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人教版数学九年级下册全册教学 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 第26章：反比例函数26.1.1反比例函数下列问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中，变量间具有函数关系吗？如果有，写出它们的解析式．（1）京沪线铁路全长1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；　　（2）某住宅小区要种植一个面积为1000矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化；　　（3）已知北京市的总面积为，人均占有面积S（单位：/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．　　上述问题中的函数关系式有什么共同特点？　　上述问题中的函数关系式都有的形式，其中k是非零常数．　　归纳：　　一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．注意：在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以x的取值范围是x≠0．在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键．【例】已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值．　　 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：（1）由题意，可设，把x=2，y=6代入即可求得k，进而求得y关于x的函数关系式；　　（2）在（1）所求得的函数关系式中，把x=4代入即可求得y的值．解：（1）设y关于x的函数解析式为．因为x=2，y=6，所以有．解得k=12．因此．（2）把x=4代入，得．　　写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数．　　（1）平行四边形的面积是24，它的一边长xcm和这边上的高hcm之间的关系是；　　（2）小明用10元钱去买同一种菜，买这种菜的数量mkg与单价n元/kg之间的关系是_；　　（3）老李家一块地收粮食1000kg，这块地的亩数S与亩产量tkg/亩之间的关系是；反比例函数mn=10St=1000xh=24反比例函数反比例函数　　（4）刘飞骑自行车行驶了100千米的路程，他行驶的时间t小时和速度v千米/时之间的关系是；　　（5）某小区的绿地总面积是400，该小区的人口数y和人均绿地面积x之间的关系是．vt=100xy=400反比例函数反比例函数　　1．反比例函数的概念　　一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．　　2．两个量的乘积是一个定值，是识别两个量成反比例关系的一个重要特征．　　3．知识应用　　（1）识别两个量是否成反比例关系；　　（2）识别两个变量构成的关系式是否成反比例函数式；　　（3）能够确定反比例函数关系式．第26章：反比例函数26.1.2反比例函数的图像和性质（1）　　问题1一次函数y=2x-3的图象是什么？它经过哪些象限？你能画出它的图象吗？说一说一次函数y=2x-3具有什么性质？　　答：一次函数y=2x-3的图象是一条直线；它经过第一、三、四象限；过点（0，-3）、（2，1）作直线，所得直线就是一次函数y=2x-3的图象；函数y随x的增大而增大……　　问题2猜一猜反比例函数的图象经过哪些象限？　　答：从比例系数k=6=xy，得x，y同号且不为零，说明该函数图象经过第一、三象限，且该函数图象与坐标轴没有交点．　　从上图可以看出，只描出三五个点不能看出函数图象的形状．　　追问1我们描出三五个点能看出图象是什么形状吗？（1，6）（2，3）（3，2）　　追问2　在（1，6）与（2，3）两点之间的点如（1.5，4）在什么位置？这三点共线吗？　　点（1.5，4）的位置比点（1，6）低，比点（2，3）高，这三点不共线．（1，6）（2，3）（3，2）（1.5，4）追问3　如何将这些点连接起来？　　用平滑的曲线“从左到右”将同一象限内的点连接起来，得到两条曲线．　　最后得出反比例函数的图象是双曲线．反比例函数　　，也可称为双曲线．问题3你能画出下列反比例函数的图象吗？（1）；（2）；（3）．　　要求：尽量取整数点和关于原点对称的几对点，并将这4个函数画在同一个坐标系中．　　结论：双曲线是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是直线y=x和直线y=-x．　　问题5点（1，6）和点（6，1）的位置有什么关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？点（1，6）和点（-1，-6）具有什么位置关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？　　答：点（1，6）和点（6，1）关于直线y=x对称，还能找出很多类似的对应点；点（1，6）和点（-6，-1）关于直线y=-x对称，还能找出很多类似的对应点．　　问题6点（1，6）和点（-1，-6）有什么位置关系？在双曲线上你还能找出类似的对应点吗？　　答：这两点关于原点对称，像这样的对应点还有很多，这说明双曲线关于原点对称，即双曲线是中心对称图形．　　问题7从左向右观察双曲线上的点（1，6）、（2，3）、（3，2），横坐标在怎样变化？纵坐标又是怎样变化的？从左向右观察双曲线上的点（-3，-2）、（-2，-3）、（1，6），横坐标在怎样变化？纵坐标又是怎样变化的？　　横坐标在增大，而纵坐标在减小（y值随x值的增大而减小）；横坐标在增大，而纵坐标先减小后增大．（看图象）　　问题8对于反比例函数，　　（1）当k＞0时，图象的双支分别位于哪些象限？y值随x值的变化怎样变化？　　（2）又若k＜0呢？　　　　（1）当k＞0时，x，y同号，所以双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y值随x值的增大而减小；　　（2）当k＜0时，x，y异号，所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y值随x值的增大而增大．　　解：因为反比例函数，　　　　当x＜0时，y随x的增大而减小，　　　　所以3-2m＞0．解得．　　　　所以正整数m的值是1．　　一次函数y=x+m(m≠0)与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）．BOOOO　　1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：　　（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；　　（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．　　2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；　　反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．第26章：反比例函数26.1.2反比例函数的图像和性质（2）（1）图象位于第一、第三象限的是_________；（2）图象位于第二、第四象限的是_________．在回答这个问题之前，我们首先来看下面几个问题：（1）上述四个函数中，k值分别是多少？（2）当k＞0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？（3）当k＜0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？（2）第一、第三象限．（3）第二、第四象限．前面两个问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是：（1）②④；（2）①③．（1）若x1＜x2，则y1＜y2的函数是________；（2）若x1＜x2，则y1＞y2的函数是________．　　在回答这个问题之前，我们首先来看下面几个问题：　　答案：　　（1）位于第二、第四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大．　　（2）位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小．　　最后得出前面两个问题的答案是：　　（1）①③；（2）②④．　　问题3（3）若点P（a，b）在双曲线上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积是多少？　　例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．　　（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？　　（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？　　我们首先来看下面几个问题：　　（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？　　