弹性力学简明教程全程导学及习题全解

1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。 注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。 1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。 2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？ 【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。 在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。 （2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。 在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换位 ， ，就得到平面应变问题的物理方程。 2-8 试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 【解】（1）对于图（a）的问题 在主要边界 上，应精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界） 上，有位移边界上条件： 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 时， （2）对于图（b）所示问题 在主要边界 上，应精确满足下列边界条件： 在次要边界 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚 时， 在次要边界 上，有位移边界条件： 这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替 2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？ 【解】（1）对于图（a），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为 ， ， 。应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚 时， （2）对于图（b），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚 时， 所以，在小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。 2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】（1）用位移 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的平衡微分方程 （2）用位移表示的应力边界条件 （3）位移边界条件 2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】（1）平衡微分方程 （2）相容方程 。 （3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件， ） /. （4）若为多连体，还须满足位移单值条件。 2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答： （a）题2-13图（a）， 。 （b）题2-13图（b），由 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 力学公式， （取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答： 。 又根据平衡微分方程和边界条件得出 。 试导出上述公式，并检验解答的正确性。 【解】按应力求解时，（本题体力不计），在单连体中应力分量 必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设 ）。 （1） 题2-13图（a）， 1 相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23） ， 不满足相容方程。 2 平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程 显然满足。 3 应力边界条件：在 边界上， 。 在 边界上， 。 满足应力边界条件。 （2） 题2-13图（b），由材料力学公式， （取梁的厚度b=1）， 得出所示问题的解答： 。又根据平衡微分俄方程和边界条件得出 。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 1 推导公式： 在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对z轴（中性轴）的惯性距 ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为 。 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为 ， 。 根据平衡微分方程的第二式（体力不计） ， 得到 。 根据边界条件 得 ， 所以 。 2 相容条件： 将应力分量代入相容方程 。 不满足相容方程。 3 平衡方程： 将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 4 应力边界条件： 在主要边界 上，应精确满足下列边界条件： 自然满足。 在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。有三个积分的应力边界条件： 在 次要边界上， 。这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。 所以，满足应力的边界条件。 显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。 2-15设已求一点处的应力分量，试求 ： （a） （b） 【解】根据教材中式（2-6）和 可分别求出主应力和主应力的方向： （a） （b） 2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F，如题2-17图所示， 体力不计，试根据材料力学公式，写出弯应力 和切应力 的表达式，并取挤压应力 ，然后 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否表示正确的解答。 【解】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为 ，横截面对z轴（中性轴）的惯性距为 ，根据材料力学公式，弯应力 ；该截面上的剪力为 ，剪应力 ；并取挤压应力 。 （3） 经验证，上述表达式能满足平衡微分方程 也能满足相容方程 。 再考察边界条件：在 的主要边界上，应精确满足应力边界条件： 能满足。 在次要边界x=0上，列主三个积分的应力边界条件： 满足应力边界条件。 在次要边界 ，列出三个积分的应力边界条件： 满足应力边界条件。 因此，它们是该问题的正确解答。 3-2取满足相容方程的应力函数为： 试求出应力分量（不计体力），画出题3-2图所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。 【解】（1）应力函数 ，得应力分量表达式 。 在主要边界 上，即上、下边，面力为 。 在次要边界 上，面力的主矢量和主矩为 弹性体边界上的面力分布及在次要边界 上面力的主矢量和主矩如解3-2图（a）所示。 （2）应力函数 ，得应力分布表达式 。 在主要边界 上，即上、下边，面力为 。 在次要边界 上，面力的主矢量和主矩为 弹性体边界上的面力分布及在次要边界 上面力的主矢量和主矩如解3-2图（b）所示。 （4） 应力函数 ，得应力分量表达式 。 