北师大版八年级数学下册《第四章总复习》练习题教学课件PPT初二公开课

数学·北师大版·八年级下册第四章因式分解1因式分解11.[2021河南驻马店驿城区期末]下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A.x2-4+y2=(x+2)(x-2)+y2B.x2-9=(x+3)(x-3)C.x(a-b)=ax-bxD.x2+1=x(x+)1.B22.下列多项式因式分解的结果为-(2a+b)(2a-b)的是()A.4a2-b2B.4a2+b2C.-4a2-b2D.-4a2+b22.D23.[2021河北保定清苑区期末]如果多项式x2-mx-35分解因式为(x-5)(x+7),那么m的值为()A.-2B.2C.12D.-123.A因为(x-5)(x+7)=x2+2x-35=x2-mx-35,所以m=-2.24.[教材P94习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 T4变式]如图为两个边长为a的正方形纸片,一个边长为b的正方形纸片,三个边长分别为a和b的长方形纸片.你能否用图中所有纸片拼成一个长方形?如果能,请画出草图,并写出相应的因式分解;如果不能,请说明理由.4.解:能.拼图前几个图形的面积和为2a2+3ab+b2,因此可以拼成长为(2a+b)、宽为(a+b)的长方形,拼图如图所示.因式分解为2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b).25.[2020北京交大附中期末]仔细阅读下面例题,解答问题.【例题】已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式及m的值.解:设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴解得+3=−4,=−7,∴另一个因式为x-7,m的值为-21.m=3,m=−21,【问题】仿照以上 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解答下面问题:已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5,求另一个因式及k的值.25.解:设另一个因式为x+a,得2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,∴解得2a−5=3,a=4,∴另一个因式为x+4,k的值为20.−5a=−k,k=20,36.(1)3.2×154+154×2.8-2×154能被4整除吗?为什么?(2)20213-2021能被2022整除吗?为什么?6.解:(1)能.理由如下:3.2×154+154×2.8-2×154=154×(3.2+2.8-2)=154×4.∵154×4能被4整除,∴3.2×154+154×2.8-2×154能被4整除.(2)能.理由如下:20213-2021=2021×(2021-1)(2021+1)=2021×2020×2022.∵2021×2020×2022能被2022整除,∴20213-2021能被2022整除.2提公因式法11.[2021天津河北区期末]多项式12ab3+8a3b各项的公因式是()A.abB.2abC.4abD.4ab21.C12.多项式2(a+b)2-8(a+b)(a-b)各项的公因式是()A.a+bB.2(a+b)C.2(a+b)2(a-b)D.2(a+b)(a-b)2.B13.写出下列多项式各项的公因式:23(1)2x+6x;2322(2)-24mx+16nx;(3)5(a-b)3+10(a-b).3.解:(1)2x2.(2)-8x2.(3)5(a-b).24.[2021吉林长春宽城区期中]把多项式a2-4a分解因式的正确结果是()A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a-2)2-44.A25.[2021湖南怀化期末]多项式2x2-4xy+2x提取公因式2x后,另一个因式为()A.x-2yB.x-4y+1C.x-2y+1D.x-2y-15.C2x2-4xy+2x=2x(x-2y+1).26.[2021湖南株洲中考]因式分解:6x2-4xy=.6.2x(3x-2y)27.分解因式:mn(n-m)-n(m-n)=.7.n(n-m)(m+1)mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1).28.用提公因式法将下列各式分解因式.(1)-a2b3c+2ab2c3-ab2c;33(2)5x(x-2y)-20y(2y-x).8.解:(1)-a2b3c+2ab2c3-ab2c=-ab2c(ab-2c2+1).(2)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3=5(x-2y)3(x+4y).如果多项式的首项系数是负数,通常先提出“-”号.可按下列口诀分解因式:首项有“负”先提“负”,各项有“公”要提“公”,某项提出莫漏“1”,括号里面分到底.39.[2020浙江湖州吴兴区期末]已知长和宽分别是a,b的长方形的周长为10,面积为6,则a2b+ab2的值是.9.30∵长和宽分别是a,b的长方形的周长为10,面积为6,∴2(a+b)=10,ab=6,∴a+b=5,∴a2b+ab2=ab(a+b)=30.310.利用因式分解简化运算:(1)2021+20212-2021×2022;(2)56.2×1999-462×199.9.10.解:(1)2021+20212-2021×2022=2021×(1+2021-2022)=0.(2)56.2×1999-462×199.9=562×199.9-462×199.9=199.9×(562-462)=199.9×100=19990.311.先因式分解,再求值:(1)(a+b)(a-b)-(a-b)2,其中a=1,b=-;(2)a(a-b)+c(b-a),其中a=-2,b=8,c=-12.11.