（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？　　（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？　　（4）某点不在图象上的含义是什么？　　解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，　　所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．　　因为点A（2，6）在这个函数的图象上，　　解得k=12．　　把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，　　所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．　　（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？　　例2　如下图，它是反比例函数的图象的一支，根据图象，回答下列问题：　　（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1），和点B（x2，y2）．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？　　我们首先来看下面几个问题：　　（1）函数图象的一支位于哪个象限？　　（2）函数图象所在象限与解析式中哪个量有关？　　（3）函数解析式中的系数由哪个式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示？　　（4）在系数范围确定的情况下，在图象的某一支上，y如何随x的大小变化？　　解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，即位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．　　因为这个函数的图象的一支在第一象限，　　所以另一支必位于第三象限．　　因为该函数的图象位于第一、第三象限，　　所以m-5＞0．解得m＞5．　　（2）因为m-5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＞y2．　　例3　过反比例函数的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，比较它们的大小可得（）．A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定解析：因为S△AOC=S△BOD，而S△AOC=S△AOE+S△EOC，S△BOD=S△EOC+S梯形ECDB，所以S△AOE=S梯形ECDB．答案：C．　　1．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．y2＜y1＜y3　　2．如图，点A为反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴，S△ABO=2，则此反比例函数的解析式为________．　　反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义．　　注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．第26章：反比例函数26.2实际问题与反比例函数　　问题1某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如下图所示．　　（1）观察图象经过已知点_________；　　（2）写出这个函数的解析式；　　（3）当气球的体积是0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？（1.5，64）120kPa．　　例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．　　（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？　　（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？　　（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？（2）把S=500代入，得，解得d=20(m)．　　如果把储存室的底面积定为500m2，施工时应向地下掘进20m深．　　有200个工件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人每天加工p个工件时，需要q个工人．　　（1）求出q关于p的函数关系式．　　（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人数减少百分之几？　　例2码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．　　（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？　　（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？　　分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；　　再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．　　解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，　　所以v关于t的函数解析式为．　　（2）把t=5代入，得v==48(吨)．　　从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．　　对于函数，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．　　某蓄水池的排水管道每小时排水8m3，6h可以将满池的水全部排空．　　（1）蓄水池的容积是多少？　　（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Qm3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式．　　（3）如果准备在5h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？　　（4）已知排水管的最大排水量为12m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？　　公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．给我一个支点，我可以撬动地球！——阿基米德　　后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．支点阻力动力阻力臂动力臂　　例3小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m．　　（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？　　（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，所以F关于l的函数解析式为．当l=1.5m时，．　　对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400N的力．　　（2）对于函数，F随l的增大而减小．　　因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．　　对于函数，当l＞0时，l越大，F越小．　　因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m．　　某空调厂的装配车间计划组装9000台空调．　　（1）从空调厂组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？　　（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？答案：（1）m=(t＞0)；（2）180．　　电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR=U2．这个关系也可写为　　　或．　　例4　一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω．已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示．　　（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？　　（2）这个用电器功率的范围是多少？　　解：（1）根据电学知识，当U=220时，得．①　　（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．　　　　