个向量的夹角二两个向量垂直三两个向量的内积（数量积）的定义四向量内积的性质五向量积的运算律四、向量内积的性质当a与b同向时,a·b=|a||b|当a与b反向时,a·b=-|a||b|已知a与b为非零向量,当0°≤θ<90°时,a·b>0；当90°<θ<180°时,a·b<0；当θ=90°时,a·b=0;反之也成立.1234知识清单一两个向量的夹角二两个向量垂直三两个向量的内积（数量积）的定义四向量内积的性质五向量积的运算律五、向量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.知识清单六两向量a与b垂直的充要条件七向量内积的坐标表示八两点间的距离公式九中点公式六、两向量a与b垂直的充要条件a⊥b⇔a·b=0.知识清单六两向量a与b垂直的充要条件七向量内积的坐标表示八两点间的距离公式九中点公式七、向量内积的坐标表示知识清单六两向量a与b垂直的充要条件七向量内积的坐标表示八两点间的距离公式九中点公式八、两点间的距离公式九、中点公式典例精解例1(1)若向量a=(1,1),b=(2,7),c=(3,x),且满足条件(8a+b)·c=60,则x=？(2)若向量a、b都是单位向量,且a与b的夹角为60°,则a·(a-b)=？(3)已知a=(1,-3),b=(2,-1),则=？.典例精解(1)若向量a=(1,1),b=(2,7),c=(3,x),且满足条件(8a+b)·c=60,则x=？因为8a+b=8(1,1)+(2,7)=(10,15),c=(3,x),所以(8a+b)·c=10×3+15x=30+15x,由题可得30+15x=60,解得x=2.(2)若向量a、b都是单位向量,且a与b的夹角为60°,则a·(a-b)=？典例精解(3)已知a=(1,-3),b=(2,-1),则=？.因为所以典例精解求平面向量的内积有两种常用的方法典例精解故当a⊥b时,a=(5,2)或a=(-5,-2)解此题的关键是运用向量的模长公式.一、选择题(每小题3分，共30分)1.若非零向量a与b共线,则以下说法正确的是()A.a与b必须在同一条直线上B.a与b平行,且方向必须相同C.a与b平行,且方向必须相反D.a与b平行三、解答题(共38分)19.已知a=(1,2),b=(-3,2),问k为何值时:①ka+b与a-3b垂直？②ka+b与a-3b平行？(6分)21.直角坐标系中,点A(a,0),B(2,4),其中a≠0,已知求a的值.22.已知向量|a|=2,|b|=4,=,求:(1)(2a-b)·(b+3a);(2)|a-b|.0(9,18)谢谢观看
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