解:(1)(a+b)(a-b)-(a-b)2=(a-b)(a+b-a+b)=2b(a-b).因为a=1,b=-,所以原式=2×(-)×(1+)=-.(2)a(a-b)+c(b-a)=(a-b)(a-c).因为a=-2,b=8,c=-12,所以原式=(-2-8)×(-2+12)=-100.1.[2021北京怀柔区期末]将3a2m-6amn+3a分解因式,下面是四位同学分解的结果:①3am(a-2n+1);②3a(am+2mn-1);③3a(am-2mn);④3a(am-2mn+1).其中正确的是()A.①B.②C.③D.④1.D3a2m-6amn+3a=3a(am-2mn+1).2.[2021辽宁铁岭期末]下列各式中,没有公因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.ab-ac与ab-bcC.2(a-b)2与3(b-a)3D.mx-my与ny-nx2.B3.计算(-2)101+(-2)100的结果是()A.-2B.-2100C.2D.21001011001001001003.B(-2)+(-2)=(-2)×(-2+1)=-(-2)=-2.4.[2020湖南娄底期末]已知ab=2,a-3b=-5,则代数式a2b-3ab2+ab的值为()A.-6B.-8C.-10D.-124.Ba2b-3ab2+ab=ab(a-3b+1),∵ab=2,a-3b=-5,∴原式=2×(-5+1)=-8.5.把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因式,结果正确的是()A.(x-y)(-a-b-c)B.(y-x)(a-b-c)C.-(x-y)(a+b+c)D.-(y-x)(a+b-c)5.B-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=-a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)=(x-y)(-a+b+c)=(y-x)(a-b-c).6.多项式(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n),则m-n的值是()A.0B.4C.3或-3D.16.C∵(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)=2(x+2)(x-1),(x+2)(2x-1)-(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n),∴2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x+n),∴m=2,n=-1或m=-1,n=2,∴m-n=3或m-n=-3.7.[2020山东聊城中考]因式分解:x(x-2)-x+2=.7.(x-2)(x-1)x(x-2)-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1).8.已知x2-x-1=0,则-x3+2x2+2021=.8.2022因为x2-x-1=0,所以x2-x=1.-x3+2x2+2021=-x3+x2+x2+2021=-x(x2-x)+x2+2021,将x2-x=1代入,得原式=-x+x2+2021=x2-x+2021=2022.9.已知在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°,c=11,△ABC的周长为24.求证:代数式3a(a2+b2)+3b(a2+b2)-363(a+b)的值为0.9.解:∵Rt△ABC的周长为24,∴a+b+c=24.∵c=11,∠C=90°,∴a+b=13,a2+b2=112=121.3a(a2+b2)+3b(a2+b2)-363(a+b)=3(a2+b2)(a+b)-363(a+b)=3(a+b)(a2+b2-121).∵a+b=13,a2+b2=121,∴原式=3×13×(121-121)=0.∴代数式3a(a2+b2)+3b(a2+b2)-363(a+b)的值为0.10.先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.(1)上述分解因式的方法是,共应用了次;(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+‧‧‧+x(x+1)2022,则需应用上述方法次,结果是;(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+‧‧‧+x(x+1)n(n为正整数).10.解:(1)提公因式法22023(2)2022(1+x)(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+‧‧‧+x(x+1)n=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+‧‧‧+x(x+1)n-1]=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+‧‧‧+x(x+1)n-2]‧‧‧n+1=(1+x).3公式法课时1用平方差公式分解因式11.[2021浙江杭州中考]因式分解:1-4y2=()A.(1-2y)(1+2y)B.(2-y)(2+y)C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2y)1.A1-4y2=1-(2y)2=(1-2y)(1+2y).12.[2021江苏无锡模拟]下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()2222A.x+4yB.-x+4yC.x2-2y+1D.