2019-2020学年四川省遂宁市高二下学期期末考试数学（理）试题解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．函数的导数为（）A．B．C．D．答案：B根据导数运算法则和常见函数的导数公式求导即可.解：解：因为常数的导数为，的导数为，所以.故选：B.点评：本题考查导数的求导公式，是基础题.2．命题“”的否定是（）A．B．C．D．答案：A根据特称命题的否定形式，即可求解.解：解：命题“”的否定形式为：“”.故选：A.点评：本题考查命题的否定形式，注意全称量词与特称量词的转换，属于基础题.3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当答案：C先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.解：由折线图可知：不妨设2015年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t，对于A，该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，对于B，该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t，故B错误，对于C，该家庭2019年休闲旅游的消费额是0.3×2t=0.6t，2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，对于D，该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t，该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，故选：C.点评：本题解题关键是掌握折线图基础知识，结合所给数据进行简单的合情推理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．答案：B先根据渐近线的斜率得，再利用离心率公式求解即可.解：解：因为双曲线是焦点在轴上的双曲线，一条渐近线方程为，所以，所以离心率.故选：B.点评：本题考查双曲线的性质，是基础题.5．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：C利用函数，的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可.解：函数在上单调递增，则函数在上单调递增，则则“”是“”的充要条件故选：C点评：本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.6．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．答案：C对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.解：,故切线的斜率为.又.所以曲线在点处的切线方程为.即.故选:C点评：本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.7．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=（）A．2B．C．D．答案：D将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.解：椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，所以焦点在轴上，其中，所以解得故选：D.点评：本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.8．若在是增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．答案：A先求导，再根据题意得在恒成立，转化为在恒成立问题求解即可..解：解：对求导得：，因为若在是增函数，所以在恒成立，即：在恒成立，所以.故选：A.点评：本题考查利用函数单调性求参数问题，是中档题.9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A．B．C．D．答案：C分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，，从而当时，，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题.解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.10．阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x-2y-1=0B．2x+y-2=0C．x+2y-1=0D．2x-y-2=0答案：A线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标，从而得直线PF的斜率，又PF⊥AB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程．解：抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由△PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，则点P（﹣1，4），直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生分析问题的能力，是中档题．11．已知椭圆长半轴为2，且过点M(0，1).若过点M引两条互相垂直的两直线，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为，则的最大值为（）A．2B．C．5D．答案：B由题意可得的值，进而求出椭圆的方程，分两直线的斜率存在和不存在，设直线两直线的方程，设的坐标，由点到直线的距离公式求出的表达式，进而求出的表达式，由在椭圆上可得其横纵坐标的关系及纵坐标的取值范围，可得的最大值，从而得答案.解：由题意可得,则椭圆的方程为，设（1）若直线中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0.设直线的方程为，则直线的方程为由在椭圆上，则所以，故当时，有最大值，即的最大值为.（2）当直线的斜率都存在，且不为0,时设直线的方程为，即则直线的方程为，即所以所以由（1）可得的最大值为.故选：B点评：本题考查求椭圆的方程及点到直线的距离公式，属于中档题．12．已知函数，，若方程有2不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．答案：B由得有2不同的实数解，等价于或有两个不同的实数解，分析得到没有实数解，即有两个不同的实数解，利用导数分析即得实数a的取值范围.解：由得EMBEDEquation.DSMT4，去分母整理得有2不同的实数解，所以或，所以或，设所以，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.所以，所以没有实数解.所以方程有两个不同的实数解.当时，；当时，要方程有两个不同的实数解，必须.故选：B.点评：本题主要考查利用研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．抛物线的焦点坐标是__________．答案：由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.解：因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故答案为点评：本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.14．在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答)答案：60.试题分析：因为，所以的系数为【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.（2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15．两对夫妇各带一个小孩乘坐6个座位的游览车，游览车每排只有一个座位.为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，两个小孩一定要相邻.那么，这6人的排座方法种数为____（用数字作答）答案：24利用捆绑法结合分步乘法计数原理计算即可.解：先排两位爸爸，必须一首一尾，有种排法；两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有种排法；将两个小孩看成一个元素与两位妈妈进行全排列，有种排法；则共有种排法故答案为：点评：本题主要考查了相邻问题的排列问题，属于中档题.16．