2020届河北省石家庄市高三下学期5月阶段性训练数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届河北省石家庄市高三下学期5月阶段性训练数学（理）试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合，则集合（）A．B．C．D．答案：B化简集合，按交集的定义，即可求解.解：由题意知，故.故选：B．点评：本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.2．命题：“”的否定形式为（）A．B．C．D．答案：A根据全称命题的否定形式，即可得出结论.解：命题：“”的否定形式，.故选：A．点评：本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题,3．已知是虚数单位，且，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B根据复数除法的运算法则求出，得出，即可得结论.解：，则，所以对应点在第二象限.故选：B．点评：本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.4．已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．答案：C运用指数函数的单调性和对数函数的单调性，即可得出结论.解：由于在上单调递减，故；由于在上单调递增，故；由于在上单调递减，故．故.故选：C．点评：本题考查比较数的大小，利用函数的单调性是解题的关键，要注意与特殊的数对比，属于基础题.5．为得到的图象，只需要将的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位答案：D试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．【考点】三角函数的图像变换．6．已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（）A．B．C．D．答案：C根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.解：根据约束条件画出可行域，图中阴影部分为可行域，目标函数，表示可行域中点与连线的斜率，由图可知点与连线的斜率最大，故的最大值为，故选：C.点评：本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.7．在中，角的对边分别为，若，则的面积的最大值为（）A．B．C．1D．答案：D将已知等式角化为边，再由余弦定理求出，要求出的面积最大值，只需求出的最大值，由结合基本不等式，即可求解.解：根据正弦定理知化为为，即，故，，故，则．因为，，所以，当且仅当，等号成立，此时的面积，故的面积的最大值为．故选：D．点评：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用基本不等式求面积的最大值，考查计算求解能力，属于基础题.8．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．答案：C已知圆圆心为，半径为，根据圆的相交弦长公式，求出圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立关系，进而得出关系，即可求解.解：双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．圆心到渐近线的距离，又由点到直线的距离公式，可得，所以.故选：C．点评：本题考查双曲线的简单几何性质、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.9．如图，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（）A．B．5C．D．答案：A根据已知先求出圆的半径，由，结合向量数量积运算律，的最大值转化为求的最大值，再由向量的数量积公式，即可求出结论.解：由题意知，设到的距离为，则有，故，其中，设的夹角为，，当且仅当与同向时，等号成立；所以的最大值为.故选：A．点评：本题考查向量的线性关系的几何表示、向量数量积及其最值，考查计算求解能力，属于中档题.10．已知数列满足：则数列的前30项的和为（）A．B．C．D．答案：D根据已知递推公式，可得数列的奇数项成等差数列，求出，用裂项相消法，即可求出结论.解：由得，两式相减得，故以3为公差的等差数列，，．则，故选：D．点评：本题考查数列的通项公式以及裂项相消法求数列和，考查计算求解能力，属于中档题.11．已知函数对于任意，均满足，当时，（其中为自然对数的底数），若函数，下列有关函数的零点个数问题中正确的为（）A．若恰有两个零点，则B．若恰有三个零点，则C．若恰有四个零点，则D．不存在，使得恰有四个零点答案：B求的零点个数问题，转化为函数图象与函数图象交点个数问题，由已知可得关于对称，画出图象，逐项讨论交点个数与参数关系，即可求出结论.解：由知关于对称，如图，令，即，设，当时，，设与相切时的切点为，，则有，解得，此时，当过点时，，故B选项正确．若恰有两个零点，则或，故A选项错误；若恰有四个零点，则，故C、D选项错误．故选：B．点评：本题考查函数的零点问题、零点与函数图象的关系，数形结合是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.12．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（）A．1B．C．2D．3答案：C由已知可得直线的斜率，利用抛物线定义将用表示，再由，得出关系，再由为的重心，求出，即可求解.解：由题意知，带入得，即．由为的重心，则有，即，即，所以，因此有．故所在直线的斜率.故选：C．