在主要边界 上，即上、下边，面力为 在次要边界 上，面力的主矢量和主矩为 弹性体边界上的面力分布及在次要边界 上面力的主矢量和主矩如解3-2图（c）所示。 3-3试考察应力函数 能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出题3-3图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。 【解】（1）相容条件 将 代入相容方程 ，显然满足。 （2）应力分量表达式 。 （3）边界条件：在 的主要边界上，应精确满足应力边界条件 。 在次要边界 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件 ， （a） ， （b） （c） 对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）、（b）、（c）可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。 4-2 试导出极坐标和直角坐标系中位移分量的坐标变换式。 【解】参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。 位移矢量为d，它在(x,y)和 坐标系中的分量分别表示为 ，所以 （a） 写成矩阵形式 （b） 所以 （c） 若写成一般形式，则位移分量的变换关系为 或 。 4-14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为q，试求圆筒的应力。 【解】本题为轴对称问题，故环向位移 ，另外还要考虑位移的单值条件。 （1） 应力分量 引用轴对称应力解答，教材中式（4-11）。取圆筒解答中的系数为A,B,C,刚体解答中的系数为 ,由多连体中的位移单值条件，有 B=0 ， (a) 。 (b) 现在，取圆筒的应力表达式为 , 。(c) 刚体的应力表达式 。 (d) 考虑边界条件和接触条件来求解常数 和相应的位移解答。 首先，在圆筒的内面，有边界条件 ，由此得 。 (e) 其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有 ， 由此得 (f) 再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有 。 于是有式(c)及式(d)得 。 （2） 平面应变问题的位移分量 应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达式 （h） （i） 刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即 。 将式（h）和式（i）代入，得 方程在接触面上的任意点都成立， 取任何值都成立，方程两边的自由项必须相等，于是得 简化并利用式（f），得 。 （j） （3）圆筒的应力 把式（j）代入式（e），得 ， 。 圆筒的应力为 ， 。 4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为 ，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。 【解】（1）求出两个主应力，即 。 原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。 应力分量 代入坐标变换式，教材中式（4-7），得到外边界上的边界条件 （a） （b） 在孔边，边界条件是 （c） （d） 由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用半逆解法时，可假设 为 的某一函数乘以 ，而 为 的另一函数乘以 。而 ， 。 因此可假设 。 将式（e）代入相容方程，教材中式（4-6），得 。 删去因子 以后，求解这个常微分方程，得 ， 其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e），得应力函数 ， 由应力函数得应力分量的表达式 将上式代入应力边界条件 由式（a）得 (g) 由式（b）得 (h) 由式（c）得 (i) 由式（d）得 (j) 联立求解式（g）——（j），并命 ，得 。 将各系数值代入分量的表达式，得 沿着孔边 ，环向正应力是 。 最大环向正应力为 。 6-2如题6-2图所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元，其边长为 。 （1）试求出应力转换矩阵S及单元劲度矩阵k。 （2）试求出k中的每行之和及每列之和，并说明原因。 （3）设单元发生结点位移 或发生结点位移 ，试求单元中的应力，并说明其原因。 (4)设该单元在jm边上受有线性分布的压力，其在j点及m点的集度分别为 ，试求等效结点荷载。 【解】（1）在所选的坐标系中 应用教材中式（6-19）及（6-20），得 应用教材中式（6-32）和（6-33），得该单元的应力转换矩阵 （a） 应用教材中式（6-37）及（6-38），得单元的劲度矩阵 。 （2）求得式（b）中每一行（或列）的元素之和为零（其第一、三、五个元素之和或第二、四、六个元素之和也为零）。 因为k中的每一个元素都表示，发生单位结点位移时所引起的结点力。而各个节点的位移都相同，说明单没有发生形变，即不会引起结点力。 （3） 设单元发生结点位移 此时，单元作平移，则三角 形内不产生应力和应变，从而结点力为零；但单元发生结点位移 ，单元作转动，从而结点力也为零。 （4） 单元在jm边上受有线性分布的压力，在j点及m点的集度分别为 （可假设 ），此时，相当于有均布荷载 和三角形分布荷载（在j点集度为0，m点集度为 ）同时作用在jm边上。 1 在均布荷载 的作用下，x方向的均布面力为 ；y方向的均布面力为 。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为 应用教材中式（6-22）中的第二式及式（6-21）中的第三式，得 。 所以，有 （c） 2 在线性分布荷载（j点集度为0，m点集度为 ）的作用下，m点x方向的面力为 ，y方向的均布面力为 。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为 （d） 三角形分布荷载作用在jm上，两点的形函数有 ，根据教材式（6-22）的第二式， 。 代入式（d），得 （e） 将式（c）和（e）中对应项相加，得 如果设 ，可得相同的结果。 6-5对于如题6-5图所示的结构，试求整体劲度矩阵K中的子矩阵 。 【解】结构是对称的，只取下半部分进行研究，如解6-5图所示，在2，5，8结点设置了铅直支座。单元的局部编码 与整体编码1，2，4，5，7，8对应如下： 单元号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 局部编码 整体编码 4 8 1 5 8 4 5 1 7 5 4 2 取 根据教材6-7中式（g）知四个单元的劲度矩阵都是 。（a） 应用公式 求整体劲度矩阵K中的子矩阵 分别为 _1234567953.unknown _1234568017.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568081.unknown _1234568089.unknown _1234568097.unknown _1234568101.unknown _1234568105.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568109.unknown _1234568106.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568038.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568034.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown