第=page11页，共=sectionpages11页2022年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个实数中，最大的数是( )A.−3B.−1C.πD.42.2月4日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文化自信．据估计有约5亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数法可以把5亿
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示成( )A.5×109B.50×108C.5×108D.50×1073.小竹将正方体小冰块摆成了如图所示的样子．如果小竹从左侧看这堆小冰块，他会看到( )A.B.C.D.4.点P(3,−5)关于x轴对称的点的坐标为( )A.(3,5)B.(5,3)C.(−3,5)D.(−3,−5)5.从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为( )A.14B.12C.34D.16.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为( )A.10x+5(x−1)=70B.10x+5(x+1)=70C.10(x−1)+5x=70D.10(x+1)+5x=707.如图，点A、B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是24，且点B是AC的中点，则k的值为( )A.403B.16C.8D.2038.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a>0；②b2−4ac>0；③4a+b=0；④不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为1
计划
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只购买陶公岛门票的400人和原计划只购买福泉山门票的600人改为购买联票．①联票价格下降5元，请通过计算预测四月份的门票总收入；②请问：当联票价格下降多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？23.(本小题12.0分)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是______(填序号)；①矩形②菱形③正方形(2)如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD=∠BPC=90°，且∠ADP=∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；(3)在(2)的条件下，BD=4，且AB=3DC．①当DC=23时，求AC的长度；②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．24.(本小题14.0分)等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β．(1)求∠ACB的大小(用α，β表示)；(2)连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；(3)在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α−45°，①求证：GM//BC，GM=12BC；②请直接写出OMMC的值．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．【解答】解：∵−3<−1<π<4，∴最大的数是4．故选D． 2.【答案】C 【解析】解：5亿=500000000=5×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C 【解析】解：从左边看，共有两列，每列的小正方形的个数分别为2，故选：C．根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可．本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．4.【答案】A 【解析】解：点P(3,−5)关于x轴对称的点的坐标为(3,5)．故选：A．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5.【答案】B 【解析】解：∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为24=12，故选：B．由四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，再根据概率公式求解即可．此题考查了概率公式的应用．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】A 【解析】解：设每个肉粽x元，则每个素粽(x−1)元，依题意得：10x+5(x−1)=70．故选：A．设每个肉粽x元，则每个素粽(x−1)元，根据总价=单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7.【答案】B 【解析】解：连接OB，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作GB⊥x轴于点G，如图所示：∵B是AC的中点，∴S△BOC=12S△AOC=12×24=12，根据k的几何意义，S△AOH=S△BOG=12k，∴S△AHC=S△AOC−S△AOH=24−12k，S△BGC=S△BOC−S△BOG=12−12k，∵∠AHC=∠BGC=90°，∠ACH=∠BCG，∴△AHC∽△BGC，∵B是AC的中点，∴相似比为1：2，∴面积的比为1：4，即S△BGC：S△AHC=1：4，∴(12−12k)：(24−12k)=1：4，解得k=16．故选：B．先根据B是AC的中点，表示出△BOC的面积，再利用k的几何意义表示出△AOH和△BOG的面积，即可得出△AHC和△BGC的面积，易证△AHC∽△BGC，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出k的值．本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．8.【答案】B 【解析】解：①抛物线开口向上，则a>0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ<0∴Δ=b2−4ac<0，故错误；③由图象可知：抛物线过点(1,1)，(3,3)，即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，∴8a+2b=2，即b=1−4a，∴4a+b=1，故错误；④∵点(1,1)，(3,3)在直线y=x上，由图象可知，当1−3，由②得：x+1≥3x−3，x≤2，∴不等式组的解集是−3