-x2-4y22.BA项,x2+4y2中两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式;B项,-x2+4y2是2y与x的平方的差,能用平方差公式分解因式;C项,x2-2y+1是三项,不能用平方差公式分解因式;D项,-x2-4y2中两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式.13.把x2-(y+1)2分解因式,结果正确的是()A.(x+y+1)(x-y-1)B.(x+y-1)(x-y-1)C.(x+y-1)(x+y+1)D.(x-y+1)(x+y+1)3.Ax2-(y+1)2=[x+(y+1)][x-(y+1)]=(x+y+1)(x-y-1).14.某同学粗心大意,分解因式时,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字是()A.8,1B.16,2C.24,3D.64,84.B当■=16,▲=2时,等式的右边为(x2+4)(x+2)(x-2)=x4-16,等式左边为x4-16,等式左边=等式右边.15.[2021山东威海中考]分解因式:2x3-18xy2=.5.2x(x+3y)(x-3y)2x3-18xy2=2x(x2-9y2)=2x(x+3y)(x-3y).16.把下列多项式分解因式:22(1)16m-9n;(2)a3b-ab;22(3)(x+y+z)-(x-y+z).6.解:(1)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).(3)(x+y+z)2-(x-y+z)2=[(x+y+z)+(x-y+z)][(x+y+z)-(x-y+z)]=(x+y+z+x-y+z)(x+y+z-x+y-z)=2y(2x+2z)=4y(x+z).27.[2021河南南阳三中月考]若a,b,c是三角形的三边长,则代数式(a-b)2-c2的值是()A.正数B.负数C.0D.不能确定7.B(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c),∵a,b,c是三角形的三边长,∴a+c-b>0,a-b-c<0,∴(a-b)2-c2的值是负数.28.若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2的值为()A.200B.-200C.100D.-1008.B∵2m+n=25,m-2n=2,∴(m+3n)2-(3m-n)2=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]=(4m+2n)(-2m+4n)=-4(2m+n)(m-2n)=-4×25×2=-200.29.利用因式分解简化运算(要求写出完整计算过程):22(1)201-199;22(2)(30)-(29).9.解:(1)2012-1992=(201+199)×(201-199)=400×2=800.(2)(30)2-(29)2=(30+29)×(30-29)=60×=80.210.[教材P100随堂练习T3变式][2020广东汕头潮南区期末]如图,一长方形模具长为2a,宽为a,中间开出两个边长为b的正方形孔.(1)求图中阴影部分的面积(用含a,b的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示);(2)当a=15.7,b=4.3时,用因式分解的方法计算阴影部分的面积.10.解:(1)2a·a-2b2=2(a2-b2),∴题图中阴影部分的面积为2(a2-b2).(2)当a=15.7,b=4.3时,2(a2-b2)=2(a+b)(a-b)=2(15.7+4.3)(15.7-4.3)=456.∴题图中阴影部分的面积为456.1.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了二项式x2-□y2中“□”的部分,若该二项式能分解因式,则“□”不可能是()A.xB.4C.-4D.91.CA项,若“□”是x,则x2-xy2=x(x-y2),所以A项不符合题意;B项,若“□”是4,则x2-4y2=(x+2y)(x-2y),所以B项不符合题意;C项,若“□”是-4,则x2+4y2无法分解因式,所以C项符合题意;D项,若“□”是9,则x2-9y2=(x+3y)(x-3y),所以D项不符合题意.2.分解因式:3y4-3x4=()A.3(y2+x2)(y2-x2)B.3(y2+x2)(y-x)(y+x)C.3(y2+x2)(y-x)2D.3(y+x)2(y-x)22.B3y4-3x4=3(y4-x4)=3(y2+x2)(y2-x2)=3(y2+x2)(y+x)(y-x).3.对于任意整数m,多项式(4m+5)2-9都能()A.被8整除B.被m整除C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除3.A(4m+5)2-9=(4m+5)2-32=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1).∵m是整数,而(m+2)和(2m+1)都是随着m的变化而变化的数,∴该多项式肯定能被8整除.4.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应昌、爱、我、宜、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是()A.我爱美B.宜昌游C.爱我宜昌D.美我宜昌4.C(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b),结合题意及选项知C正确.5.[2021江苏南通崇川区期末]多项式4a2-9bn(其中n是小于10的自然数,b≠0)可以分解因式,则n的值共有个.5.5因为多项式4a2-9bn(其中n是小于10的自然数,b≠0)可以分解因式,所以n的值为0,2,4,6,8,共5个.6.设a=192×918,b=8882-302,c=6982-2202,则数a,b,c的大小关系是.