PAGE\*MERGEFORMAT5微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义2、掌握微分在近似计算的应用3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算2、导入新课3、讲授新课（1）1、理解微分的几何意义（2）微分在近似计算的应用（3）微分在误差估算的应用4、例题分析5、课堂小结6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。1．函数增量的近似计算如果在点可微,则函数的增量,当很小时,有例1半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？解：设，厘米，厘米，则（）例2有一批半径为1cm的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为001cm，估计一下每只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm3)?解:先求出镀层的体积，再求相应的质量。因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积当自取得增量时的增量，我们求对的导数:将带入上式，得于是镀每只球需用的铜约为2．函数值的近似计算由，，得,令,有（用导数作近似计算公式）.若，则说明：（1）要计算在点的数值，直接计算比较困难，而在点附近一点处的函数值和它的导数却都比较容易求出,于是可以利用作为的近似值,与越接近越精确。（2）常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）=1\*GB3①=2\*GB3②,=3\*GB3③=4\*GB3④(x用弧度作单位来表达)=5\*GB3⑤(x用弧度作单位来表达)证明：=1\*GB3①取则，代入，便得=4\*GB3④取，则，，代入，便得如：（1）（直接开方的结果是）（2）（3）（4）（5）例3计算的近似值。解：设,则，由，取，得.例4计算的近似值。解：令，3．误差估计在生产实践中经常要测量各种数据，但是有的数据不易直接测量这时我们就通过测量其它有关数据后根据某种公式算出所要的数据。由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的
方法
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等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差。（1）绝对误差：如果某个量的精确值为，它的近似值为,那么叫做的绝对误差。（2）相对误差：绝对误差与的比值叫做的相对误差。在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能确定误差在某一个范围内。如果某个量的精确值为，测得它的近似值为,又知道它的误差不超过，则（3）绝对误差限:若，则称为测量的绝对误差限。（4）相对误差限:为测量的相对误差限。一般地，根据直接测量的值按公式计算值时，如果已知测量的绝对误差限是，即，则当时，的绝对误差即的绝对误差限约为，的相对误差限约为.以后常把绝对误差限和相对误差限简称为绝对误差和相对误差。例如.要求得圆的面积S,只能测出其直径d,后由S＝f(d)＝算出面积S.由于测量得到的直径d有绝对误差,于是由此计算出面积S也相应地有绝对误差.在近似计算中知道,当很小时,（=）.于是可用算出S的绝对误差,对于圆面积S＝f(d)＝有,所以有（绝对误差）；（相对误差）进一步,若已知时,则得绝对误差限和相对误差限分布为：；一般地,若x是由测量得到的,量y是由函数y＝f(x)计算得到的,在测量时,x的近似值为,.若已知测量值的误差限为,即,当很小时,；1.要给一个半径为的球表面涂上油漆,油漆的厚度为,试计算这层油漆的体积。解：2.设测得圆钢截面的直径，测量的绝对误差限欲用公式计算圆钢截面积，试估计面积的误差。解：的绝对误差限约为的相对误差限约为3.设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.05cm，试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。解：由直径计算球体体积的函数式是.取,求得，则球体体积的绝对误差限为相对误差限为.4.设钟摆的周期是1s，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？解：由物理学知道，单摆周期与摆长的关系为，其中是重力加速度。已知钟摆周期为1s，故此摆原长为.当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量,它引起单摆周期的增量这就是说加快约0.0002s，因此每天大约加快
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