质点对动点的动量矩定理及其应用

第 33卷 第 2期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.33 No.2 2012 45 质点对动点的动量矩定理及其应用 于世新† （辽源市第五中学，吉林 辽源 136200） 摘 要：给出了质点对动点的绝对动量矩定理和相对动量矩定理、质点在非惯性系中的动量矩定理，并用它们推导了质点 系对动点的绝对动量矩定理和相对动量矩定理、质点系在非惯性系中的动量矩定理、质点系对质心的动量矩定理。 关键词：质点；动点；动量矩定理；应用 中图分类号：O313.1;O313.2 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2012)02-0045-04 1 引言 动量矩定理是动力学基本定理之一。质点和质点系对定点（定轴）的动量矩定理、质点系对质心的动量 矩定理、质点系对动点（动轴）的绝对动量矩定理和相对动量矩定理、质点系对瞬心（速度瞬心和加速度瞬 心）的动量矩定理、质点系在非惯性系中的动量矩定理、变质量质点对定点（定轴）的动量矩定理、变质量 质点系对定点（定轴）的动量矩定理、变质量刚体对定点（定轴）的动量矩定理、撞击运动中系统对定点和 动点的动量矩定理等，已见于诸多文献。笔者发现，从未有过质点对动点的绝对动量矩定理和相对动量矩定 理以及质点在非惯性系中的动量矩定理见诸文献。这些问题虽然简单，但在动力学基本定理的体系中应该有 它们一席之地。现尝试对它们进行推导并对它们的应用进行阐述。 2 推导和结论 2.1 质点对动点的绝对动量矩定理 设 v vv v 和 a aa a 分别是质点 P 在惯性坐标系中的速度和加速度， r rr r 是 P 对 O 的向径， 'O 为平移坐标系的原点， 'Ovvvv 和 'Oaaaa 分别表示其在选定惯性系中的速度和加速度， 'Orrrr 为 'O 对 O的向径， 'rrrr 为 P对 'O 的向径， rvvvv 为 P相 对 'O 的速度，如图 1 所示。那么质点 P对 'O 点的绝对动量矩为 图 1 质点在惯性坐标系和平移坐标系中 图 2 质点在惯性坐标系和非惯性坐标系中 ' 'O m= ×L r vL r vL r vL r v 将上式对时间求导，考虑到 m是常数并利用牛顿第二定律 m =a Fa Fa Fa F 得 'd d ' d d ' d '' ' ' d d d d d O m m m m m t t t t t = × + × = × + × = × + × L LL L r v r r r v r rr v r r r v r r v r v r a v r F v r v r a v r Fv r v r a v r F v r v r a v r F 根据图 1 计算得 ' ' r dd ' d d d d O O t t t = − = − = r rr r r r r rr r r r v v v v v vv v v v v v 利用 '' O× =r F Mr F Mr F Mr F M ，于是可得 收稿日期：2012-05-25 † 通讯作者：xiarimeili@sina.com 质点对动点的动量矩定理及其应用 46 ' ' ' ' ' d ( ) d O O O O O m m t = − × + = × + L LL L v v v M v v M v v v M v v Mv v v M v v M v v v M v v M 即 ' ' ' d d O O O m t = × + L LL L v v M v v Mv v M v v M （1） 这就是质点对动点的绝对动量矩定理。 2.2 质点对动点的相对动量矩定理 仍如图 1，质点 P对 'O 点的相对动量矩为 ' r r'O m= ×L r vL r vL r vL r v 将上式对时间求导，并利用 r 'O= −v v vv v vv v vv v v 和m =a Fa Fa Fa F 得 ' r r ' r r ' ' ' d d ' d ' ( ) ' ' ' d d d O O O O O m m m m m m t t t = × + × − = × + × − × = − × + L LL L r rr r v r v v v v r a r a r a M v r v v v v r a r a r a Mv r v v v v r a r a r a M v r v v v v r a r a r a M 即 ' r ' ' d ' d O O O m t = − × + L LL L r a M r a Mr a M r a M （2） 这就是质点对动点的相对动量矩定理，其中 '' Om− ×r ar ar ar a 恰为牵连惯性力对 'O 点的矩。 2.3 质点对动点的绝对动量矩定理和相对动量矩定理的关系 根据质点对动点的绝对动量矩和相对动量矩的定义有 ' ' ' r'O O Om= × +L r v LL r v LL r v LL r v L 将上式对时间求导得 ' ' ' r ' r ' r ' ' ' r ' r ' ' ' ' ' d d d dd ' ' ' d d d d d d d ( ) ' ' d d O O O O O O O O O O O O O O m m m m t t t t t m m m m t t = × + × + = × + × + = − × + × + = × + × + L v L L L v L LL v L L L v L Lr rr r v r v v r a v r v v r av r v v r a v r v v r a L L L LL L L L v v v r a v v r a v v v r a v v r av v v r a v v r a v v v r a v v r a 可见，（1）式和（2）式是一致的。 