已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，垂线与双曲线的另一条渐近线相交于点，为坐标原点.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为__________．答案：2或由双曲线方程可得渐近线方程①当时，结合等腰三角形三线合一可知，从而求得，由此得到；②当时，由等腰三角形性质及垂直关系可求得，由此得到；在两种情况下，结合双曲线可构造关于离心率的方程，解方程求得离心率.解：由题意知，双曲线渐近线方程为①当时，如下图所示：为钝角，为等腰三角形EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，即，解得：②当时，如下图所示：为钝角，为等腰三角形EMBEDEquation.DSMT4又，EMBEDEquation.DSMT4，即，解得：综上所述：双曲线的离心率为或故答案为：或点评：本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够根据等腰三角形的性质确定渐近线倾斜角的大小，进而根据双曲线的几何性质构造关于的齐次方程，从而求得离心率.三、解答题17．已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．（1）求的方程；（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．答案：（1）（2）法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可解：法一:抛物线:的焦点的坐标为,由已知解得或∵,∴∴的方程为.法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得∴的方程为.2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点设两点的坐标分别为,则两式相减,整理得∵线段中点的纵坐标为∴直线的斜率直线的方程为即分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点设直线的方程为由消去,得设两点的坐标分别为,∵线段中点的纵坐标为∴解得直线的方程为即点评：本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．18．已知函数在与时都取得极值．（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．答案：解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．解：（1），f（x）＝3x2+2ax+b由解得，f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表： x （﹣∞,） （，1） 1 （1，+∞） f（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x时，f（x）EMBEDEquation.DSMT4为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．点评：本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．19．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄（） 患病人数（） （1）求关于的线性回归方程；（2）计算变量、的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱．）参考数据：．参考公式：，相关系数．答案：（1）；（2）相关系数为，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．（1）结合已知数据和参考公式求出、这两个系数，即可得回归方程；（2）根据相关系数的公式求出的值，再结合的正负性与的大小进行判断即可．解：（1）由题意得，，，，，故关于的线性回归方程为；（2），，说明、负相关，又，说明、相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．点评：本题考查线性回归方程的求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．20．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 20 50 女生 10 合计 100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为，求的分布列和数学期望．参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，．答案：（1）列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）分布列见解析；（1）根据总数为100，结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得的观测值，结合参考数据，即可容易判断；（2）求得分层抽样的抽样比，计算出人中男生和女生人数，利用概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得.解：（1）补充完整的列联表如下： 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 20 30 50 女生 40 10 50 合计 60 40 100计算得，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，故的所有可能取值为0，1，2．，，，故的分布列为： 0 1 2 数学期望．点评：本题考查的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.21．已知，是椭圆：的左右两个焦点，过的直线与交于，两点（在第一象限），的周长为8，的离心率为.（1）求的方程；（2）设，为的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.答案：（1）（2）（1）根据椭圆定义可知，周长为，结合已知求出，即可求解；（2）若直线斜率不存在时，求出坐标，以及值，并有；当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，得出两点坐标关系，求出，，再求出取值范围，将表示为的二次函数，转化求二次函数的取值范围，即可求得结论.解：解：（1）由条件得解得，所以的方程为.（2）由（1）得，，，当直线的斜率不存在时，，，，.当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，由得，则，，∴EMBEDEquation.DSMT4.∴.因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）∴，∴.点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆与直线的位置关系，考查参数取值问题，解题的关键要从特殊位置关系，得出一般位置关系，然后等价转化为熟悉函数的值取值范围，属于较难题.22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，求的最小值.答案：（1）见解析（2）.（1）先求，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）由（1）知，有两个极值点时，且，不妨设和，表示出，令，求的最小值即可得解.解：（1），，EMBEDEquation.DSMT4，由得或，①若，则，由得；得或，所以，若，则在递增，在递减，在递增；②若，则，，在定义域递增；③若，则，由得；得或，所以，若，则在递增，在递减，在递增.（2）由（1）知，有两个极值点时，且，不妨设和，，，所以，设，则，，由得，在内单调递减，由得，在内单调递增.所以当时，.所以，当且时，的最小值为.点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了转化与化归的思想.