(用“<”号连接)6.a0,y>0),则该正方形的边长为.7.5x+y因为25x2+10xy+y2=(5x+y)2,所以该正方形的边长为5x+y.28.用简便方法计算:(1)992+198+1;22(2)204+204×192+96.8.解:(1)992+198+1=992+2×99×1+12=(99+1)2=10000.(2)2042+204×192+962=2042+2×204×96+962=(204+96)2=90000.29.[教材P105T12变式]若a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-2ab+b2=0和b2-c2=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.9.解:△ABC是等边三角形.理由如下:∵a2-2ab+b2=0,∴(a-b)2=0,∴a=b.∵b2-c2=0,∴(b-c)(b+c)=0,∴b=c,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形.310.[2021山东菏泽中考]因式分解:-a3+2a2-a=.2322210.-a(a-1)-a+2a-a=-a(a-2a+1)=-a(a-1).311.已知ab=3,a+b=5,则a3b+2a2b2+ab3=.11.75a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.∵ab=3,a+b=5,∴原式=3×52=75.312.把下列各式因式分解:5335(1)-xy+xy;22(2)4(a-b)-16(a+b).12.解:(1)-x5y3+x3y5=-x3y3(x2-y2)=-x3y3(x+y)(x-y).(2)4(a-b)2-16(a+b)2=4[(a-b)2-4(a+b)2]=4[(a-b)-2(a+b)][(a-b)+2(a+b)]=4(-a-3b)(3a+b)=-4(a+3b)(3a+b).1.[2021浙江杭州模拟]已知a=2b-5,则代数式a2-4ab+4b2-5的值是()A.-30B.20C.-10D.01.B由a=2b-5得a-2b=-5,所以a2-4ab+4b2-5=(a-2b)2-5=(-5)2-5=20.2.[2021上海普陀区期中]将多项式4x2+1加上一项,使它能化成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是()A.4xB.-4xC.4x4D.2x2.DA项,4x2+1+4x=(2x+1)2,能运用完全平方公式分解因式,故A项不符合题意;B项,4x2+1-4x=(2x-1)2,能运用完全平方公式分解因式,故B项不符合题意;C项,4x4+4x2+1=(2x2+1)2,能运用完全平方公式分解因式,故C项不符合题意;D项,4x2+1+2x无法运用完全平方公式分解因式,故D项符合题意.3.已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则-ab的值为.3.2∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴a-b=2,∴-ab==2.222a+b2aba()2−==4.[2020北京怀柔区模拟]给出下列单项式:①4m2,②9b2a,③6a2b,④4n2,⑤-4n2,⑥-12ab,⑦-8mn,⑧a3.请在以上单项式中选取三个组成一个能先用提公因式法再用公式法因式分解的多项式,并将这个多项式分解因式.4.解:4m2+4n2-8mn=4(m2+n2-2mn)=4(m-n)2;a3+9b2a+6a2b=a(a2+9b2+6ab)=a(a+3b)2.(答案不唯一,写出一个即可)5.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x2-4x+4)2.回答下列问题:(1)该同学因式分解的结果是否彻底?若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.5.解:(1)不彻底.因式分解的结果是(x-2)4.(2)设x2-2x=y,则(x2-2x)(x2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4.6.先仔细阅读下列例题,再解答问题.已知m2-4m+n2+6n+13=0,求m和n的值.解:把等式左边变形,得(m2-4m+4)+(n2+6n+9)=0,即(m-2)2+(n+3)2=0.因为(m-2)2≥0,(n+3)2≥0,所以m-2=0,n+3=0,即m=2,n=-3.仿照以上解法,解答下列问题:(1)无论x,y取何值,多项式x2+y2-2x-4y+6的值总是()A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a2+b2-12a-16b++100=0,则△ABC为三角形.(3)已知x2-4xy+5y2+y+=0,求x和y的值.c−106.解:(1)Ax2+y2-2x-4y+6=x2-2x+1+y2-4y+4+1=(x-1)2+(y-2)2+1≥1,所以该多项式的值总是正数.(2)直角2222222因为a+b-12a-16b++100=0,所以(a-6)+(b-8)+=0,所以a=6,b=8,c=10.因为6+8=10,所以△ABC为直角三角形.c−10c−10(3)因为x2-4xy+5y2+y+=0,所以(x2-4xy+4y2)+(y2+y+)=0,所以(x-2y)2+(y+)2=0,所以x-2y=0,y+=0,所以y=-,x=-1.专项因式分解及其应用11.已知2x-y=1,xy=2,则4x3y-4x2y2+xy3的值为.322322232231.2∵4xy-4xy+xy=xy(4x-4xy+y)=xy(2x-y).∵2x-y=1,xy=2,∴4xy-4xy+xy=2×1=2.12.