2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的基本定理例1给出下列命题：（1）向量与向量是共线向量，不是平行向量；（2）若向量与向量都是单位向量，则；（3）若，则四点构成平行四边形；（4）为实数，若，则与共线．其中错误的命题的序号是．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同；（3）是错误的，当A、B、C、D在一条直线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当时，与可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若，则A、B、C、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。，若，则与不一定共线。【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．例2已知,且∥,则．【答案】【解析】根据∥有,可知,得【易错点】（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了．（2），不是，可以记为“斜乘相减等于零”．，可以记为“竖乘相加等于零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关．题型二平面向量的线性运算例1在中，错误的式子是（　　）A． B． C． D．【答案】D．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如，对于选项，利用平行四边形法则结合图像可得．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。【思维点拨】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．题型三平面向量的数量积及其应用例1已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（　　）A． B． C． D．【答案】．【解析】在上的投影为,所以选择．【易错点】（1）对在上的投影的概念和公式理解不透彻．（2）在上的投影为，由于，所以在上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把在上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．【思维点拨】1．对两向量夹角的理解（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π．（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别（1）若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0．（2）若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c．（3）若a，b，c∈R，则a（bc）＝（ab）c（结合律）成立，但对于向量a，b，c，而（a·b）·c与a·（b·c）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．（4）若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．例2已知向量满足：与垂直，且，则的夹角为．【答案】．【解析】由已知得（）．（）=0，故，则＝，又因为，故与的夹角为．【易错点】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清．（2）两个向量的夹角的范围是，不是，所以本题只有一个答案．【思维点拨】1．求两非零向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律；（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．【巩固训练】题型一平面向量的基本定理1．给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥．又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且与方向相同，因此＝．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t（a＋b），是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝（t－3）a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即（t－3）a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得（t－3＋3k）a＝（2k－t）b．因为a，b不共线，所以有解之得t＝．故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．4．下列说法正确的是A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C．长度相等的向量叫做相等向量D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】对于A，若向量与向量是共线向量，则或点在同一条直线上，故A错误；对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误；对于C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；对于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选D．5．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是（　　）A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0【答案】D【解析】选D。若e1与e2共线，则e2＝λ′e1.因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b.若e1与e2不共线，设a＝μb，则e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0.题型二平面向量的线性运算1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（　　）A．（－2,7） B．（－6,21） C．（2，－7） D．（6，－21）【答案】B【解析】＝3＝3（2－）＝6－3＝（6,30）－（12,9）＝（－6,21）．2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝（　　）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】∵·＝1，且AB＝2，∴1＝||||cos（π－B），∴||cosB＝－．在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即9＝4＋BC2－2×2×．∴BC＝．3．若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，②，③．其中正确的有A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【解析】①的等价式是=，左边=+，右边=+，不一定相等；②的等价式是=，左边=右边=，故正确；③的等价式是=+，左边=右边=，故正确.所以正确的有2个，故选B．4．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）A． B．C． D．【答案】B【解析】,故选B．5．已知，，，设，，.（1）求；（2）求满足的实数，.【解析】（1）由已知得，，，则.（2）∵，∴.题型三平面向量的数量积及其应用1．对于非零向量，下列命题正确的是（　　）A． B．是|C． D．【答案】C．【解析】对于选项,，,故错误；对于B，的投影是，所以错误．对于，不能推出所以错误，排除法选．故选．2．已知a＝（1,2），b＝（－2，n），a与b的夹角是45°．（1）求b；（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c．【答案】见解析【解析】解：（1）∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，∴cos45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0（n>1）．∴n＝6或n＝－（舍）．∴b＝（－2,6）．（2）由（1）知，a·b＝10，|a|2＝5．又∵c与b同向，故可设c＝λb（λ>0）．∵（c－a）·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0．∴λ＝＝＝．∴c＝b＝（－1,3）．3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝（　　）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2.4．质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）A．2 B．2 C．2 D．6【答案】A【解析】由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28，因此，|F3|＝2.21