试卷第2=2页，总4=4页_1234568145.unknown_1234568273.unknown_1234568337.unknown_1234568401.unknown_1234568433.unknown_1234568449.unknown_1234568457.unknown_1234568465.unknown_1234568473.unknown_1234568477.unknown_1234568479.unknown_1234568481.unknown_1234568482.unknown_1234568480.unknown_1234568478.unknown_1234568475.unknown_1234568476.unknown_1234568474.unknown_1234568469.unknown_1234568471.unknown_1234568472.unknown_1234568470.unknown_1234568467.unknown_1234568468.unknown_1234568466.unknown_1234568461.unknown_1234568463.unknown_1234568464.unknown_1234568462.unknown_1234568459.unknown_1234568460.unknown_1234568458.unknown_1234568453.unknown_1234568455.unknown_1234568456.unknown_1234568454.unknown_1234568451.unknown_1234568452.unknown_1234568450.unknown_1234568441.unknown_1234568445.unknown_1234568447.unknown_1234568448.unknown_1234568446.unknown_1234568443.unknown_1234568444.unknown_1234568442.unknown_1234568437.unknown_1234568439.unknown_1234568440.unknown_1234568438.unknown_1234568435.unknown_1234568436.unknown_1234568434.unknown_1234568417.unknown_1234568425.unknown_1234568429.unknown_1234568431.unknown_1234568432.unknown_1234568430.unknown_1234568427.unknown_1234568428.unknown_1234568426.unknown_1234568421.unknown_1234568423.unknown_1234568424.unknown_1234568422.unknown_1234568419.unknown_1234568420.unknown_1234568418.unknown_1234568409.unknown_1234568413.unknown_1234568415.unknown_1234568416.unknown_1234568414.unknown_1234568411.unknown_1234568412.unknown_1234568410.unknown_1234568405.unknown_1234568407.unknown_1234568408.unknown_1234568406.unknown_1234568403.unknown_1234568404.unknown_1234568402.unknown_1234568369.unknown_1234568385.unknown_1234568393.unknown_1234568397.unknown_1234568399.unknown_1234568400.unknown_1234568398.unknown_1234568395.unknown_1234568396.unknown_1234568394.unknown_1234568389.unknown_1234568391.unknown_1234568392.unknown_1234568390.unknown_1234568387.unknown_1234568388.unknown_1234568386.unknown_1234568377.unknown_1234568381.unknown_1234568383.unknown_1234568384.unknown_1234568382.unknown_1234568379.unknown_1234568380.unknown_1234568378.unknown_1234568373.unknown_1234568375.unknown_1234568376.unknown_1234568374.unknown_1234568371.unknown_1234568372.unknown_1234568370.unknown_1234568353.unknown_1234568361.unknown_1234568365.unknown_1234568367.unknown_1234568368.unknown_1234568366.unknown_1234568363.unknown_1234568364.unknown_1234568362.unknown_1234568357.unknown_1234568359.unknown_1234568360.unknown_1234568358.unknown_1234568355.unknown_1234568356.unknown_1234568354.unknown_1234568345.unknown_1234568349.unknown_1234568351.unknown_1234568352.unknown_1234568350.unknown_1234568347.unknown_1234568348.unknown_1234568346.unknown_1234568341.unknown_1234568343.unknown_1234568344.unknown_1234568342.unknown_1234568339.unknown_1234568340.unknown_1234568338.unknown_1234568305.unknown_1234568321.unknown_1234568329.unknown_1234568333.unknown_1234568335.unknown_1234568336.unknown_1234568334.unknown_1234568331.unknown_1234568332.unknown_1234568330.unknown_1234568325.unknown_1234568327.unknown_1234568328.unknown_1234568326.unknown_1234568323.unknown_1234568324.unknown_1234568322.unknown_1234568313.unknown_1234568317.unknown_1234568319.unknown_1234568320.unknown_1234568318.unknown_1234568315.unknown_1234568316.unknown_1234568314.unknown_1234568309.unknown_1234568311.unknown_1234568312.unknown_1234568310.unknown_1234568307.unknown_1234568308.unknown_1234568306.unknown_1234568289.unknown_1234568297.unknown_1234568301.unknown_1234568303.unknown_1234568304.unknown_1234568302.unknown_1234568299.unknown_1234568300.unknown_1234568298.unknown_1234568293.unknown_1234568295.unknown_1234568296.unknown_1234568294.unknown_1234568291.unknown_1234568292.unknown_1234568290.unknown_1234568281.unknown_1234568285.unknown_1234568287.unknown_1234568288.unknown_1234568286.unknown_1234568283.unknown_1234568284.unknown_1234568282.unknown_1234568277.unknown_1234568279.unknown_1234568280.unknown_1234568278.unknown_1234568275.unknown_1234568276.unknown_1234568274.unknown_1234568209.unknown_1234568241.unknown_1234568257.unknown_1234568265.unknown_1234568269.unknown_1234568271.unknown_1234568272.unknown_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