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形重心公式，抛物线定义的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__________．答案：先求出，由三角函数的定义即可求解.解：由题意知，．故答案为：.点评：本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.14．的展开式的常数项是__________．（用数字作答）答案：15先求出展开式的通项，令的指数为零，求解即可.解：展开式的通项为，令，所以展开式的常数项为．故答案为：15.点评：本题考查二项展开式定理，熟记通项是解题的关键，属于基础题.15．2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”．武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被确诊的概率均为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则____．答案：根据题意求出检测前3人没有确诊第4人确诊或者前4人没有确诊第5人确诊的概率，利用导数法，求出所求概率的最大值.解：由题意知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值．故答案为：.点评：本题考查概率实际应用问题，涉及相互独立事件与互斥事件概率的求法，利用导数法求最大值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.三、双空题16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，则____；四棱锥的外接球的表面积为__________．答案：作于，可证平面，过作，连接，可证，求出，即可求出；取为中点，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，得平面，，设，作，在中，建立关系，求解即可.解：，，，同理，平面，，在正方形中，，平面，作交于，且，与相交，平面，过作，连接，因为，故平面，故．在中，；在中，；在中，，因此，故；取为中点，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，平面，，，，，设，作与，在中，，在中，，联立，解得，故外接球表面积为．故答案为：，.点评：本题考查空间线面位置关系、多面体外接球问题，注意空间垂直关系的相互转化，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.四、解答题17．已知等差数列的前项和为且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅰ）设等差数列的公差为，将已知条件转化为的关系，求解即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（1）结合已知可得，用错位相减法求其和.解：（Ⅰ）设数列的公差为，由得：，所以，又因为，所以．于是，故．（Ⅱ）设的前项和为，因为，所以，依题，则于是即故：．点评：本题考查等差数列的前项和与通项公式的基本量的计算，以及用错位相减法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于基础题.18．如图1，在中，分别是边上的中点，将沿折起到的位置，使如图2．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（Ⅰ）由已知可得，，可证平面，进而有平面，即可证明结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面平面，在正中过作，垂足为，则有平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定坐标，求出平面法向量坐标，按照空间向量线面角公式，即可求解.解：（Ⅰ）在图1中，分别为边中点，所以，又因为所以在图2中，且，则平面，又因为，所以平面又因为平面，所以平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面,且平面所以平面平面，又因为平面平面在正中过作，垂足为，则为中点，且平面，分别以，梯形中位线，所在直线为轴，轴，轴建立如图坐标系，则．．设平面的法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．点评：本题考查空间线、面的位置关系，证明平面与平面垂直以及用空间向量法求线面角，要注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19．已知点，椭圆：的离心率为和分别是椭圆的左焦点和上顶点，且的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当时，求直线的方程．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）或（Ⅰ）由的面积为，得出关系，再由离心率结合关系，求解即可得出椭圆方程；（Ⅱ）设，由已知可得，设直线方程为，与椭圆方程联立，得到的关系式，进而得出的关系式，建立的方程，求解即可得出结论.解：（Ⅰ）设，由条件知，所以的面积为，①由得，从而，化简得，②①②联立解得，从而，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）当轴时，不合题意，故设，将代入得．由题得，设，则因为，所以，从而，整理得，，所以直线的方程为或．点评：本题考查椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求方法在相交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20．