知识点
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为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】9+17 【解析】解：(1)由题意AB=32+42=5，BC=4，AC=42+12=17，∴△ABC的周长=5+4+17=9+17，故答案为：9+17；(2)如图，点Q即为所求；(3)如图，线段BE即为所求．(1)利用勾股定理求出AB，AC，可得结论；(2)根据对称性作出图形即可；(3)利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．本题考查作图−应用与
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x−2)(x−4)，把点(0,4)代入得4=8a，解得a=12，∴y=12(x−2)(x−4)，∴该二次函数的解析式为y=12x2−3x+4；(2)①当y=32时，则32=12x2−3x+4，解得x1=1，x2=5；故x的值为1或5；②y=12x2−3x+4=12(x−3)2−12，∴当x=3时，函数有最小值−12，∴当m≤3≤m+2时，即14，∴x=3+2不合题意，舍去．∴x=3−2．∴BE=3x=3−6．∴DE=BD−BE=6+1．∵△ABE∽△DCE，∴AEDE=ABCD=3．∴AE=3DE=32+3．∴AC=AE+CE=32+3+3−2=23+22；②设DC的长度为a，CE=x，∵∠AEB=∠DEC=90°，∠BAC=∠BDC，∴△ABE∽△DCE．∴BECE=ABCD．∵AB=3DC，∴BE=3CE=3x.∵BD=4，∴DE=4−3x.∵CE2+DE2=CD2，∴x2+(4−3x)2=a2．∴4x2−83x+16−a2=0．∵Δ=(−83)2−4×4(16−a2)≥0，∴a2≥4．∵a>0，∴a≥2，∴a有最小值2．即DC的长度最小值为2．∴x2+(4−3x)2=22．解得：x=3．∴CE=3．∴BE=3．∴DE=BD−BE=1．∴AE=3DE=3．∴AC=AE+CE=23．由(2)知：△APD∽△BPC，∴APPD=ACBD=234=32．在Rt△APD中，tan∠ADP=APPD=32．(1)利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“婆氏四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；(2)连接AC，交PD于点G，交BD于点E，利用相似三角形的判定与性质得到△APC∽△DPB，∠PAC=∠PDB；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；(3)①设CE=x，利用相似三角形的性质得到CE=3x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程即可求得x的值，进而利用相似三角形的性质求得AE的长，结论可求；②设DC的长度为a，CE=x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程，利用Δ≥0即可求得DC的最小值，利用(3)①中的方法求得x值，再利用相似三角形是性质和直角三角形的边角关系定理即可求得结论．本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，一元二次方程根的判别式，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．24.【答案】(1)解：如图1中，连接CF．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF=α，∴∠ACF=∠AGF=α，∵∠∠FAB=β，∴∠ACB=∠ACF+∠FCB=α+β；(2)证明：如图2中，∵AF=AG，∴∠AFG=∠G=∠ACH=45，∵∠EAF=∠FAC，∴△EAF∽△FAC，∴EFCF=AEFA，∴AE×CF=EF×FA，∵BC×EF=AE×CF，∴BC×EF=EF×AF，∴BC=AF，∴AF=BC，∴∠BAC=∠AGF=45°，∴∠AHC=180°−45°−45°=90°，∴∠AHC=2∠BAC；(3)①证明：如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．∵∠OGM=2α−45°，∠AGF=45°，∴∠AGM=2α，∵∠FAG=90°，∴FG是直径，∴∠FCG=90°，∵∠AHC=90°，∴∠AHC+∠GCH=180°，∴AB//CG，∴∠MHI=∠MCG，∵MH=MC，∠HMI=∠CMG，∴△MHI≌△MCG(ASA)，∴MI=MG，HI=CG，∵∠ABC+∠BCH=90°，∠GMC+∠MGC=90°，∠ABC=∠MGC，∴∠MGC+∠BCH=90°，∴∠BCH+∠FCG+∠MGC=180°，∴∠BCG+∠MGC=180°，∴BC//IG，∴HI=IB，∴MI=12BC，∴MG=12BC，MG//BC；②解：连接FI，FB．∵OMMC=OM12HC=2OMHC，又∵OF=OG.MG=MI，∴OM=12FI，∵△HMI≌△CMG，∴HI=CG，∵∠AHC=90°，∴∠FHB=90°，∵∠ACF=∠ABF=45°，∴FH=BH，设HI=BI=m，则FH=2m，FI=5m，设AH=CH=n，∴OM=12FI=52m，BC=AF=AG=4m2+n2，∴FG2=8m2+2n2，∵FG2=CF2+CG2，∴8m2+2n2=(2m+n)2+m2，整理得n2−4nm+3m2=0，∴n=m或n=3m，∴OMMC=FICH=5mn=5或53． 【解析】(1)如图1中，连接CF.利用圆周角定理求解；(2)证明∠BAC=45°，∠AHC=90°，可得结论；(3)①如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I.证明△MHI≌△MCG，推出MI=MG，HI=CG，再证明HI=IB，可得结论；②连接FI，FB.设HI=BI=m，则FH=2m，FI=5m，设AH=CH=n，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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