2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）第二章一元二次函数、方程与不等式问题导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.一次函数：一元一次方程：一元一次不等式：或. 内在联系：一次函数与轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，也就是对应一元一次不等式的解集. 问题导入那么对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题. 解：设这个矩形的一条边长为，则另一条边为.由题意，得：其中整理得：①求得不等式①的解集，就得到了问题的
答案
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. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24围成的矩形区域的面积要大于则这个矩形的边长为多少米？ 新知探索一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，. 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？一次函数与轴交点的横坐标一元一次方程的解一元一次不等式的解 一元二次函数与轴交点的横坐标一元二次方程的解一元二次不等式的解 能否推出？新知探索下面，我们先来考察一元二次不等式与二次函数之间的关系. 一元二次函数与轴交点的横坐标一元二次方程的解一元二次不等式的解 如图，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，发现图象与轴有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根因此二次函数与轴的两个交点是和. 新知探索一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.于是，二次函数的两个零点是. 注：零点是一个实数，不是一个点.新知探索上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式和的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 的零点是.的根是的解集为，的解集为. 新知探索我们知道，对于一元二次方程()，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次函数()的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式()和()的解集. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系的图象的根有两个不相等的实数根()有两个不相等的实数根没有实数根的解集或的解集没有实数根例析例1.求不等式的解集. 解：对于方程，∵，∴它有两个实数根.解得画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为或. 求出一元二次方程的根根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 例析例2.求不等式的解集. 解：对于方程，∵，∴它有两个实数根.解得画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为. 求出一元二次方程的根根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 例析例3.求不等式的解集. 解：不等式可化为∵，∴方程无实数根.画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为.因此，原不等式的解集为. 当一元二次不等式的二次项系数是负数()时，通常先把二次项系数化成正数，再求解. 新知探索现在，我们就能解决第2.1节的“问题2”了. 解：∵，∴即，即对于方程，∵，∴它有两个实数根.解得结合图象得不等式的解集为. 新知探索利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程.这里，我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程.
练习题
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型一：不含参一元二次不等式的解法例1.解下列不等式：(1)(2) 解：(1)∵∴方程有两个不等实根.又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为.(2)原不等式可化为：∵∴方程无实根.又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为 求出一元二次方程的根根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 练习变1.(多选)若不等式的解集是，则下列选项正确的是( ).且不等式的解集是 答案： 解：由题意，不等式的解集是，可得－1，2是方程的两个根，且＜0，正确.∴有，.解得，∴正确.当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确；把代入，可得，因为，所以，即，此不等式的解集为，不正确. 练习方法技巧：解不含参一元二次不等式的步骤：练习题型二：含参一元二次不等式的解法例2.解关于的不等式 解：情形一：若时，则原不等式可化为，即.情形一：若，原不等式可化为.若，原不等式可化为∵，∴或若，原不等式可化为若，即则若，即则若，即则 练习题型二：含参一元二次不等式的解法例2.解关于的不等式 综上所述，当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为 练习变2.解下列不等式的解集：(1)当时，求关于的不等式的解集； 解：(1)当时，原不等式化为：即，∴不等式的解集为. 练习变2.解下列不等式的解集：(2)若，求关于的不等式的解集. 解：(2)∵当时，有∴不等式的解集为.当时，有∴不等式的解集为.当时，有∴不等式的解集为. 练习方法技巧：解含参一元二次不等式的步骤：练习题型三：三个“二次”之间对应关系的应用例3.已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解：∵关于的不等式的解集为，∴，且是一元二次方程的两个实数根，∴∴不等式化为，即，解得因此不等式的解集为 练习变3.不等式的解集为，则（）.A.B.C.D. 答案：B.解：∵，开口向上，而解集为，∴由韦达定理可得，解得∴故选B. 练习方法技巧：三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：课堂小结&作业课堂小结：(1)一元二次不等式的解法；(2)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P53的练习1题；(3)课本P55的习题2.3的1题.
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