高一数学专题训练
直线与方程
一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.
1.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是____ __.
2.若直线的倾斜角的余弦值为eq \f(4,5),则与此直线垂直的直线的斜率为____ __.
3.两条直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____ __.
4.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则α的取值范围为____ __.
5.直线xcosα+eq \r(3)y+2=0的倾斜角的范围是____ __.
6.已知点A(-2,4)、B(4,2),直线l过点P(0,-2)与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值
范围是____ __.
7.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为____ __.
8.过点P(1,2)作直线l,使直线l与点M(2,3)和点N(4,-5)距离相等,则直线l的方程为
____ __.
9.如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是____ __.
10.一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截取的线段长为eq \r(2),求这条直线的方程____ __.
11.设l1的倾斜角为α,α∈(0,eq \f(π,2)),l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转α角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方向旋转eq \f(π,2)-α角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的方程为________.
12.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y=0互相垂直,则ab的最小值等于_______.
13.已知△ABC的两个顶点坐标为B(1,4)、C(6,2),顶点A在直线x-y+3=0上,若△ABC的面积为21.则顶点A的坐标为____ __.
14.已知0
证明
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过程或演算步骤.
15.(本小题满分12分) 已知两直线l1:x+ysinθ-1=0和l2:2xsinθ+y+1=0,试求θ的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.
16.(本小题满分12分) 已知直线
与两坐标轴围成的三角形面积为3,分别求满足下列条件的直线的方程:(1)斜率为
的直线;(2)过定点
的直线.
17.(本小题满分14分)
已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0及l3:2x-3my-4=0,求m的值,使l1,l2,l3三条直线能围成三角形.
18.(本小题满分14分)
已知三直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0和 l3:x+y-1=0且l1与l2的距离是eq \f(7,10)
eq \r(5).(1)求a的值; (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2距离的eq \f(1,2);③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5)?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.
20.(本小题满分14分) 将一块直角三角板
(
角)置于直角坐标系中,已知
,点
是三角板内一点,现因三角板中部分(
)受损坏,要把损坏的部分锯掉,可用经过
的任意一直线
(M、N可分别与O、B重合)将其锯成
. (1) 求直线
的斜率的取值范围; (2) 若
点满足
,这样的直线
是否存在,如不存在,请说明理由;若存在,求出此时直线
的方程;(3) 如何确定直线
的斜率,才能使锯成的
的面积最大和最小,并求出最值?
参考答案
一、填空题:
1.答案:-2或1 解析:由a+2=eq \f(a+2,a),∴a=-2或1.
2.答案:-eq \f(4,3) 解析:设直线的倾斜角为θ,由题意知,cosθ=eq \f(4,5),θ∈(0,eq \f(π,2)),
∴sinθ=eq \f(3,5),k=tanθ=eq \f(sinθ,cosθ)=eq \f(3,4).∴与此直线垂直的直线的斜率为-eq \f(4,3).
3.答案:(-1,2) 解析:由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax+y-4=0,,x-y-2=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x=\f(6,1+a),,y=\f(4-2a,1+a).))由x>0,y>0,
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(6,1+a)>0,\f(4-2a,1+a)>0)),解得,-1<a<2.
4.答案:0°<α<135° 解析:由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0°<α<180°,0°≤α+45°<180°)),∴0°<α<135°.
5.答案:[0,eq \f(π,6)]∪[eq \f(5π,6),π) 解析:由直线xcosα+eq \r(3)y+2=0,所以直线的斜率为k=-eq \f(cosα,\r(3)).设直线的倾斜角为β,则tanβ=-eq \f(cosα,\r(3)),又因为-eq \f(\r(3),3)≤-eq \f(cosα,\r(3))≤eq \f(\r(3),3),即-eq \f(\r(3),3)≤tanβ≤eq \f(\r(3),3),
所以β∈[0,eq \f(π,6)]∪[eq \f(5π,6),π).
