江苏南京盐城市2022届高三数学二模试卷及答案

PAGE8数学试题第PAGE5页（共6页）南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第＝1\*ROMANI卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞)2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝eq\r(5)，则|a＋2b|＝A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．eq\r(7)D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为2eq\r(3)，高为6，则球O的表面积为A．32πB．48πC．64πD．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝eq\f(λk,k!)e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为A．eq\f(2,e4)B．eq\f(4,e4)C．eq\f(6,e4)D．eq\f(8,e4)7．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为A．eq\f(eq\r(7)－1,2)B．eq\f(eq\r(7)－1,3)C．eq\f(eq\r(5)－1,2)D．eq\f(eq\r(5)－1,3)8．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1，e为自然对数的底数，则A．1＜b＜aB．a＜b＜2aC．2a＜b＜eaD．ea＜b＜e2a二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝2eq\r(5)C．存在直线l，使得PF⊥QFD．△PFQ面积的最小值为211．设函数f(x)＝2sin(ωx＋eq\s\do1(\f(π,3)))，ω＞0，下列说法正确的是A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线x＝eq\s\do1(\f(π,12))对称B．当ω＝eq\s\do1(\f(1,2))时，f(x)在[0，eq\s\do1(\f(π,2))]上是增函数C．若f(x)在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥eq\f(7,6)D．若f(x)在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥eq\f(4,3)12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则A．AG⊥平面PBDB．直线FG和直线AB所成的角为eq\f(π,4)C．当点T在平面PBD内，且TA＋TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆D．过点E，F，G的平面与四棱锥P－ABCD表面交线的周长为2eq\r(2)＋eq\r(6)第＝2\*ROMANII卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．实数a，b满足lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则ab的最小值为eq\o(,______)．14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为eq\o(,______)．（用数字作答）15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1－x)＋f(1＋x)＝2，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－x2．若f(x)≥x＋b对一切x∈R恒成立，则实数b的最大值为eq\o(,______)．h(第16题图)16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为eq\o(,______)cm．四､解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD中，已知∠ABC＝eq\f(2π,3)，∠ADC＝eq\f(π,6)，AC平分∠BAD．（1）若∠BAD＝eq\f(π,3)，AC＝2，求四边形ABCD的面积；（2）若CD＝2eq\r(3)AB，求tan∠BAC的值．18．(本小题满分12分)已知数列{an}，当n∈[2k－1，2k)时，an＝2k，k∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn．（1）求a2，a20；（2）求使得Sn＜2022成立的正整数n的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边三角形，PD⊥AB，PD＝eq\r(6)．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．ACDBP(第19题图)20．(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0＜p＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a＞0)元．（1）①写出X的分布列；②证明：E(X)＜eq\f(1,p)；（2）某公司意向投资该产品．若p＝0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.21．(本小题满分12分)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点(eq\r(3)，1)，且渐近线方程为y＝±x．（1）求a，b的值；（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aex＋sinx－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；（2）若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C2．A3．B4．B5．C6．D7．A8．D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．BCD10．AD11．AC12．ABD三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．814．14415．－eq\f(1,4)16．