常系数齐次线性微分方程解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y′′+py′+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通 解. 我们看看, 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入 方程 y′′+py′+qy=0 得 (r 2+pr+q)erx =0. 由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y′′+py′+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可 用公式 2 42 2,1 qppr −±+−= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时, 函数 、 是方程的两个线性无关的 解. xrey 11= xrey 22= 这是因为, 函数 、 是方程的解, 又xrey 11= xrey 22 = xrrxr xr e e e y y )( 2 1 21 2 1 −== 不是常数. 因此方程的通解为 . xrxr eCeCy 21 21 += (2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时, 函数 、 是二阶常系数齐次线性微分xrey 11= xrxey 12 = 方程的两个线性无关的解. 这是因为, 是方程的解, 又 xrey 11= xrxrxrxrxrxr qxeexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211 ++++=+′+′′ , 0)()2( 1211 11 =++++= qprrxepre xrxr 所以 也是方程的解, 且xrxey 12 = xe xe y y xr xr == 1 1 1 2 不是常数. 因此方程的通解为 . xrxr xeCeCy 11 21 += (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=α±iβ时, 函数y=e(α+iβ)x、y=e(α−iβ)x是微分方程的两个线性无关 的复数形式的解. 函数y=eαxcosβx、y=eαxsinβx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y1=e(α+iβ)x和y2=e(α−iβ)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y1=e(α+iβ)x=eαx(cosβx+isinβx), y2=e(α−iβ)x=eαx(cosβx−isinβx), y1+y2=2eαxcosβx, )(2 1cos 21 yyxe x +=βα , y1−y2=2ieαxsinβx, )(2 1sin 21 yyi xe x −=βα . 故eαxcosβx、y2=eαxsinβx也是方程解. 可以验证, y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx是方程的线性无关解. 因此方程的通解为 y=eαx(C1cosβx+C2sinβx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=0的通解的步骤为: 第一步 写出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2. 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例 1 求微分方程 y′′−2y′−3y=0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为 r2−2r−3=0, 即(r+1)(r−3)=0. 其根r1=−1, r2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y=C1e−x+C2e3x. 例 2 求方程y′′+2y′+y=0满足初始条件y|x=0=4、y′| x=0=−2的特解. 解 所给方程的特征方程为 r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0. 其根r1=r2=−1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e−x. 将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而 y=(4+C2x)e−x. 将上式对 x求导, 得 y′=(C2−4−C2x)e−x. 再把条件y′|x=0=−2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为 x=(4+2x)e−x. 例 3 求微分方程 y′′−2y′+5y= 0的通解. 解 所给方程的特征方程为 r2−2r+5=0. 特征方程的根为r1=1+2i, r2=1−2i, 是一对共轭复根, 因此所求通解为 y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n 阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1y′+pny=0, 称为n 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p1, p2 , ⋅ ⋅ ⋅ , pn−1, pn都是常数. 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到 n 阶常系数齐次 线性微分方程上去. 引入微分算子 D, 及微分算子的 n次多项式: L(D)=Dn +p1Dn−1+p2 Dn−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1D+pn, 则 n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn +p1Dn−1+p2 Dn−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1D+pn)y=0或L(D)y=0. 注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′, ⋅ ⋅ ⋅,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 则 L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn−1+p2 rn−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1r+pn)erx=L(r)erx. 因此如果r是多项式L(r)的根, 则y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程: L(r)=rn +p1rn−1+p2 rn−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1r+pn=0 称为微分方程 L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Cerx ; 一对单复根r1, 2=α ±iβ 对应于两项: eαx(C1cosβx+C2sinβx); k重实根r对应于k项: erx(C1+C2x+ ⋅ ⋅ ⋅ +Ck xk−1); 一对k 重复根r1, 2=α ±iβ 对应于 2k项: eαx[(C1+C2x+ ⋅ ⋅ ⋅ +Ck xk−1)cosβx+( D1+D2x+ ⋅ ⋅ ⋅ +Dk xk−1)sinβx]. 例 4 求方程y(4)−2y′′′+5y′′=0 的通解. 解 这里的特征方程为 r4−2r3+5r2=0, 即r2(r2−2r+5)=0, 它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i. 因此所给微分方程的通解为 y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例 5 求方程y(4)+β 4y=0的通解, 其中β>0. 解 这里的特征方程为 r4+β 4=0. 它的根为 )1( 22,1 ir ±= β , )1( 24,3 ir ±−= β . 因此所给微分方程的通解为 ) 2 sin 2 cos( 212 xCxCey x βββ += ) 2 sin 2 cos( 432 xCxCe x βββ ++ − . 二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介 二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程 y′′+py′+qy=f(x) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解 y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解 y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x). 当 f(x)为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f(x)=Pm(x)eλx 型 当 f(x)=Pm(x)eλx时 , 可以猜想 , 方程的特解也应具有这种形式 . 因此 , 设特解形式为 y*=Q(x)eλx, 将其代入方程, 得等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 则λ2+pλ+q≠0. 