把下列各式分解因式:(1)(x-1)+b2(1-x);753(2)-3x+24x-48x;(3)(x+3)(x+4)+(x2-9).2.解:(1)(x-1)+b2(1-x)=(x-1)-b2(x-1)=(x-1)(1-b2)=(x-1)(1-b)(1+b).(2)-3x7+24x5-48x3=-3x3(x4-8x2+16)=-3x322322=-3x((xX+2−)4()x-2).1(3)(x+3)(x+4)+(x2-9)=(x+3)(x+4)+(x+3)(x-3)=(x+3)(x+4+x-3)=(x+3)(2x+1).23.发现与探索.(1)根据小明的解答(图1)将下列各式因式分解.22①a-6ab+5b;②(a-1)2-8(a-1)+12.(2)根据小丽的思考(图2)解决下列问题.①说明代数式a2-12a+20的最小值为-16;②求代数式-a2+12a-8的最大值.23.解:(1)①a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-9b2+5b2=(a-3b)2-4b2=(a-5b)(a-b).②(a-1)2-8(a-1)+12=(a-1)2-8(a-1)+16-16+12=(a-5)2-22=(a-7)(a-3).(2)①∵a2-12a+20=a2-12a+36-36+20=(a-6)2-16.无论a取何值,(a-6)2≥0都成立,∴(a-6)2-16≥-16,即代数式a2-12a+20的最小值为-16.②∵-a2+12a-8=-(a2-12a+8)=-(a2-12a+36-36+8)=-(a-6)2+36-8=-(a-6)2+28.无论a取何值,-(a-6)2≤0都成立,∴-(a-6)2+28≤28,即代数式-a2+12a-8的最大值为28.24.[2020山东济南历下区期中]阅读下列 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 :若一个正整数x能表示成a2-b2(a,b是正整数,且a>b)的形式,则称这个数为“明礼崇德数”,a与b是x的一个平方差分解.例如:因为5=32-22,所以5是“明礼崇德数”,3与2是5的一个平方差分解.再如:因为M=x2+2xy=x2+2xy+y2-y2=(x+y)2-y2(x,y是正整数),所以M是“明礼崇德数”,(x+y)与y是M的一个平方差分解.(1)判断:9“明礼崇德数”(填“是”或“不是”).(2)已知N=x2-y2+4x-6y+k(x,y是正整数,k是常数,且x>y+1),要使N是“明礼崇德数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.24.解:(1)是∵9=52-42,∴9是“明礼崇德数”.(2)∵N=x2-y2+4x-6y+k=(x2+4x+4)-(y2+6y+9)+k+5=(x+2)2-(y+3)2+k+5,∴当k+5=0时,N=(x+2)2-(y+3)2,为“明礼崇德数”,此时k=-5,故当k=-5时,N为“明礼崇德数”.易错疑难集训11.分解因式:(1)15a2+45ab+5a;(2)(2a-1)(a+1)-7(a+1);(3)16x4-72x2+81;22222(4)(x+y)-4xy.1.解:(1)15a2+45ab+5a=5a×3a+5a×9b+5a×1=5a(3a+9b+1).(2)(2a-1)(a+1)-7(a+1)=(a+1)(2a−1−7)=(a+1)(2a−8)=2(a+1)(a−4).1(3)16x4-72x2+81=(4x2)2-2×4x2×9+92=(4x2-9)222=(2x+3)(2x-3).本题的易错之处是分解不彻底,即忽略x2-y2可以用平方差公式分解为(x-y)(x+y),4x2-9可以用平方差公式分解为(2x+3)(2x-3).1(4)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy)=(x-y)2(x+y)2.第(4)题的易错之处是直接利用平方差公式分解,出现(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy)就结束.忽略x2+y2-2xy与x2+y2+2xy还能用完全平方公式分解,导致因式分解不彻底而出错.进行因式分解时,最后一定要检查是否已经分解到底,一是检查公因式是否已经全部提出,二是检查提出公因式后的式子是否还能利用公式分解.22.下列因式分解正确的是()A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)2.Amn(m-n)-m(n-m)=m(m-n)(n+1)=-m(n-m)(n+1),故A选项正确;6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+3q-1),故B选项错误;3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x-2),故C选项错误;3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x-y),故D选项错误.23.分解因式:6(m-n)3-12(n-m)2.3.解:6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)2[(m-n)-2]=6(m-n)2(m-n-2).受课本例题a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)的影响,以为凡是被减数与减数的位置变换时,括号前的符号都要改变.其实,对于式子(y-x)n,当变换被减数y与减数x的位置时,括号前的符号是否需要改变,还需要看指数n,当n是奇数时,(y-x)n=-(x-y)n,也就是说,当n是奇数时,括号前的符号要改变,当n是偶数时,则不需要改变.24.分解因式:-16axy-8ax2-8ay2.4.解:-16axy-8ax2-8ay2=-8a(2xy+x2+y2)=-8a(x+y)2.本题在提公因式时,忘改变括号内的符号而出错.