120四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)解：（1）因为∠BAD＝eq\f(π,3)，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD＝eq\f(π,6)．在△ABC中，因为∠ABC＝eq\f(2π,3)，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，又因为AC＝2，由eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，得AB＝eq\f(2eq\r(3),3)，2分所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝eq\f(eq\r(3),3)．在△ACD中，因为∠ADC＝∠CAD＝eq\f(π,6)，所以CA＝CD＝2，所以S△ACD＝eq\f(1,2)CA·CDsin∠ACD＝eq\r(3)，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(4eq\r(3),3)．4分（2）因为AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD，在△ACD中，由∠ADC＝eq\f(π,6)，eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，得AC＝eq\f(1,2)·eq\f(CD,sin∠CAD)．①在△ABC中，由∠ABC＝eq\f(2π,3)，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，得AC＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(AB,sin∠ACB)．②6分由①②得eq\f(CD,sin∠CAD)＝eq\f(eq\r(3)AB,sin∠ACB)．又因为CD＝2eq\r(3)AB，所以2sin∠ACB＝sin∠CAD．设∠BAC＝θ，则sinθ＝2sin(eq\f(π,3)－θ)，8分所以sinθ＝2×(eq\f(\r(3),2)cosθ－eq\f(1,2)sinθ)，即2sinθ＝eq\r(3)cosθ．因为θ∈(0，eq\f(π,3))，所以cosθ≠0，所以tanθ＝eq\f(eq\r(3),2)，即tan∠BAC＝eq\f(eq\r(3),2)．10分18．(本题满分12分)解：（1）因为2∈[21，22)，所以a2＝22＝4，2分因为20∈[24，25)，所以a20＝25＝32．4分（2）an＝2k的项数为2k－2k－1＝2k－1．6分又因为20＋21＋22＋…＋2k－1＝2k－1，所以数列{an}的前2k－1项和为Seq\s\do4(2k－1)＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k×2k－1＝21＋23＋25＋…＋22k－1＝eq\s\do1(\f(2,3))(4k－1)．8分当k＝5时，S31＝eq\s\do1(\f(2,3))(45－1)＝682＜2022，S51＝S31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，10分S52＝S51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．又因为Sn＋1＞Sn，所以使得Sn＜2022成立的正整数n的最大值为51．12分EAACCDDBBPP(第19题图)19．(本题满分12分)解：（1）取AB中点E，连接PE，DE．因为△PAB是边长为2的等边三角形，所以AB⊥PE，PE＝eq\r(3)，AE＝1．又因为PD⊥AB，PD∩PE＝P，PD，PE平面PDE，所以AB⊥平面PDE．2分因为DE面PDE，所以AB⊥DE．在Rt△AED中，AD＝2，AE＝1，所以DE＝eq\r(3)．在△PDE中，PD＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，PE＝eq\r(3)，所以PE2＋DE2＝PD2，所以DE⊥PE．4分又因为AB∩PE＝E，AB，PE平面PAB，所以DE⊥平面PAB．又因为DE平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．6分（2）由（1）知，以{eq\o(EA,\s\up8(→))，eq\o(EP,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，则E(0，0，0)，D(0，0，eq\r(3))，C(－2，0，eq\r(3))，P(0，eq\r(3)，0)．则eq\o(DC,\s\up8(→))＝(－2，0，0)，eq\o(PD,\s\up8(→))＝(0，－eq\r(3)，eq\r(3))．8分(第19题图)yxzPADECB设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\al(n·eq\o(DC,\s\up8(→))＝0，,n·eq\o(PD,\s\up8(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\al(－2x＝0，,－eq\r(3)y＋eq\r(3)z＝0．))取x＝0，y＝1，z＝1．所以n＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量．……………10分因为DE⊥平面PAB，所以eq\o(ED,\s\up8(→))＝(0，0，eq\r(3))为平面PAB的一个法向量．所以cos＜n，eq\o(ED,\s\up8(→))＞＝eq\f(n·eq\o(ED,\s\up8(→)),│n││eq\o(ED,\s\up8(→))│)＝eq\f(\r(2),2)，所以平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小为eq\f(π,4)．12分20．(本题满分12分)解：（1）①当1≤X≤9时，P(X＝i)＝(1－p)i－1p，i＝1，2，…，9．当X＝10时，P(X＝10)＝(1－p)9．所以P(X＝i)＝eq\b\lc\{(\a\al((1－p)i－1p，i＝1，2，…，9，,(1－p)9，i＝10．))4分②E(X)＝eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do6(i＝1))i(1－p)i－1p＋10(1－p)9＝peq\o(∑,\s\up6(9),\s\do6(i＝1))i(1－p)i－1＋10(1－p)9．令S＝eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do6(i＝1))i(1－p)i－1，则E(X)＝pS＋10(1－p)9．