2.4 质点在非惯性系中的动量矩定理 （1）直接法 如图 2，Oxyz 为惯性坐标系， ' ' ' 'O x y z 为非惯性坐标系，其转动角速度为ωωωω ，角加速度为 εεεε 。根据质点 的牛顿第二定律 d d m t = v vv v F FF F 因 ' ' ' r dd d ' d ' ' ' d d d d O O O t t t t = = + = + + × = + + × ̃ r rr rr r r r r rr r r r r r v v r v v r v v r v v rv v r v v r v v r v v rω ω ω ωω ω ω ω 故 ' r d ( ') d O m t + + × =v v r Fv v r Fv v r Fv v r Fωωωω 取 'rrrr 与上式的矢积 ' r d ' ( ') ' d O m t × + + × = ×r v v r r Fr v v r r Fr v v r r Fr v v r r Fωωωω 上式左边 ' r ' r r r ' r r r ' r d dd d d ' ' ( ') ' ( ' ) d d d d d d ' [ ' ( ')] d d( ) ' [ ' ( ')] ' (2 ) ' d O O O O m m t t t t t m t m m m t × + + × = × + + × + × + × = × + + × + × + × + × = × + × + × × + × × + × ̃ ̃ ̃ v vv v v vv v r rr r r v v r r v r r v v r r v rr v v r r v r r v v r r v r v vv v r a v r v r r a v r v rr a v r v r r a v r v r v vv v r a r r r v r r a r r r v rr a r r r v r r a r r r v r ω ωω ω ω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ε ω ω ω ε ω ωω ε ω ω ω ε ω ω ε ω ω ω ε ω ω ωε ω ω ω ε ω ω ω 因 ' rr r dd( ) d( ' )' d d d O m m t t t × × = = ̃ ̃ L LL Lv r v v r vv r v v r v r rr r 第 33卷 第 2期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.33 No.2 2012 47 故有 * * e c ' r ' r ' '' ' d ' [ ' ( ')] ' (2 ) d O O O O O O m m t = − × + × + × × − × × + = + + f f f ff f f f L LL L r a r r r v M M M M r a r r r v M M M Mr a r r r v M M M M r a r r r v M M M Mε ω ω ω ε ω ω ωε ω ω ω ε ω ω ω 即 * * e c ' r ' ' ' d d O O O O t = + + f f f ff f f f L LL L M M M M M MM M M M M M （3） 这就是质点在非惯性系中的动量矩定理，其中 * e'O ffff M MM M 和 * c'O ffff M MM M 分别是牵连惯性力和科里奥利惯性力对 'O 点的 矩。 （2）类比法 根据牛顿第二定律 m =a Fa Fa Fa F 和科里奥利定理 [1] ' r r e r c[ ' ( ')] 2O= + × + × × + + × = + +a a r r a v a a aa a r r a v a a aa a r r a v a a aa a r r a v a a aε ω ω ωε ω ω ωε ω ω ωε ω ω ω ,则 * * r e cm = + +a F f fa F f fa F f fa F f f 。于是，在作用力中补充牵连惯性力和科里奥利惯性力之后，牛顿第二定律就可以用于非惯 性系。类比于质点对定点的动量矩定理 d d O O t = L LL L M MM M ，则 * * e c ' r ' ' ' d d O O O O t = + + f f f ff f f f L LL L M M M M M MM M M M M M 。 3 应用 有了上述结论，质点系对动点的绝对动量矩定理和相对动量矩定理、质点系在非惯性系中的动量矩定理、 质点系对质心的动量矩定理则不必像现在的理论力学教程那样，从牛顿第二定律出发用微分方法或从动量矩 的定义式出发用微分方法和牛顿第二定律直接推导[1-3]，而是由上述结论，经过简单的思考得出。 3.1 质点系对动点的绝对动量矩定理 质点系对 'O 点的绝对动量矩为 ' ' 1 n O O i i= =∑L LL LL LL L 。