易出现如下错解:-16axy-8ax2-8ay2=-8a(2xy-x2-y2)=8a(x-y)2.25.分解因式:9(m+n)2-16(n-m)2.5.解:9(m+n)2-16(n-m)2=[3(m+n)]2-[4(n-m)]2=[3(m+n)+4(n-m)][3(m+n)-4(n-m)]=(3m+3n+4n-4m)(3m+3n-4n+4m)=(7n-m)(7m-n).本题容易误认为n-m=-(m+n).其实,可以运用逆向思维,运用去括号法则,把式子-(m+n)去括号得-m-n,显然与n-m不相等,因而n-m=-(m+n)是错误的.36.给出下列式子:①-x2-xy-y2;②a2-ab+b2;③-4ab2-a2+4b4;④4x2+9y2-12xy;⑤3x2+6xy+3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.C②a2-ab+b2=(a2-2ab+b2)=(a-b)2;④4x2+9y2-12xy=(2x-3y)2;⑤3x2+6xy+3y2=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2.所以②④⑤能用完全平方公式分解因式.本题容易忽视②⑤,注意②提出,⑤提出3后就能利用完全平方公式分解因式.1237.多项式9a2+1加上一个单项式后,能够成为一个整式的平方,则加上的单项式是.7.±6a或或-1或-9a2看到9a2与1都是平方项,误认为所加的项只是中间项±6a而出错,本题还可以把9a2作为中间项,所加的项为()2=,所以加上的单项式为±6a或.此外还可以加上一个单项式后,原式变为一个单项式的平方,这时所加项为-1或-9a2.38.已知x2-(m-2)x+49是完全平方式,则m=.8.16或-12∵x2-(m-2)x+49=x2-(m-2)x+72,∴-(m-2)x=±2x·7,解得m=16或m=-12.11.分解因式:a2-b2-c2-2bc.1.解:a2-b2-c2-2bc=a2-(b2+c2+2bc)=a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b-c).12.分解因式:4a(a-1)-(b+1)(b-1).2.解:4a(a-1)-(b+1)(b-1)=+1==(2a-1+b)(2a-1-b).23.用简便方法计算:8502-1700×848+8482.3.解:8502-1700×848+8482=8502-2×850×848+8482=(850-848)2=22=4.34.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1,2两种方式摆放,则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是.(用含a,b的代数式表示)4.ab设大正方形的边长为x1,小正方形的边长为x2,由题图1,2列出方程组,得解得所以题1x,图x1.2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为()2-4()2=ab.a35.[2020重庆北碚区期末]为保证数据安全,通常会将数据经过加密的方式进行保存,例如:将一个多项式a3-a因式分解为a(a-1)(a+1),当a=20时,a-1=19,a+1=21,将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据:192021.根据上述方法,当x=15时,多项式16x3-9x分解因式后形成的加密数据是.5.15576316x3-9x=x(16x2-9)=x(4x+3)(4x-3),当x=15时,4x+3=63,4x-3=57,则当x=15时,多项式16x3-9x分解因式后形成的加密数据是155763.36.通过对因式分解的学习,我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解.如图1,有1,2,3号卡片各若干张,如果选取1号、2号、3号卡片的数量分别为1张、2张、3张,你能用图2中的卡片通过拼图形象地说明a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)吗?请画出图形.6.解:如图所示:由图可知大长方形的面积为a2+3ab+2b2或(a+b)(a+2b),所以a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b).章末培优专练因式分解是基本且重要的代数知识,是学习分式、 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 等知识的基础,掌握因式分解的方法有利于形成合理的知识结构,提高数学思维能力.第1题和第2题都是通过一些特殊方法来分解因式,要善于分析所给代数式的结构特征,通过适当变形,将其转化为简单的问题来解决,在培养核心素养方面具有积极意义.第3题,利用整体思想分解因式,简化了运算过程,培养了学生对整体思想的应用能力.1.先阅读,再因式分解.x4+4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2).按照这种方法把下列多项式因式分解:(1)x4+64;4224(2)x+xy+y.1.解:(1)x4+64=x4+16x2+64-16x2=(x2+8)2-(4x)2=(x2+8+4x)(x2+8-4x).(2)x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4-x2y2=(x2+y2)2-(xy)2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).2.观察下列各式的变形过程:x2+5x+6=(x+2)(x+3),其中2+3=5,2×3=6;x2+7x+12=(x+3)(x+4),其中3+4=7,3×4=12;x2-4x+3=(x-1)(x-3),其中(-1)+(-3)=-4,(-1)×(-3)=3;‧‧‧‧‧‧请用你发现的规律因式分解:(1)x2+6x+8;(2)x2-2x-8.2.