PAGE\*MERGEFORMAT#第一部分：平面向量的概念及线性运算•基础知识自主学习1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的（或称）平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为墻平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02•向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a+b=b+a.结合律：(a+b)+c=a+(b+c).a法则a法则减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差a—b=a+(—b)ar|法则数乘求实数入与向量a的积的运算（1）1创=丨恫.（2）当?>0时，扫的方向与a的方向；当？<0时，?a的方向与a的方向：当入=0时，扫=0.X®)=入a：(ZtFi_)a=?a+逅:Xa+b)=?a+?b.3•共线向量定理向量a（a和）与b共线的条件是存在唯一一个实数入使得b=减二•难点正本疑点清源向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段
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示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.•向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线（或重合）的情况，而直线平行不包括共线的情况•因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.基础自测1.化简OP—QP+MS—MQ的结果等于下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是.3.4.5.B、CC、DA.A、B、C.B、C、题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1给出下列命题：若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点，贝UAB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;⑤若a//b,b//c,则a//c.其中正确的序号是变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.若向量a与b同向，且|a|=|b|,则a>b;若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；若|a|=|b|,且a与b方向相同，贝Ua=b;由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；⑸若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；⑹若向量AB与向量CD是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上;⑺起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算BM=3BC,CN=3CD，用a、b表示OM、ON、MN.—>2~->—>变式训练2△ABC中，AD=3AB,DE//BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N.设AB=a,AC=b，用a、b3ffff表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.题型三平面向量的共线问题例3设ei,e2是两个不共线向量，已知AB=2ei—8e2,CB=ei+3e2,CD=2ei—e2.求证：A、B、D三点共线；若BF=3ei—ke2,且B、D、F三点共线，求k的值.变式训练3设两个非零向量a与b不共线，TTTA、B、D三点共线;若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)•求证:⑵试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.思想与方法5•用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO中，OC=4OA,0D=2oB,AD与BC相交于点M，设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量0M.O思想方法感悟提高方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础..可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB/CD且AB与CD不共线，则AB//CD;若AB/BC，则A、B、C三点共线.失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性..在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.课后练习.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；七=0（入为实数），则入必为零；入□为实数，若扫，则a与b共线.TOC\o"1-5"\h\z其中错误命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：AB+CD=BC+DA•，②AC+BD=BCAD:③AC—BD=DC+AB.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个已知0、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2ACCB=0,则OC等于（）A.2OA—OBB.OA+20BC.2OA—3
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思维要严谨，解答要规范试题：设两向量ei、e2满足|ei|=2,1,ei、e2的夹角为60°若向量2tei+7e2与向量ei+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.思想方法感悟提高方法与技巧1.向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似.如(a+b)2=a2+2a・!bb2;(?a+pb)sa+tb)=^a2+(入+)a•+(人s,t€R)..求向量模的常用方法：利用公式|af=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算..利用向量垂直或平行的条件构造方程或
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数是求参数或最值问题常用的方法技巧.失误与防范(1)0与实数0的区别：0a=0工0a+(—a)=0工0a•爭0工0(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.a・#0不能推出a=0或b=0，因为a・#0时，有可能a丄b.一般地，(a•b)c工(b即乘;法的结合律不成立.因a•是一个数量，所以(a•b表示一个与c共线的向量，同理右边(b•c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a•b)c丰(b•c)a.a•非a•c(a不0)推出b=c.即消去律不成立.uuuUULT向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈AB,BC〉应为120°而不是60°.课后练习11TOC\o"1-5"\h\z1•设向量a=(1,0),b=(2,2)，则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.a•非学-C.a//bD.a—b与b垂直2•若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)，满足条件(8a—b)c=30,则x等于()A.6B.5C.4D.33•已知向量a,b的夹角为60°且|a|=2,|b|=1,则向量a与a+2b的夹角等于()A.150°B.90°C.60°D.30°——.uuruuu平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3)，贝UADBD等于()A.6B.8C.—8D.—6n若e1、e2是夹角为3的单位向量，且向量7A.1B.—4C.—2a=2e1+e2，向量b=—3e1+2e2,贝Ua•等于(7D.7.