6.答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:由kPA=-3,kPB=1,由图得直线l的斜率k的取
值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
7.答案:eq \f(1,2) 解析:∵l2、l1关于y=-x对称,∴l2的方程为-x=-2y+3,即y=eq \f(1,2)x+eq \f(3,2),
∴l2的斜率为eq \f(1,2).
8.答案:4x+y-6=0或3x+2y-7=0 解析:直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线,当l与MN平行时,斜率为-4,故直线方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当l经过MN的中点时,MN的中点为(3,-1),直线l的斜率为-eq \f(3,2),故直线方程为y-2=-eq \f(3,2)(x-1),
即3x+2y-7=0.
9.答案: 2eq \r(10) 解析:分别求P关于直线x+y=4及y轴的对称点,为P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知识知,光线所经路程即为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(P1P2))=2eq \r(10).
10.答案:x+7y-15=0或7x-y-5=0 解析: (1)当斜率不存在时,直线方程为x=1,
与两直线交点A(1,-eq \f(5,3)),B(1,-eq \f(10,3)),∴AB=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(5,3)--\f(10,3)))=eq \f(5,3)≠eq \r(2).∴x=1不是所求直线.
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-1),
它与两已知直线分别联立方程组,求出它与两已知直线的交点坐标分别是A(eq \f(3k-7,3k+4),eq \f(-5k+8,3k+4)),
B(eq \f(3k-12,3k+4),eq \f(8-10k,3k+4)).由AB2=(eq \f(5,3k+4))2+(eq \f(5k,3k+4))2=2,得k=7或k=-eq \f(1,7).
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
11.答案:2x-y+8=0 解析:∵l1⊥l3,∴k1=tanα=2,k2=tan2α=eq \f(2tanα,1-tan2α)=-eq \f(4,3).
∵l2的纵截距为-2,∴l2的方程为y=-eq \f(4,3)x-2. 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y=-\f(4,3)x-2,,x+2y-1=0,))∴P(-3,2),
l1过P点,∴l1的方程为2x-y+8=0.
12.答案:2 解析:由两条直线垂直可得:-eq \f(b2+1,a)·eq \f(1,b2)=-1,解得a=eq \f(b2+1,b2),
所以ab=eq \f(b2+1,b2)·b=eq \f(b2+1,b)=b+eq \f(1,b).又因为b>0,故b+eq \f(1,b)≥2 eq \r(b·\f(1,b))=2,
当且仅当b=eq \f(1,b),即b=1时取“=”.
13.答案:(7,10)或(-5,-2) 解析:点C(6,2)到直线x-y+3=0的距离为d=eq \f(|6-2+3|,\r(2))=eq \f(7,\r(2)),因为点A在直线x-y+3=0上,可以验证点B(1,4)也在直线x-y+3=0上,所以设A(x,y).
又因为直线x-y+3=0的倾斜角为45°,所以|AB|=eq \f(|1-x|,cos45°)=eq \r(2)|1-x|,所以三角形面积S=eq \f(1,2)|AB|d=eq \f(1,2)×eq \r(2)|1-x|·eq \f(7,\r(2))=21.所以x=7或x=-5.故A点坐标为(7,10)或(-5,-2).
14.答案:eq \f(1,8) 解析:l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图,A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=eq \f(1,2)2k24+(4-k+4)2eq \f(1,2)=4k2-k+8. 当k=eq \f(1,8)时,S取得最小值.
二、解答题:
15.解: (1)法一:当sinθ=0时,l1的斜率不存在,l2的斜率为零,l1显然不平行于l2.
当sinθ≠0时,k1=-eq \f(1,sinθ),k2=-2sinθ,欲使l1∥l2,只要-eq \f(1,sinθ)=-2sinθ,sinθ=±eq \f(\r(2),2),
∴θ=kπ±eq \f(π,4),k∈Z,此时两直线截距不相等.∴当θ=kπ±eq \f(π,4),k∈Z时,l1∥l2.
法二:由A1B2-A2B1=0,即2sin2θ-1=0,得sin2θ=eq \f(1,2),∴sinθ=±eq \f(\r(2),2),由B1C2-B2C1≠0,
即1+sinθ≠0,即sinθ≠-1,得θ=kπ±eq \f(π,4),k∈Z,∴当θ=kπ±eq \f(π,4),k∈Z时,l1∥l2.