把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值　　　　　　　　；　　把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值．因此用电器功率的范围为220～440W．　　（1）蓄电池的电压是多少？　　（2）请写出这个反比例函数的解析式；　　（3）完成下表：　　已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）和电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图所示．　　（4）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？答案：（1）36V；（2）(R＞0)；（3）依次是12，9，6，4.5，4，3.6；（4）≥3.6Ω．　　1．一般地，建立反比例函数的解析式有以下两种方法：　　（1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为，然后求出k的值即可．　　（2）列方程法：若题目所给信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出方程，便得到函数解析式．2．常见的典型数量关系：　　（3）在物理知识中：　　①当功W一定时，力F与物体在力F的作用下移动的距离s成反比例，即；　　　　②当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即；　　③在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即．　　④杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．第27章：相似27.1图形的相似（1）　　问题1观察下列各组图片，你能说出下列各组图片的共同之处吗？　　在日常生活中，我们经常会看到许多形状相同，而大小不一定相同的图形（如上页图）．我们把这种形状相同的图形叫做相似图形．　　答：它们的大小不等，形状相同．　　问题2下图是一些相似的平面图形，你能说出两个相似的平面图形之间有什么关系吗？　　分析：相似图形的大小不一定相同；两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．　　问题3如下图，国旗上的大五角星和小五角星是相似图形吗？四颗小五角星呢？答：国旗上的大小五角星都是相似图形．　　发现：两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形C也相似．　　问题4如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？　　分析：平面镜是表面平整的镜子，它所成像的形状和大小与物体完全相同，哈哈镜是表面凹凸不平的镜子，它能使所成的像产生奇异变形，因此哈哈镜中看到的形象，有的被“压扁”，有的被“拉长”，这些镜中的形象不相似．例　如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？解：(d)与(1)相似；(e)与(2)相似．下列各组图形中，不是相似图形的是（）．BABCD形状相同的图形叫做相似图形．　　注意：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的；　　（2）全等的图形可以看成是特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相同；　　（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形的形状是否相同，这是相似图形的本质，与大小无关．第27章：相似27.1图形的相似（2）　　问题1　如果把老师手中的教鞭和铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？　　归纳：两条线段的比就是两条线段长度的比．　　那么什么样的线段是成比例线段呢？　　成比例线段　　对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．　　注意：（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；　　（2）线段的比是一个没有单位的正数；　　问题2如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．　　问题3　对于上个问题中所作出的两个相似四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？　　答：它们的对应角相等，对应边的比相等．　　结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．　　反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？　　答：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．　　例　如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x．　　解：因为四边形ABCD和EFGH相似，　　所以它们的对应角相等，　　由此可得α=∠C=83°，∠A=∠E=118°．因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得x=28.在四边形ABCD中，β=360°-(78°+83°+118°)=81°.DABC182178°83°β下列说法正确的是（）．A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似D　　1．线段的比的概念　　在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比值叫做这两条线段的比．　　2．比例线段的概念　　对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．　　3．相似多边形的概念　　两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．当两个相似多边形的相似比为1时，这两个多边形全等．　　4．相似多边形的性质　　相似多边形的对应角相等，对应边成比例．第27章：相似27.2.1相似三角形的判定（1）　　问题1根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的定义吗？　　答：如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．　　例如，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，　　我们就说△ABC和△A'B'C'相似，相似比为k，记作△ABC∽△A'B'C'．　　问题2如果相似比为1，则这两个三角形有什么关系？　　答：如果相似比为1，则这两个三角形全等．　　问题3判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么三角形相似的判定我们又能找到哪些简便的方法呢？FEDCBA　　问题5如果将平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况，如下图所示：　　把直线l2向左平移，两直线相交时，有两种特殊的交点，图（1）是把l4看成平行于△ACF的边CF的直线；图（2）是把l3看成平行于△FBC边CF的直线，那么我们能得出什么结论呢？　　结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．　　问题6如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？　　解：先证明两个三角形的角分别相等．如下图所示，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A．∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．再证明这两个三角形的对应边的比相等．过点E作EF//AB，交BC于点F．∵DE//BC，EF//AB，F∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF．∴．∴．　　这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，对应边成比例，所以△ADE∽△ABC．　　因此，我们得到如下判定三角形相似的定理：　　平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．　　1．已知△ABC∽△A'B'C'，且BC︰B'C'=AC︰A'C'．若AC=3，A'C'=1.8，则△A'B'C'与△ABC的相似比为（）．DA．7B．7.5C．8D．8.5　　2．如图，直线a//b//c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）．B　　3．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有______对．3　　1．