专题16 抛物线—三年高考（2015-2017）数学（文）真题分项版解析（解析版）

1.2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为A.B.C.D.【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.2.【2014，安徽文3】抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：题中抛物线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式为，则其准线方程为，故先A．考点：抛物线的准线方程．【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如，则其焦点坐标为，准线方程为；若，则其焦点坐标为，准线方程为.3.【2014全国1，文10】已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：，则有：，即有，可解得．考点：抛物线的方程和定义【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.4.【2014辽宁文8】已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点的坐标，进一步确定直线的斜率.本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.5.【2014四川，文10】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，我们通常使用设而不求的办法，此题中，我们设出两点坐标，由，得，接下来表示出与面积之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”.6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.7.【2016高考四川文科】抛物线的焦点坐标是()(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)【答案】D考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8.【2014全国2，文10】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．9.【2016高考新课标2文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）（A）（B）1（C）（D）2【答案】D考点：抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置.对函数y=，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数.10.【2017天津，文12】设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为.【答案】【解析】试题分析：设圆心坐标为，则，焦点，，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的坐标表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的坐标表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了.11.【2014上海,文4】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】.【考点】椭圆与抛物线的几何性质【名师点睛】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线的准线方程为________.【答案】【解析】试题分析：由抛物线的几何性质知：抛物线的准线方程为，故答案为.考点：抛物线的几何性质.【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于容易题，解题时直接利用抛物线的几何性质即可求得其准线方程13.【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2）．于是直线AB的斜率．（2）由，得．设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）．设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．将代入得．当，即时，．从而．由题设知，即，解得．所以直线AB的方程为．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是，因为|PA|==|PQ|=，所以|PA||PQ|=令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.试题解析：（Ⅰ）由已知得,.又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,,因此.所以为的中点,即.（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.16.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题解析：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为......3分（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则，所以.......5分（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．17.【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.（I）求的方程；（II）若，求直线的斜率.【答案】（I）；(II).，设直线的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.试题解析：（I）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以①；又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，②，联立①②得，故的方程为。（II）如图，设因与同向，且，所以，从而，即，于是③设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根，④由得，而是这个方程的两根，，⑤将④、⑤代入③，得。即所以，解得，即直线的斜率为【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.【答案】（I）；（II）.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.由抛物线的定义得，即p=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得，故，所以.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而的直线FN:，直线BN:，所以，设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，于是，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】（I）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离；（II）通过联立方程组可得点的坐标，进而可得点的坐标，再利用，，三点共线可得用含有的式子表示，进而可得的横坐标的取值范围.19.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】(1)；(2)试题解析：(1)由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为.所以消去，整理得：.因为直线与抛物线相切，所以，解得.所以，即点.设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.(2)由(1)知，，直线的方程为，所以点到直线的距离为.所以的面积为.【考点定位】1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质以及直线与圆，直线与抛物线的位置关系.利用直线与圆、抛物线分别相切，通过联立方程，判别式为零，计算得到点，的坐标，利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算得到三角形相应的底边长与底边上的高，从而表示面积.本题属于中等题.主要考查学生基本的运算能力，培养学生不怕吃苦的品质.20.【2014福建,文21】（（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题第一问求抛物线方程，可直接利用抛物线定义来确定方程.第二问是一个探究与证明问题，能有效学生分析问题解决问题的能力,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.21.【2015高考福建，文19】已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．由，可得直线的方程为．由，得，解得或，从而．又，所以，，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．解法二：（I）同解法一．（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．由，可得直线的方程为．由，得，解得或，从而．又，故直线的方程为，从而．又直线的方程为，所以点到直线的距离．这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题．直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明即可，这样可以把问题转化为判断，高效解题的过程就是优化转化的过程．