则S＝1＋2(1－p)＋3(1－p)2＋…＋8(1－p)7＋9(1－p)8，(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋7(1－p)7＋8(1－p)8＋9(1－p)9，两式相减，得pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)7＋(1－p)8－9(1－p)96分＝eq\f(1－(1－p)9,p)－9(1－p)9，所以E(X)＝eq\f(1－(1－p)9,p)＋(1－p)9＝eq\f(1,p)[1－(1－p)10]．因为0＜p＜1，所以0＜1－(1－p)10＜1，所以E(X)＜eq\f(1,p)．9分（2）当p＝0.25时，由（1）得E(X)＜4，则a×E(X)＜4a＜5a，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品．12分21．(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C渐近线方程为y＝±x，所以eq\f(b,a)＝1．又因为双曲线C经过点(eq\r(3)，1)，所以eq\f(3,a2)－eq\f(1,b2)＝1．2分解得a＝b＝eq\r(2)．4分（2）方法1当AB斜率不存在时，由双曲线对称性知AD经过原点，此时与题意不符．设AB方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点E(x3，y3)，则D(－x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\al(y＝kx＋m，,eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，))消去x，得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2km,1－k2)，x1x2＝－eq\f(m2＋2,1－k2)eq\f(,)，6分则x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(km,1－k2)，y3＝kx3＋m＝eq\f(m,1－k2)，则AB的中垂线方程为y－eq\f(m,1－k2)＝－eq\f(1,k)(x－eq\f(km,1－k2))，当x＝0时，y＝eq\f(2m,1－k2)．因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆圆心在y轴上，记圆心为点F，则F(0，eq\f(2m,1－k2))．8分因为△ABD的外接圆经过原点，则OF＝FA，即|eq\f(2m,1－k2)|＝eq\r(x12＋(y1－eq\f(2m,1－k2))2)．又因为eq\f(x12,2)－eq\f(y12,2)＝1，所以y12－eq\f(2m,1－k2)y1＋1＝0．同理，由OF＝FB，得y22－eq\f(2m,1－k2)y2＋1＝0，所以y1，y2是方程y2－eq\f(2m,1－k2)y＋1＝0的两个根，所以y1y2＝1．10分则(kx1＋m)(kx2＋m)＝1，即k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝1，所以k2×(－eq\f(m2＋2,1－k2))＋km×eq\f(2km,1－k2)＋m2＝1，化简得k2＋1＝m2，所以原点O到直线AB距离d＝eq\f(|m|,eq\r(k2＋1))＝1，所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．12分方法2设直线AB方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x2，y2)．又因为B，D两点关于y轴对称，则△ABD的外接圆的圆心在y轴上，设为P(0，t)，则PA＝PB，即eq\r(x12＋(y1－t)2)＝eq\r(x22＋(y2－t)2)．由eq\f(x12,2)－eq\f(y12,2)＝1，eq\f(x22,2)－eq\f(y22,2)＝1，化简得t＝y1＋y2．6分因为△ABD的外接圆经过原点O，所以PA＝PO＝|t|，即eq\r(x12＋[y1－(y1＋y2)]2)＝|y1＋y2|，化简得y1y2＝1．8分联立直线AB及双曲线方程eq\b\lc\{(\a\al(x＝my＋n，,eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，))消去x，得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，所以y1y2＝eq\f(n2－2,m2－1)．10分又因为y1y2＝1，所以eq\f(n2－2,m2－1)＝1，即m2＋1＝n2，所以原点O到直线AB距离d＝eq\f(|n|,eq\r(m2＋1))＝1，所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切．12分22．(本题满分12分)解：（1）由f(x)＝aex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝aex＋cosx－3．因为a≤0，所以f'(x)＝aex＋cosx－3≤cosx－3＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．2分又因为f(0)＝a－2＜0，f(a－2)＝aea－2＋sin(a－2)－3a＋4＞a(ea－2－3)≥0，因此f(x)有唯一的零点．4分（2）由（1）知，a≤0符合题意．（i）当a＝2时，由f(x)＝2ex＋sinx－3x－2，得f'(x)＝2ex＋cosx－3．当x＜0时，f'(x)≤2ex－2＜0，所以f(x)单调递减；6分当x＞0时，f''(x)＝2ex－sinx≥2ex－1＞0，所以f'(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而，当x＞0时，f'(x)＞f'(0)＝0，所以f(x)单调递增，于是f(x)≥f(0)＝0，当且仅当x＝0时取等号，故此时f(x)有唯一的零点x＝0．8分（ii）当a＞2时，f(x)＞2ex＋sinx－3x－2≥0，此时f(x)无零点；9分（iii）当0＜a＜2时，首先证明：当x≥0时，ex＞eq\F(x2,2)．设g(x)＝ex－eq\F(x2,2)，x≥0，则g'(x)＝ex－x，g''(x)＝ex－1≥0，所以g'(x)在[0，＋∞)上单调递增，故g'(x)≥g'(0)＝1＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此g(x)≥g(0)＝1＞0，即当x≥0时，ex＞eq\F(x2,2)．10分当x＞0时，f(x)≥aex－3x－3＞eq\F(a,2)x2－3x－3，令eq\F(a,2)x2－3x－3＝0，得x＝eq\F(3±eq\R(,9＋6a),a)．取x0＝eq\F(3＋eq\R(,9＋6a),a)＞0，则f(x0)＞0．又f(0)＝a－2＜0，f(－1)＝ae－1＋1－sin1＞0，因此，当0＜a＜2时，f(x)至少有两个零点，不合题意．综上，a＝2或a≤0．12分