习题课2插值法一、基本内容与学习要求 插值问题、插值基函数、拉格朗日插值公式、差商、差分、牛顿插值公式，插值余项．2．Runge现象、分段插值、Hermite插值、样条函数、样条插值．3.常用的求插值函数的方法有:待定系数法,基函数法,基于承袭性的递推构造法等.要求掌握多项式插值的概念，插值多项式的存在惟一性，拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，多项式插值的余项表示，分段线性插值和分段二次插值及其余项估计式。了解带导数条件的插值，会用三次样条插值．解：二、典型例题分析例1.令x0＝0，x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式L1(x),并估计插值误差．记x0＝0，x1＝1,y0＝e-0＝1，y1＝e-1;则函数y＝e-x以x0、x1为节点的一次插值多项式为因为y’(x)＝-e-x，y"(x)＝e-x，所以解:例3．设f(x)＝x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式．解:记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为L3(x)．由插值余项定理有所以以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则解:x0x2x4分析:这是一个非标准插值问题,我们可以按各种思路去做．可按两种方法去做:一种是先求牛顿或拉格朗目型插值,再通过待定系数法求Pn(x)；另一种是先求埃尔米特插值,再通过待定系数法确定Pn(x)．下面给出三种做法．例6求一个次数不高于4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)=P4'(0)=0，P4(1)=P4'(1)=1，P4(2)=1．解法一先求满足P4(0)=0，P4(1)=1，P4(2)=1的插值多项式P2(x)，易得显然P4(x)满足P2(x)的插植条件，利用两个导数条件确定系数A，B．由P4'(0)=0,P4'(1)=1解得A=1/4,B=-3/4.故设解法二先作满足埃尔米特插值多项式H3(x)．解法三构造插值基函数求.记x0=0，x1=1，x2=2，并设所求多项式为其中li(x)均为次数不超过4的多项式且满足如下条件：易知证以a，b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到例7．设f(t)C2[a，b]，求证当x[a，b]时由(1)，(2)得到(1)(2)从而注：课本P59习题2。即因而2)记则以x0,x1,…,xn为插值节点的拉格朗日插值多项式为且有因而在上式中令t＝x，即得即证由于x0,x1,…,xn是f(x)的n个互异的零点，所以3)由插值余项公式有于是由(1),(2)得(2)(1)证考虑p(x)以x0,x1,…,xn为n+1个互异的节点，作n次插值多项式，则由插值余项定理有(1)则由(1)得设f(x)C4[a,b]，在[a,b]上求三次多项式H(x)使得并估计误差.解1)作二次多项式N(x)满足易知h(x)是一个三次多项式，且因而a是h(x)的一个三重零点，于是例11证由,ξ介于x0与x之间η介于x0与x之间则有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0),即f(x)为线性函数.并写出f(x)的n次牛顿插值多项式.证明数值微分公式对任意4次多项式精确成立，进一步求出微分公式的余项.例13.记xi＝x0+ih，i＝-2,-1,0,1,2．作4次多项式p(x)满足如下插值条件:p(xi)=f(xi),i＝-2,-1,0,1,2f(x)-p(x)=g(x)(x-x0),f’(x)-p’(x)=g’(x)(x-x0)+g(x),
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