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为彳则R+b|=.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°贝Ua•扣，若(a—mb)丄a,则实数m=设a、b、c是单位向量，且a+b=c,贝Ua•的值为.(O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点•平面内的动点P满足OPOA(ABAC),1uuuuuuuuu若匸1时，PA(PBPC)的值为.10.不共线向量a,b的夹角为小于120。的角，且|a|=1,|b|=2，已知向量c=a+2b,求|c|的取值范围.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,—x),x€R.(1)若a丄b，求x的值；(2)若a//b，求|a—b|.12.向量a=(cos23,°cos67°向量b=(cos68,°cos22°)(1)求a-；(2)若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的最小值.第四部分:平面向量应用举例基础知识自主学习1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a//b?⑵证明垂直问题，常用数量积的运算性质a丄b??.(3)求夹角问题，利用夹角公式"abCOS0='=|a||b|_X1X2+yiy2_x1+y1.'x2+y(0为a与b的夹角)..平面向量在物理中的应用由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决.物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积.即W=Fs=|F||s|cos0(0为F与s的夹角)..平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.难点正本疑点清源1•向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物•在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.2.要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.基础自测TOC\o"1-5"\h\z1.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB/DC,AD//BC•已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6).贝UD点的坐标为..已知平面向量a伏|a|=1,|日=2,a丄(a—2®，则|2a+厲的值是.yuuuUUU.平面上有三个点A(—2,y),BO,；,C(x,y),若AB丄BC，则动点C的轨迹方程为HYPERLINK\l"bookmark36"uuu—*—■.已知A、B是以C为圆心，半径为•.5的圆上两点，且|AB|=,5,ACCB等于()55產A.—2BqC.0D.^.某人先位移向量a：向东走3km”，接着再位移向量b:向北走3km”，贝Ua+b表示()A.向东南走3,'2kmB.向东北走3.；2kmC.向东南走3'3kmD.向东北走3」3km题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1如图，在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90°CA=CB,D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD丄CE.变式训练1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(—1,—2),B(2,3),C(-2,—1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；⑵设实数t满足(AB—tOC)OC=0,求t的值.题型二平面向量在解析几何中的应用uur例2已知点P(0,-3),点A在x轴上，点M满足PAuuuuT3TAM=0,AM=—|mQ，当点A在x轴上移动时，求动点的轨迹方程.22变式训练2已知圆C:(x-3)+(y-3)=4及点A(1,1),M是圆上的任意一点，点N在线段MA的延长线上,uurT且MA=2AN，求点N的轨迹方程.题型三平面向量与三角函数例3已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(—1,0).n(1)若x=3，求向量a与c的夹角；⑵若x€—弩，产，求函数f(x)=a•的最值；84函数f(x)的图象可以由函数y="2sin2x(x€R)的图象经过怎样的变换得到?五.易错警示9.忽视对直角位置的讨论致误uuuuuu试题：已知平面上三点A、B、C,向量BC=(2—k,3),AC=(2,4)(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；⑵若△ABC为直角三角形，求k的值.变式训练3已知A(3,0),B(0,3),C(cosa,sinuuuuuu(1)若AC-BC=—1，求Sinna+4的值；(2)a).uuuuuu右|OA+OC|13，且a€(0,nIuuu求OB与OC的夹角.六.思想方法感悟提高方法与技巧.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题..以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模.用向量方法解决平面几何问题的步骤建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果翻译”成几何关系.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，禾U用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决.失误与防范uuuI1.向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别.例如：向量AB//CD并不能说明AB//CD.2.加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题.七.课后练习1.已知△ABC,ABAC,则一定有(A.AB丄ACAB=ACC.(AB+AC)丄(ab-AC)D.2.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量位).设开始时点P的坐标为(一10,10),A.(-2,4)C.(10,-5)3•平面上有四个互异点A.直角三角形C.等腰直角三角形A、B.(-30,25)D.(5,-10)B、C、D，已知B.等腰三角形D.等边三角形AB+AC=AB-ACv=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为VI个单则5秒后质点P的坐标为ULULUTuunUJIDUUT(DBDC2DA)(ABAC)0，则△ABC的形状是(-uutUUU4.如图，△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7，则AOBC等于(5B.2D.33A.2C.25.平面上O、A、A.|a|2|b|2-(ab)2C.1;|a|2|b|2-(ab)2B三点不共线，设OAa,OB匕则厶OAB的面积等于(B.|a|2|b|2+(ab)2D.1；|a|2|b|2+(ab)2=60°贝U|2a+b|=_6.已知|a|=3,|b|=2,〈a,7.河水的流速为2m/s,—艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,b>则小船的静水速度大小为8.已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),0(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且满足APOA<0BP<)B>0则OP•AB的最小值为.UUUUUU.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若AB・AC=BABC1，那么c=.如右图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中心，问PQ与BC的夹角B取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值.已知向量a=(sin0,cos0—2sin®,b=(1,2).(1)若a//b，求tan0的值;(2)若|a|=|b|,0<0
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