苏州大学历年考研高等代数真题

PAGE 2 高等代数 08 07化二次型 为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 1， 求三阶矩阵 的Jordan标准型. 2， 设 且长度为2,矩阵 求 的特征多项式. 3， 设 是 阶反对称矩阵, 为单位矩阵.证明： 可逆设, 求证 是正交阵. 4， 设 是3阶对称矩阵,且 的各行元素之和都是3,向量 是 的解,求矩阵 的特征值,特征向量,求正交阵 和矩阵 使得 5， 设 是一个数域, 是 中次数大于0的多项式,证明：如果对于任意的 , ,若有 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 是不可约多项式. 6， 设欧氏空间中有 证明：如果 ,那么 设 是 维欧氏空间中的一个对称变换,则 . 苏州大学2007年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 1. 解 所给二次型的矩阵为 其特征多项式为 .故特征值为 . ,解对应的特征方程 得 , . ,解对应的特征方程 得 . 以 作为列向量作成矩阵 .则 可逆,且 为对角阵. 这时做非退化线性替换 得 .■ 2. 解 ,将其对角化为 .故 的若当标准形为 .■ 3. 解 的特征多项式为 EMBED Equation.DSMT4 .■ 4. 证 ⑴ 是反对称实矩阵,故其特征值为零或纯虚数.其实,假定 是 的特征值, 是相应的特征向量.则 ,又 ,故 ,这说明 是零或纯虚数.由此得 ,因而 可逆. ⑵ 由⑴知 可逆,这说明 有意义.而 ,因此 EMBED Equation.DSMT4 .故 是正交矩阵. ■ 5. 解 依题意有 因而 其特征多项式为 .故特征值为 . ⑴ ,解特征方程 得 , .特征向量为 . ⑵ ,解特征方程 得 .特征向量为 . 以上 .把向量 正交并单位化得 , .把向量 单位化得 .以 作为列向量作成矩阵 ,则 为正交矩阵且 . ,则 满足 .■ 6. 证 假设 可约,不妨设 ,其中 .这时显然有 ,但不可能有 或者 .这与题设矛盾,故假设错误.因而 不可约. ■ 7. 证 依题显然有 ,假设 ,则 .于是 ,这说明 可被 线性表出.记 给上式两边同时计算 得 ,于是 ,与题设矛盾,故假设错误, 原命题 成立. ■ 8. 证 对于任意的 及任意的 ,有 ，于是有 ,因而 .又 ,于是 ,故 .■ 06一，用正交线性替换将实三元二次型 变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。 二、设 。A是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得 为对角阵，且写出此对角阵。 三、设 是一个整系数多项式，证明：如果 是一个奇数，则 不能被x-1整除，也不能被x+1整除。 四、设A是一个 矩阵，证明：如果A的秩等于 的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组 X=0同解。 5、 设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设 是V的一个线性变换，证明：如果 ，则 没有特征值。 6、 设 A是 实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量 ，都有 。 7、 设V= 是F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。 ，定义映射 ，其中 ， =0或 a) 证明映射 是V的一个线性变换。 b) 求 在基{1，x, , , }下的矩阵。 8．设A,B都是 矩阵，并且AB=BA。证明：如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似于对角矩阵。 051、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ?是否相似?为什么? 2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。 3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。 4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。 5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。 6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价： （1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n 7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明： （1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。 8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r. 证明: A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。 EMBED Equation.DSMT4 03７．设 是一个数域， 是 上 维的线性空间， 是 的一个线性变换，记 ．证明： ，则 是 的核与 的直和． ８．设 是 上的连续函数．称 在 上线性相关，若存在不全为零的常数 ，使得 ．证明： 在 上线性相关的充要条件是 其中 是 的行列式． 021．（15分）设 EMBED Equation.DSMT4 ， 都是 矩阵。解矩阵方程 。 2．（20分）设 ， 是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵 ，使得 是一个对角矩阵。 3．（10分）设 都是非负整数。设 EMBED Equation.DSMT4 。证明： 整除 。 4．（10分）设 ， 都是 矩阵， 是 矩阵，并且 的秩是 。证明：如果 ，则 。 5．（10分）设 是 矩阵，并且 是可逆的。证明：如果 与 的所有的元素都是整数，则 的行列式是 或 。 6．（10分）设 是 反对称矩阵，证明： 是半正定的。 7．（15分）设 是 矩阵。如果 ，并且 的秩是 ， 是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。 8．（10分）设 是有理数域 上的线性空间， 的维数是 ， 与 是 的线性变换。其中 可对角化，并且 。证明：存在正整数 ，使得 是零变换。 001．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足： （1） EMBED Equation.DSMT4 （2） 证明： 能整除 。 证明： （3） 将（3）带入（1）中，得到： ． 注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。 2．（14分）设A是n r的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是r m矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。 证明： ，即方程 ． EMBED Equation.DSMT4 3（15分）求矩阵 的最大的特征值 ，并且求A的属于 的特征子空间的一组基。 解： ， 当 时，求出线性无关的特征向量为 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 是 的特征子空间的一组基． ４(14分)设 EMBED Equation.DSMT4 ． 