(2)∵l1⊥l2 ∴A1A2+B1B2=0,∴2sinθ+sinθ=0,即sinθ=0,∴θ=kπ(k∈Z),
∴当θ=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
16.解:(1)设直线
的方程为
,则直线
与坐标轴的交点为
、
依题设有
,得
,则直线
的方程为
(2)设直线
的方程为
,则由
,解得
或
则直线
方程为
或
即
或
17.解: (1)若l1,l2,l3三条直线交于一点.显然m≠4,若m=4,则l1∥l2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x+y-4=0,mx+y=0)),得l1,l2的交点坐标为(eq \f(4,4-m),eq \f(-4m,4-m)).
代入l3的方程得eq \f(8,4-m)-3m·eq \f(-4m,4-m)-4=0.解得m=-1或m=eq \f(2,3),
∴当m=-1或m=eq \f(2,3)时,l1,l2,l3交于一点.
(2)若l1∥l2,则m=4,若l1∥l3,则m=-eq \f(1,6),若l2∥l3,则m∈∅.
(3)若l1∥l2∥l3,则m∈∅.
综上知:当m=-1或m=eq \f(2,3)或m=4或m=-eq \f(1,6)时,三条直线不能构成三角形,
即构成三角形的条件是
m∈(-∞,-1)∪(-1,-eq \f(1,6))∪(-eq \f(1,6),eq \f(2,3))∪(eq \f(2,3),4)∪(4,+∞).
18.解: (1)∵l2:2x-y-eq \f(1,2)=0,∴l1与l2的距离d=eq \f(|a+\f(1,2)|,\r(5))=eq \f(7\r(5),10),∵a>0,∴a=3.
(2)设存在点P(x0,y0)满足②,则P点在与l1、l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,
且eq \f(|c-3|,\r(5))=eq \f(1,2)·eq \f(|c+\f(1,2)|,\r(5)),即c=eq \f(13,2)或c=eq \f(11,6),∴2x0-y0+eq \f(13,2)=0或2x0-y0+eq \f(11,6)=0,
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式有: eq \f(|2x0-y0+3|,\r(5))=eq \f(\r(2),\r(5))
eq \f(|x0+y0-1|,\r(2)),
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|.∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0,
∵P在第一象限,∴3x0+2=0不可能,
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0-y0+\f(13,2)=0,,x0-2y0+4=0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0=-3,,y0=\f(1,2).))(舍去) 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0-y0+\f(11,6)=0,,x0-2y0+4=0,))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0=\f(1,9),,y0=\f(37,18),))∴ P(eq \f(1,9),eq \f(37,18))即为同时满足条件的点.
19.解: (1)证明:直线l的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x+2=0,1-y=0))解之得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x=-2,y=1)),
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-eq \f(1+2k,k),
在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-\f(1+2k,k)≤-2,1+2k≥1)),
解之得k>0;
当k=0时,直线为y=1,合题意,故k≥0.
(3)由l的方程,得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1+2k,k),0)),B(0,1+2k).依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-\f(1+2k,k)<0,,1+2k>0)),解得k>0.
∵S=eq \f(1,2)·|OA|·|OB|=eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1+2k,k)))·|1+2k|=eq \f(1,2)·eq \f((1+2k)2,k)=eq \f(1,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k+\f(1,k)+4))≥eq \f(1,2)(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=eq \f(1,k),即k=eq \f(1,2),
∴Smin=4,此时l:x-2y+4=0.
20.解: (1)由图知
,
,
设直线
的斜率为
,直线
与
不能相交,所以
,
(2)直线
的方程为
,令
得
令
得
∵
,∴
∴
∴
的方程为
,此时和BP重合.
(3)由(2)知
,点
到直线
的距离为
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
而函数
在
上是增函数,故当
EMBED Equation.3 取得最大值
当
时,
取得最小值
(最小值也可用基本不等式直接得到).
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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