要使上式成立, Q(x)应设为m 次多项 式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm , 通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, ⋅ ⋅ ⋅ , bm, 并得所求特解 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程 r2+pr+q=0 的单根, 则λ2+pλ+q=0, 但 2λ+p≠0, 要使等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)应设为 m+1 次多项式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm +b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm , 通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, ⋅ ⋅ ⋅ , bm, 并得所求特解 y*=xQm(x)eλx. (3)如果λ是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 则λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0, 要使等式 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)应设为 m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm , 通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, ⋅ ⋅ ⋅ , bm , 并得所求特解 y*=x2Qm(x)eλx. 综上所述 , 我们有如下结论 : 如果 f(x)=Pm(x)eλx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy =f(x)有形如 y*=xk Qm(x)eλx 的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是 特征方程的的重根依次取为 0、1或 2. 例 1 求微分方程 y′′−2y′−3y=3x+1的一个特解. 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是Pm(x)eλx型(其中Pm(x)=3x+1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为 y′′−2y′−3y=0, 它的特征方程为 r2−2r−3=0. 由于这里 λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为 y*=b0x+b1. 把它代入所给方程, 得 −3b0x−2b0−3b1=3x+1, 比较两端 x同次幂的系数, 得 , −3b⎩⎨ ⎧ =−− =− 132 33 10 0 bb b 0=3, −2b0−3b1=1. 由此求得b0=−1, 3 1 1=b . 于是求得所给方程的一个特解为 3 1* +−= xy . 例 2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)是Pm(x)eλx型(其中Pm(x)=x, λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为 y′′−5y′+6y=0, 它的特征方程为 r2−5r +6=0. 特征方程有两个实根r1=2, r2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2e3x . 由于 λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 −2b0x+2b0−b1=x. 比较两端 x同次幂的系数, 得 , −2b⎩⎨ ⎧ =− =− 02 12 10 0 bb b 0=1, 2b0−b1=0. 由此求得 2 1 0 −=b , b1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 xexxy 2)1 2 1(* −−= . 从而所给方程的通解为 xxx exxeCeCy 223221 )2(2 1 +−+= . 提示: y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x, [(b0x2+b1x)e2x]′=[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)⋅2]e2x, [(b0x2+b1x)e2x]′′=[2b0+2(2b0x+b1)⋅2+(b0x2+b1x)⋅22]e2x. y*′′−5y*′+6y*=[(b0x2+b1x)e2x]′′−5[(b0x2+b1x)e2x]′+6[(b0x2+b1x)e2x] =[2b0+2(2b0x+b1)⋅2+(b0x2+b1x)⋅22]e2x−5[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)⋅2]e2x+6(b0x2+b1x)e2x =[2b0+4(2b0x+b1)−5(2b0x+b1)]e2x=[−2b0x+2b0−b1]e2x. 方程y′′+py′+qy=eλx[Pl (x)cosωx+Pn(x)sinωx]的特解形式 应用欧拉公式可得 eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx] ] 2 )( 2 )([ i eexPeexPe xixi n xixi l x ωωωωλ −− −++= xinl xi nl exiPxPexiPxP )()( )]()([2 1)]()([ 2 1 ωλωλ −+ ++−= xixi exPexP )()( )()( ωλωλ −+ += , 其中 )( 2 1)( iPPxP nl −= , )(2 1)( iPPxP nl += . 而 m=max{l, n}. 设方程y′′+py′+qy=P(x)e(λ+iω)x的特解为y1*=xkQm(x)e(λ+iω)x, 则 )(1 )(* ωλ imk exQxy −= 必是方程 )()( ωλ iexPqyypy −=+′+′′ 的特解, 其中 k按 λ±iω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取 0或 1. 于是方程y′′+py′+qy=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]的特解为 xim kxi m k exQxexQxy )()( )()(* ωλωλ −+ += )sin)(cos()sin)(cos([ xixxQxixxQex mmxk ωωωωλ −++= =xk eλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx]. 综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=eλx [Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=f(x) 的特解可设为 y*=xk eλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx], 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k 按λ+iω (或λ−iω)不是特征方程的根或是特 征方程的单根依次取 0或 1. 例 3 求微分方程 y′′+y=xcos2x的一个特解. 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)属于eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型(其中λ=0, ω=2, Pl(x)=x, Pn(x)=0）. 与所给方程对应的齐次方程为 y′′+y=0, 它的特征方程为 r2+1=0. 由于这里 λ+iω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x. 把它代入所给方程, 得 (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x. 比较两端同类项的系数, 得 3 1−=a , b=0, c=0, 9 4=d . 于是求得一个特解为 xxxy 2sin 9 42cos 3 1* +−= . 提示: y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x. y*′=acos2x−2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x, =(2cx+a+2d)cos2x+(−2ax−2b+c)sin2x, y*′′=2ccos2x−2(2cx+a+2d)sin2x−2asin2x+2(−2ax−2b+c)cos2x =(−4ax−4b+4c)cos2x+(−4cx−4a−4d)sin2x. y*′′+ y*=(−3ax−3b+4c)cos2x+(−3cx−4a−3d)sin2x. 由 , 得 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− =− =+− =− 034 03 043 13 da c cb a 3 1−=a , b=0, c=0, 9 4=d . 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法