某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为，标准长分别为则“口径误差”为只要“口径误差”不超过就认为合格，已知这台车床分昼､夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品．（Ⅰ）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率；（Ⅱ）若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）昼批次不做检測为好；夜批次做检测为优.（Ⅰ）先分别求出昼批次和夜批次合格品的概率，再由独立事件同时发生的概率公式，即可求解；（Ⅱ）分别求出昼批次和夜批次不做检测的利润期望值和都做检测的利润期望值，加以对比，即可得出结论.解：（Ⅰ）以样本的频率作为概率，在昼批次中随机抽取1件为合格品的概率是，在夜批次中随机抽取1件为合格品的概率是，故两个批次中分别抽取2件产品，其中恰有1件不合格产品的概率为．（Ⅱ）①若对所有产品不做检测，设为昼批次中随机抽取1件的利润，的可能取值为10，，所以的分布列为100.90.1所以，故在不对所有产品做检测的情况下，1000件产品的利润的期望值为，设为夜批次中随机抽取1件的利润，的可能取值为10，，所以的分布列为100.750.25所以，故在不对所有产品做检测的情况下，1000件产品的利润的期望值为，②若对所有产品做检测，昼批次1000件产品的合格品的期望为900件，不合格品的期望为100件，所以利润为，夜批次1000件产品的合格品的期望为750件，不合格品的期望为250件，所以利润为，综上，昼批次不做检测的利润期望6500大于做检測的利润期望6000，故昼批次不做检測为好；夜批次不做检测的利润期望1250小于做检测的利润期望3750，故夜批次做检测为优．点评：本题考查独立事件同时发生的概率求法、离散型随机事件的分布列和期望，考查计算求解能力，属于中档题.21．已知函数，若在处的切线为．（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）设其中，证明：答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析（Ⅰ）求出，，建立方程，求解即可得到结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论，将问题转化为对任意恒成立，令，而是偶函数，只需时，恒成立，注意，只需在单调递增即可，若存在单调递减，则不恒成立，转化为研究在单调性，即可求解；（Ⅲ）由，利用（Ⅱ）的结论，可得，．进而得到，将分别用，代入得到个不等式，相加即可证明结论.解：（Ⅰ）由，得；由，得．根据题意可得，解得；（Ⅱ）解法一：由不等式对任意恒成立知恒成立，令，显然为偶函数，故当时，恒成立．，令，，令，显然为上的增函数，故，即在上单调递增，．①当，即时，，则有在上单调递增，故，则在上单调递增，故，符合题意；②当，即时，因为，故存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，当时，，故在上单谓递减，故与矛盾．综上，．解法二：由不等式对任意恒成立，知恒成立，当时，不等式成立；当时，，令，由于为偶函数，故只需考虑的情况即可．当时，．令，，令，，当时，，故在上单调递增，故．因此当时，，故在上单调递增，即有，故，所以在上单调递增，由洛必达法则有，故．（Ⅲ）解法一：，由（Ⅱ），当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立．故，当且仅当时等号成立．因此有，，以上个式子相加得．解法二：由（Ⅱ）知，当且仅当时等号同时成立．故，，以上个式子相加得．点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想和直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线、交于､两点．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为，求的值．答案：（Ⅰ）；；（Ⅱ）（Ⅰ）将曲线参数消去，得出普通方程，再将代入普通方程，即可得到曲线的极坐标方程；曲线参数方程先化为，然后平方相减，即可消去参数，求出曲线的普通方程；（Ⅱ）在曲线上，将曲线的直线标准参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数关系和曲线参数的几何意义，即可求解.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）．消去得，将，代入上式得曲线的极坐标方程，整理得；因为，所以曲线的普通方程为．（Ⅱ）因为在曲线上，所以将的参数方程（为参数）．代入到的直角坐标方程，得，设分别为点对应的参数，则有，由参数的几何意义得．点评：本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，利用直线的标准参数方程的几何意义求距离，考查计算求解能力，属于中档题.23．函数（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若的最小值为，，求证：．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析（Ⅰ）对分类讨论去绝对值化简，求出各段函数的范围，即可求出的最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，将所求的不等式化为，利用基本不等式，即可证明结论.解：（1）当时，；当时，；当时，．所以的最小值为．（2）由（1）知，即，又因为，所以．当且仅当，即时，等号成立，所以．点评：本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.PAGE试卷第2页，总3页1