根据（1）式，对质点 Pi ' ' ' d d O i i i O O i m t = × + L LL L v v M v v Mv v M v v M 对上式两边求和 ' ' ' 1 1 1 d d n n n O i i i O O i i i i m t= = = = × +∑ ∑ ∑ L LL L v v M v v Mv v M v v M 等式左边 ' ' 1 d d d d n O i O i t t= =∑ L L L LL L L L ；等式右边第一项 ' ' C ' 1 1 ( ) n n i i O i i O O i i m m M = = × = × = ×∑ ∑v v v v v vv v v v v vv v v v v vv v v v v v ，其中 M为系统的总质量， Cvvvv 为质心对 O点的速度；用 (e)'O iMMMM 表示 Pi所受系统外力的矩，则系统外力的总矩 (e) (e) ' ' 1 n O O i i= =∑M MM MM MM M ， (c)'O iMMMM 表示 Pi所 受系统内力的矩，则系统内力的总矩 (c) (c)' ' 1 0 n O O i i= = =∑M MM MM MM M ，故等式右边第二项 (e) (c) (e)' ' ' ' 1 1 ( ) n n O i O i O i O i i= = = + =∑ ∑M M M MM M M MM M M MM M M M 。 则 (e)' C ' ' d d O O O M t = × + L LL L v v M v v Mv v M v v M （4） 这就是质点系对动点的绝对动量矩定理。 3.2 质点系对动点的相对动量矩定理 质点系对 'O 点的相对动量矩为 ' r ' r 1 n O O i i= =∑L LL LL LL L 。根据（2）式，对质点 Pi ' r ' ' d ' d O i i i O O i m t = − × + L LL L r a M r a Mr a M r a M 对上式两边求和 ' r ' ' 1 1 1 d ( ' ) d n n n O i i i O O i i i i m t= = = = − × +∑ ∑ ∑ L LL L r a M r a Mr a M r a M 因 ' C ' 1 ( ' ) ' n i i O O i m M = − × = − ×∑ r a r ar a r ar a r ar a r a ，这里 C'rrrr 为质心对 'O 点的向径，故 (e)' r C ' ' d ' d O O O M t = − × + L LL L r a M r a Mr a M r a M （5） 这就是质点系对动点的相对动量矩定理。 3.3 质点系对动点的绝对动量矩定理和相对动量矩定理的一致性 质点对动点的动量矩定理及其应用 48 由 2.3 的结论，对质点 P i ' ' r ' ' d d ' d d O i O i i i O i i O m m t t = × + × + L L L LL L L L v v r a v v r av v r a v v r a 对上式两边求和 ' ' r ' ' 1 1 1 1 d d ' d d n n n n O i O i i i O i i O i i i i m m t t= = = = = × + × +∑ ∑ ∑ ∑ L L L LL L L L v v r a v v r av v r a v v r a 利用 3.1及 3.2 中的某些结论，则 ' ' r C ' C ' d d ' d d O O O O M M t t = × + × + L L L LL L L L v v r a v v r av v r a v v r a 可见，（4）式和（5）式是一致的。 3.4 质点系在非惯性系中的动量矩定理 根据（3）式，对质点 P i * * e c ' r ' ' ' d d O i O i O i O i t = + + f f f ff f f f L LL L M M M M M MM M M M M M 对上式两边求和 * * e c ' r ' ' ' 1 1 1 1 d d n n n n O i O i O i O i i i i i t= = = = = + +∑ ∑ ∑ ∑ f f f ff f f f L LL L M M M M M MM M M M M M 则 * * e c (e)' r ' ' ' d d O O O O t = + + f f f ff f f f L LL L M M M M M MM M M M M M （6） 其中 * e'O ffff M MM M 和 * c'O ffff M MM M 分别表示牵连惯性力和科里奥利惯性力的总矩，这就是质点系在非惯性系中的动量矩定 理。 3.5 质点系对质心的动量矩定理 所谓质点系对质心的动量矩定理，是指质点系对平移质心系（柯尼希坐标系）原点的动量矩定理。 （1）由质点系对动点的绝对动量矩定理推导 这里 C 'O=v vv vv vv v ，由（4）式得 (e)' ' d d O O t = L LL L M MM M 。因系统相对质心的绝对动量矩等于相对质心的相对动量矩[1]，故 (e)' r ' d d O O t = L LL L M MM M （7） 这就是质点系对质心的动量矩定理。 （2）由质点系对动点的相对动量矩定理推导 这里 C' 0=rrrr ，由（5）式得 (e)' r ' d d O O t = L LL L M MM M 。 （3）由质点系在非惯性系中的动量矩定理推导 因所选坐标系为柯尼希坐标系，不存在科里奥利惯性力，在牵连惯性力中只有 'i Om− aaaa 项，系统内各质点 所受惯性力为与质量成正比的同向平行力，合力通过质心，总矩为零，由（6）式得 (e)' r ' d d O O t = L LL L M MM M 。 参 考 文 献 [1] A Π 马尔契夫. 理论力学(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 44,108-109,102-103. [2] 肖士珣. 理论力学简明教程[M]. 北京: 人民教育出版社, 1979: 97-100. [3] 刘延柱, 杨海兴, 朱本华. 理论力学(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 224-232.