相似三角形的概念　　三个角分别相等，三条边成比例的三角形叫做相似三角形．　　2．平行线分线段成比例的基本事实　　（1）平行线分线段成比例的基本事实　　两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．　　（2）平行线分线段成比例的基本事实的推论　　平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．　　3．相似三角形的判定　　（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似；　　（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．第27章：相似27.2.1相似三角形的判定（2）　　问题1相似三角形是如何定义的呢？除了定义，还有什么方法可以判定相似三角形？　　答：三个角分别相等，三条边成比例的三角形叫做相似三角形；除了定义，还有判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．　　问题2如果△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC和△A2B2C2有什么关系？答：△ABC和△A2B2C2相似．　　问题3全等三角形又是如何定义的呢？我们证明全等三角形有哪些方法？　　答：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；证明全等三角形的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．　　问题4全等三角形与相似三角形有什么关系？我们能否类似猜想，利用全等三角形的证明方法来判定三角形相似呢？　　答：全等三角形是相似比为1的相似三角形；可以类比利用全等三角形的证明方法来判定三角形相似．　　问题5首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？　　答：能判定这两个三角形相似．　　问题6怎样证明这个命题是正确的呢？求证：△ABC∽△A'B'C'．　　分析：要证明△ABC∽△A'B'C'，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明所作的三角形与△A'B'C'相似，这里所作的三角形是证明的中介，把△ABC与△A'B'C'联系起来．　　证明：在线段A'B'上截取A'D=AB，过点D作DE//B'C'，交A'C'于点E，　　根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的结论可得△A'DE∽△A'B'C'．EDED∴DE=BC，A'E=AC．∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．　　由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．　　问题7类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？答：能．问题8怎样证明这个定理呢？　　如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A=∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′．　　证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE//B'C'，交A'C'于点E，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的结论可得△A'DE∽△A'B'C'．ED∴A'E=AC．又∠A=∠A'，∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．ED　　由此我们得到利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．答：这两个三角形不一定相似．　　例　根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：　　（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=24cm；　　（2）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm．分析：注意（2）中的角是不是两条边的夹角．∴．∴△ABC∽△A'B'C'．（2）∵，，　　∴．又∠A=∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'．　　1．已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm．当△DEF的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似？（）　　A．2cm，3cmB．4cm，5cm　　C．5cm，6cmD．6cm，7cmC　　2．如图所示，点D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则它们还必须具备的条件是（）A．AC︰CD=AB︰BCB．CD︰AD=BC︰ACC．CD2=AD·DBD．AC2=AD·ABD相似三角形的判定定理（1）三边成比例的两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．第27章：相似27.2.2相似三角形的性质　　问题1我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？　　三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．　　问题2如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应高的比是多少？你能证明你的结论吗？　　答：对应高的比等于相似比k．　　证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．DD′∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'．又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，∴△ABD∽△A'B'D'．DD′　　问题3如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应中线，对应角平分线的比是否也等于相似比？其他对应线段呢？　　答：相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比．怎样证明这些结论呢？　　证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'．DD′∵△ABC∽△A'B'C'，∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．DD′　　证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'．DD′∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，DD′　　问题4如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'．结论：相似三角形周长的比等于相似比．　　问题5如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？　相似三角形面积的比等于相似比的平方．DD′解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴．又∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为．∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为，面积为．　　1．已知△ABC∽△A'B'C'，且AB︰A'B'=1︰3，则△ABC与△A'B'C'的周长的比等于（）．A．1︰3B．1︰9C．3︰1D．9︰1　　2．若两个相似三角形的相似比为3︰1，其中较大的三角形的面积为18，则较小的三角形的面积是______．A2　　1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．　　2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．　　3．相似三角形周长的比等于相似比．　　4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．第27章：相似27.2.3相似三角形的应用举例　　胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．　　塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．　　在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”．这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？　　根据已有的生活经验，我们知道：在阳光下，同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长．在此基础上我们可以得出：在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例．　　测量金字塔高度问题例1　据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．　　分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF．∴．∴（m）．因此金字塔的高度为134m．AFEBO还可以用其他方法测量吗？如图，△ABO∽△AEF平面镜　　2．测量河宽问题　　例2　如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ．　　分析：利用三角形中的平行截线可得相似三角形，然后根据相似三角形的性质可得关于河宽PQ的方程，解方程可以求出河宽．解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．∴，即，，PQ×90=（PQ＋45）×60．解得PQ=90（m）．因此，河宽大约为90m．你还可以用什么方法来测量河的宽度？解：构造如下图所示的相似三角形．∵∠ACB=∠PCQ，∠BAC=∠PQC=90°，∴△CBA∽△CPQ．∴．∴．3．盲区问题　　例3　如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？F　　分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．　　视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．　　由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都是观察者看不到的区域（盲区）．KGH　　解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．　　∵AB⊥l，CD⊥l，　　∴AB//CD．　　∴△AEH∽△CEK．　　∴，　　即．　　解得EH=8（m）．　　由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C．　　1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米？解：画出示意图，如图所示，由题意可得△ABC∽△A'B'C'．∴，即．解得A'C'=54（m）．答：这栋楼的高度是54m．　　2．小明想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得长为1m的竹竿的影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙(CD)上，如下图．他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2m，又测得地面部分的影长(BC)为2.7m，他测得的树高应为多少米？解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，因此BE=CD=1.2m，DE=BC=2.7m．由，得AE=3（m）．所以AB=AE+EB=3+1.2=4.2（m）．E　　1．测量高度　　测量无法直接到达顶部的物体的高度时，通常利用相似三角形的性质来解决．　　2．测量距离　　测量不能直接到达的两点间的距离时，常构造下面的两种相似三角形进行求解：（2）“X”型图，如下图所示．（1）“A”型图，如下图所示．第27章：相似27.3位似　　问题1在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，说说它们有什么共同特点？　　问题2下图中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？　　上面每幅图的两个多边形都相似，而且它们对应顶点的连线都相交于一点．　　如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．这时我们说这两个图形关于这点位似．利用位似，可以将一个图形放大或缩小．　　作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；　　（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；　　（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得　　　　　　　　　　；　　（4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．ODABCA'B'C'D'DABC　　作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；　　（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；　　（3）分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得　　　　　　　　　；　　（4）顺次连接A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．OD'A'B'C'　　作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；　　（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；　　（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得　　　　　　　　　　　；　　（4）顺次连接A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．DABCA'B'C'D'O　　此外，本题还可以在四边形ABCD的四条边上任取一点O，去作四边形ABCD的位似四边形A'B'C'D'．　　总结画位似图形的一般步骤：　　（1）确定位似中心；　　（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；　　（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；　　（4）顺次连接上述各点，得到位似的图形．　　问题4（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？　　位似变换后A，B的对应点为A′（，），B′（，）；A"（，），B"（，）．2120-2-1-20AC　　（2）如图，△AOC三个顶点的坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）．以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？　　点A，O，C的对应点分别为A'（8，8），O（0，0），C'（10，0）；A"（-8，-8），O（0，0），C"（-10，0）．　　归纳小结：　　一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．　　例　如图，△ABO三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-2，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．　　分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标．根据前面总结的规律，点A的对应点A'的坐标为或，即（-3，6）或（3，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．　　解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A'（-3，6），B'（-3，0），O（0，0）．　　顺次连接点A'，B'，O，所得△A'B'O就是要画的一个图形；AB　　利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A"（3，-6），B"（3，0），O（0，0），　　顺次连接点A"，B"，O，所得△A"B"O就是要画的另一个图形．AB　　1．在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标是（）．A．（-2，1）B．（-8，4）C．（-8，4）或（8，-4）D．（-2，1）或（2，-1）D　　2．已知点O和△A'B'C'，如下图所示，以点O为位似中心把△A'B'C'放大3倍，请画出放大后的图形．　　（1）以点O为端点，分别作射线OA′，OB′，OC′；　　（2）分别在射线OA′，OB′，OC′上取点A，B，C，使．　　（3）连接AB，BC，AC，△ABC就是所求作的三角形．解法一BAC　　（3）连接AB，BC，AC，△ABC就是所求作的三角形．　　（1）以点A′为端点作射线A′O，以点B′为端点作射线B′O，以点C′为端点作射线C′O；BAC解法二　　1．位似图形的有关概念　　如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（位似中心可以在形上、形外、形内）．这时我们就说这两个图形关于这点位似．　　2．位似图形的性质　　（1）位似图形的对应顶点的连线经过位似中心；　　（2）位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）；　　（3）位似图形的对应顶点到位似中心（在不重合的情况下）的距离之比等于相似比．　　3．画位似图形的一般步骤　　（1）确定位似中心（位似中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还可以在图形的边上）；　　（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；　　（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；　　（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．　　4．平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系　　一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．第28章：锐角三角函数28.1锐角三角函数（1）　　意大利比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心点2.1m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线5.2m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心的距离减少了43.8cm．　　问题1我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角θ的度数吗？　　在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？　　答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”．　　对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？　　答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．　　从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角三角函数”——锐角的正弦、余弦、正切．　　我们先研究有一个锐角为30°的直角三角形问题．　　问题2为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？　　你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解决这个问题．　　答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB．　　依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备70m长的水管”．　　在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？　　答：依据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备100m长的水管”．　　对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？　　答：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于．　　问题3在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是吗？例如，如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比．由此你能得出什么结论？　　答：在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形．　　由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2BC2，．因此．　　结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与斜边的比都等于．　　问题4由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，它是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，它也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？　　答：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．　　问题5如图，任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么与有什么关系？你能解释吗？解：=；因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．所以，即．　　在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值．这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称．　　如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA=．当∠A=30°时，∠A的正弦为多少？∠A=45°呢？答：sin30°=，sin45°=．注意：正弦的三种表示方式：sinA（省去角的符号），sin30°，sin∠DEF．问题6如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？所以，即；，即．　　答：当∠A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的．　　证明：如图，因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．　　我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosA=；　　把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=．　　∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）．例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理，得．因此，．如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理，得．因此，．例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值．解：由勾股定理，得．因此，，．1．在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC︰CA︰AB=5︰12︰13，则cosB=（）．A．　B．C．D．C2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值．解：在Rt△ABC中，∵a=3，c=5，∴．∴sinA=，tanA=．1．正弦、余弦、正切的定义如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=．（2）余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=；（3）正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=．2．锐角三角函数的定义∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数，即sinA，cosA，tanA都叫做锐角A的三角函数．第28章：锐角三角函数28.1锐角三角函数（2）1．什么是正弦、余弦、正切？2．含30°，45°角的直角三角形有哪些性质？3．还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？sin30°=，sin45°=．4．你还能推导出sin60°的值及30°，45°，60°角的其他三角函数值吗？问题1分别画出含有30°，45°，60°角的直角三角形，并求出sin30°，sin45°，sin60°的值，以此类推求出30°，45°，60°角的所有三角函数值．解：问题2求出下列各角的三角函数值：（1）sin37°24′；（2）cos21°28′30″；（3）tan52°45′．解：（1）求sin37°24′的值，利用计算器的键，再输入角度值37°24′，得到结果：sin37°24′≈0.6074．注意：输入度数时，用键或用小数度数．