解:(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).这种分解因式的方法,实际就是逆用公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,运用这种方法的关键是寻找合适的p和q.3.[利用整体思想分解因式]先阅读材料,再解答下列问题:【材料】分解因式(x+y)2+2(x+y)+1.解:令x+y=A,则(x+y)2+2(x+y)+1=A2+2A+1=(A+1)2,故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)分解因式:1+2(x-y)+(x-y)2=.(2)分解因式:(a+b)(a+b-4)+4.(3)证明:若n为整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.3.解:(1)(x-y+1)2(2)令a+b=A,则(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.∵n为整数,∴n2+3n+1也为整数,∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.1.[2021内蒙古兴安盟中考]下列等式从左到右变形,属于因式分解的是()A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.x2-2x+1=(x-1)2C.2a-1=a(2-)D.x2+6x+8=x(x+6)+81.B2.[2021广西河池中考]下列因式分解正确的是()A.a2+b2=(a+b)2B.a2+2ab+b2=(a-b)2C.a2-a=a(a+1)D.a2-b2=(a+b)(a-b)2.D3.[2021广西贺州中考]多项式2x3-4x2+2x因式分解为()A.2x(x-1)2B.2x(x+1)2C.x(2x-1)2D.x(2x+1)23.A4.[2020河北中考]若=8×10×12,则k=()921(1121A.12B.(10−)k−)C.8D.64.B∵=8×10×12,∴k=2=10.2221191(1119)(1919(11+1(−)k−)(1012−)=(−)(10)()=5.[2020四川眉山中考]已知a2+b2=2a-b-2,则3a-b的值为()A.4B.2C.-2D.-45.A∵a2+b2=2a-b-2,∴a2-2a+1+b2+b+1=0,∴(a-1)2+(b+1)2=0,∴a-1=0,b+1=0,∴a=1,b=-2,∴3a-b=3+1=4.6.[2021湖南长沙中考]分解因式:x2-2021x=.6.x(x-2021)7.[2021江西中考]因式分解:x2-4y2=.7.(x-2y)(x+2y)8.[2021北京中考]分解因式:5x2-5y2=.8.5(x+y)(x-y)9.[2021内蒙古包头中考]因式分解:+ax+a=.9.a(+1)210.[2021湖北十堰中考]已知xy=2,x-3y=3,则2x3y-12x2y2+18xy3=.10.3611.[2021江苏苏州中考]若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为.11.312.[2021河北中考]现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图).(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为;(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片块.12.(1)a2+b2;(2)4甲纸片、乙纸片、丙纸片的面积分别为a2,b2,ab.(1)甲、乙纸片各1块,其面积和为a2+b2.(2)∵a2+4ab+4b2=(a+2b)2,∴甲纸片1块,乙纸片4块,丙纸片4块,可以拼成一个边长为a+2b的正方形.13.[2019广西河池中考]分解因式:(x-1)2+2(x-5).13.解:(x-1)2+2(x-5)=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3).14.[2021黑龙江大庆中考]先因式分解,再计算求值:2x3-8x,其中x=3.14.解:2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2),当x=3时,原式=2×3×5×1=30.全章综合检测一、选择题1.[2020河北中考]对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,下列表述正确的是()A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解1.C对于x-3xy=x(1-3y),等式左边是一个多项式,右边是两个整式的乘积,故①是因式分解;对于(x+3)(x-1)=x2+2x-3,等式左边是两个整式的乘积,右边是一个多项式,故②是乘法运算.2.[2020重庆南岸区期末]把2ax2+4ax进行因式分解,提取的公因式是()A.2aB.2axC.axD.2x2.B3.[2021河北唐山期末]若多项式x2+mx+16是一个完全平方式,则m的值是()A.±4B.4C.8D.±83.D当m=±8时,x2+mx+16=(x±4)2.4.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c的值为()A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-64.D根据题意,得2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6,所以b=-4,c=-6.5.