课时作业62不等式的证明[基础达标]1．[2018·江苏卷]若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．证明：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，xyz当且仅当＝＝时，等号成立，122244此时x＝，y＝，z＝，333所以x2＋y2＋z2的最小值为4.2．[2019·云南大理模拟]已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．3－2x，x<0，解析：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝3，0≤x≤3，2x－3，x>3.x<0，0≤x≤3，x>3，f(x)－5≥x，即或或3－2x≥x＋53≥x＋52x－3≥x＋5，2xx?x8解得≤－3或∈或≥，2所以不等式的解集为－∞，－∪[8，＋∞)．3(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)
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示数集A中的最小数，若h＝amin2b，，证明：h≤f(x)．a2＋b2解析：(1)由题意得，x＞1，－2≤x≤1，或x－1－x＋2≤－2－x－1－x＋2≤－2x＜－2，或－x－1＋x＋2≤－2，11解得x≥，∴M＝{x|x≥}22．0＜h≤2b，(2)证法一由题意知，a0＜h≤，a2＋b22ab∴h2≤，a2＋b22ab∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，∴h2≤≤1，a2＋b2∴0＜h≤1.∵||x－1|－|x＋2||≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，∴－3≤|x－1|－|x＋2|≤3，f(x)≥1≥h，得证．1，x＞1，证法二由f(x)＝3－2x，－2≤x≤1，结合f(x)的图象(图略)7，x＜－2，可得f(x)≥1.1aa1∵b≥，∴2b≥1，≤＝≤1，当且仅当a＝b时等号2a2＋b22ab2b成立，∴h≤f(x)．[能力挑战]31111*7．求证：－＜1＋2＋⋯＋2＜2－(n∈N且n≥2)．2n＋12nn证明：∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N*且k≥2)，11111111∴＜2＜，即－＜2＜－.kk＋1kkk－1kk＋1kk－1k分别令k＝2,3，⋯，n得1111－＜2＜1－，232211111－＜2＜－，3432311111－＜2＜－，将这些不等式相加得nn＋1nn－1n111111111111－＋－＋⋯＋－＜＋＋⋯＋＜1－＋－＋⋯2334nn＋12232n222311111111＋－，即－＜2＋2＋⋯＋2＜1－，n－1n2n＋123nn111111∴1＋－＜1＋2＋2＋⋯＋2＜1＋1－，2n＋123nn311111*即－＜1＋2＋2＋⋯＋2＜2－(n∈N且n≥2)成立．2n＋123nn
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