解： 不妨设 则矩阵 对应的特征值为： 故 ５(14分)设A,B都是实数域R上的 矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等． 证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明： 利用构造法，设 ，令 ， ，两边取行列式得 ．（１） ，两边取行列式得 ．（２） 由（１），（２）两式得 ＝ ．（３） 上述等式是假设了 ，但是（３）式两边均为 的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（ ），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是 矩阵，Ｂ是 矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系： ，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式． ６．(14分)设A是 实对称矩阵,证明： 是一个正定矩阵． 证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数． 设 为Ａ的任意特征值，则 的特征值为 ． 故 是一个正定矩阵． ７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设 但是 ．证明： 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数． 证明： 令 ．（１） 用 左乘（１）式两边，得到 ． 由于 ， ，带入（１）得 ．（２） 再用 左乘（２）式两端，可得 ． 这样继续下去，可得到 ． 线性无关． ＝ EMBED Equation.DSMT4 ． Ａ在此基下的矩阵为 ， 可见, , 即A的核的维数为1． PAGE 2 _1239087650.unknown _1256813036.unknown _1256814158.unknown _1256816485.unknown _1256817018.unknown _1256817723.unknown _1256819227.unknown _1256820203.unknown _1257595253.unknown _1257595351.unknown _1256819275.unknown _1256819290.unknown _1256819250.unknown _1256817914.unknown _1256818593.unknown _1256819185.unknown _1256817990.unknown _1256818036.unknown _1256817820.unknown _1256817871.unknown _1256817749.unknown _1256817468.unknown _1256817553.unknown _1256817688.unknown _1256817491.unknown _1256817222.unknown _1256817429.unknown _1256817039.unknown _1256816863.unknown _1256816941.unknown _1256816992.unknown _1256816922.unknown _1256816627.unknown _1256816651.unknown _1256816598.unknown _1256815756.unknown _1256816272.unknown _1256816436.unknown _1256816284.unknown _1256816411.unknown _1256815920.unknown _1256816042.unknown _1256815903.unknown _1256814552.unknown _1256814852.unknown _1256815666.unknown _1256814743.unknown _1256814380.unknown _1256814416.unknown _1256814186.unknown _1256813406.unknown _1256813719.unknown _1256813929.unknown _1256814070.unknown _1256813813.unknown _1256813518.unknown _1256813537.unknown _1256813500.unknown _1256813180.unknown _1256813322.unknown _1256813336.unknown _1256813294.unknown _1256813111.unknown _1256813147.unknown _1256813074.unknown _1256811422.unknown _1256812137.unknown _1256812409.unknown _1256812435.unknown _1256812626.unknown _1256812419.unknown _1256812212.unknown _1256812314.unknown _1256812184.unknown _1256811882.unknown _1256812002.unknown _1256812061.unknown _1256811932.unknown _1256811635.unknown _1256811827.unknown _1256811532.unknown _1256810749.unknown _1256810849.unknown _1256811212.unknown _1256811292.unknown _1256810881.unknown _1256811133.unknown _1256810766.unknown _1256810799.unknown _1256810757.unknown _1256810483.unknown _1256810573.unknown _1256810654.unknown _1256810692.unknown _1256810534.unknown _1256810347.unknown _1256810404.unknown _1239087651.unknown _1225090752.unknown _1239085597.unknown _1239086287.unknown _1239086612.unknown _1239087298.unknown _1239087364.unknown _1239087649.unknown _1239087108.unknown _1239087160.unknown _1239086787.unknown _1239086433.unknown _1239086605.unknown _1239086346.unknown _1239085871.unknown _1239086215.unknown _1239086262.unknown _1239086156.unknown _1239085673.unknown _1239085850.unknown _1239085623.unknown _1239084854.unknown _1239085072.unknown _1239085441.unknown _1239085464.unknown _1239085428.unknown _1239084915.unknown 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