[2021黑龙江绥化模拟]将下列多项式分解因式,结果中不含因式x+3的是()A.x2-9B.x2-6x+9C.x(x-1)+3(x-1)D.x2+6x+95.BA项,x2-9=(x+3)(x-3),结果中含因式x+3,故A项不合题意;B项,x2-6x+9=(x-3)2,结果中不含因式x+3,故B项符合题意;C项,x(x-1)+3(x-1)=(x-1)(x+3),结果中含因式x+3,故C项不合题意;D项,x2+6x+9=(x+3)2,结果中含因式x+3,故D项不合题意.6.[2021贵州毕节七星关区期末]已知x-y=2,xy=3,则xy2-x2y的值为()A.5B.6C.-6D.126.C因为x-y=2,xy=3,所以xy2-x2y=-xy(x-y)=-3×2=-6.7.下列因式分解正确的是()A.-2a2+4a=-2a(a+2)B.3ax2-6axy+3ay2=3a(x-y)2C.2x2+3x3+x=x(2x+3x2)D.x2+2xy-y2=(x-y)27.BA项,-2a2+4a=-2a(a-2),故此选项错误;B项,3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2,故此选项正确;C项,2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1),故此选项错误;D项,x2+2xy-y2,无法运用完全平方公式分解因式,故此选项错误.8.当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能()A.被5整除B.被6整除C.被7整除D.被8整除8.D(n+1)2-(n-3)2=(n+1+n-3)(n+1-n+3)=4(2n-2)=8(n-1),∴一定能被8整除.9.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足ab+bc=b2+ac,则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形9.C∵ab+bc=b2+ac,∴ab-ac=b2-bc,即a(b-c)=b(b-c),∴(a-b)(b-c)=0,∴a=b或b=c,∴△ABC是等腰三角形.二、填空题10.计算:=.100222524810.5==5.100102225248=252+248248()−)11.[2021辽宁朝阳中考]因式分解:-3am2+12an2=.11.-3a(m+2n)(m-2n)12.[2021江苏南京玄武区二模]分解因式(x+3)(x+1)+1的结果是.12.(x+2)213.若a-b=3,则代数式a2+b2+6(a-b)-2ab的值为.13.27a2+b2+6(a-b)-2ab=(a2-2ab+b2)+6(a-b)=(a-b)2+6(a-b)=(a-b)(a-b+6),∵a-b=3,∴原式=3×(3+6)=27.三、解答题14.因式分解:22222222(1)3mn-12mn+12n;(2)(x+4y)-16xy;(3)8(x-2y)-x(7x+y)+xy.14.解:(1)3m2n-12mn+12n=3n(m2-4m+4)=3n(m-2)2.(2)(x2+4y2)2-16x2y2=(x2+4y2+4xy)(x2+4y2-4xy)=(x+2y)2(x-2y)2.(3)8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y).15.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成16块,若图中①②③都是边长为a的正方形,④⑤⑥都是边长为b的正方形,剩下的都是边长分别为a,b的小长方形.(1)观察图形,可以发现多项式3a2+10ab+3b2可以因式分解为.(2)若每个小长方形的面积为10cm2,6个正方形的面积之和为87cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.15.解:(1)(a+3b)(3a+b)观察图形,大长方形的边长分别为a+3b和3a+b,各部分图形面积之和为3a2+10ab+3b2,∴3a2+10ab+3b2=(a+3b)(3a+b).(2)∵每个小长方形的面积为10cm2,∴ab=10.∵六个正方形的面积之和为87cm2,∴3a2+3b2=87,∴a2+b2=29,∴a2+2ab+b2=49,∴(a+b)2=49,又∵a+b>0,∴a+b=7.∵图中虚线长度的和为12a+12b=12(a+b),∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为12×7=84.16.学完因式分解后,李老师在黑板上写了一个二次三项式分解因式的题,小明因看错了一次项系数而分解成3(x-2)(x-8),小丽因看错了常数项而分解成3(x-3)(x-5).(1)求李老师在黑板上写的二次三项式;(2)将(1)中的二次三项式分解因式.16.分析:因为含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0),所以可设原多项式为ax2+bx+c.看错了一次项系数即将b值看错,而a与c的值正确,根据因式分解与整式的乘法互为逆运算,可将3(x-2)(x-8)运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值;同样,看错了常数项即将c值看错,而a与b的值正确,可将3(x-3)(x-5)运用多项式的乘法法则展开求出b的值,进而得出答案.解:(1)设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0).∵小明因看错了一次项系数而分解成3(x-2)(x-8),3(x-2)(x-8)=3(x2-10x+16)=3x2-30x+48,∴a=3,c=48.∵小丽因看错了常数项而分解成3(x-3)(x-5),3(x-3)(x-5)=3(x2