C5稳定性

null第五章 系统的稳定性与 李雅普诺夫方法 *北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*第五章 系统的稳定性与 李雅普诺夫方法 北京科技大学自动化学院 控制科学与工程系系统的稳定性与李雅普诺夫方法**系统的稳定性与李雅普诺夫方法5.1 关于稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法 5.4 李亚普诺夫第二方法在线性统的应用 5.6 本章小结5.2 李亚普诺夫第一方法5.5 李亚普诺夫第二方法在非线性系统中的应用 北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.1 关于稳定性的基本概念**5.1 关于稳定性的基本概念状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为 式中： x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数,是 在给定初始条件 下,有唯一解： 上式描述了系统在n维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。和时间t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t，则为定常的非线性函数.。北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 说明: 1) 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态. 2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不 一定是唯一的. 3)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的 平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 (这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处 系统的稳定性可能是不同的。因此对有多个平衡 点的系统来说，要讨论该系统的稳定性必须逐个 对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.1 关于稳定性的基本概念**5.1 关于稳定性的基本概念通过输入和输出关系表征系统的外部稳定。 通过状态和其运动规律，表征系统内部稳定。外部稳定-BIBO稳定结论：系统 BIBO稳定的充要条件是系统传递函数极点都有负实部。 北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.1 关于稳定性的基本概念**5.1 关于稳定性的基本概念内部稳定-渐近稳定结论：线性定常系统是渐近稳定的充要条件是其系统阵A的特征根都有负实部。北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.1 关于稳定性的基本概念**5.1 关于稳定性的基本概念BIBO稳定与渐近稳定的关系若系统系统是能控能观的，则：否则：北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念例：设系统的状态空间表达式为:试分析系统的状态稳定性与BIBO稳定性. 解：1)有A的特征方程: 可知系统的状态是不稳定的. 2)由系统的传递函数: 故系统输出稳定.这是因为具有正实部的特征值 被系统的零点s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 大范围渐近稳定：如果平衡状态 是稳定的,而且从状 态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳 定性(即没有 的限制)，而 只有 , 且有在 是大范围渐近稳定的。，则称系统北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.1 关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.2 李雅普诺夫第一方法**5.2 李雅普诺夫第一方法雅可比矩阵北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.2 李雅普诺夫第一方法**5.2 李雅普诺夫第一方法定理1：（李雅普诺夫第一方法） 若f(x) 的雅克比矩阵在x=xe处所有的特征根都有负的实部。则原系统在x= xe处是渐进稳定的。且稳定性与f(x)的高阶导数无关 若f(x) 的雅克比矩阵在x= xe时所有的特征根多于一个的实部大于零。则系统在x= xe处不稳定。 若f(x) 的雅克比矩阵在x= xe处有实部为零的特征根其他均为负的实部，则系统的稳定性由f(x)的高阶导数决定。北京科技大学自动化学控制科学与工程系5.2 李雅普诺夫第一方法**例：设系统的状态方程为： x1=x1-x2x1 x2=-x2+x1x2 试用第一方法分析系统在平衡状态上的稳定性。5.2 李雅普诺夫第一方法北京科技大学自动化学院控制科学与工程系..null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 李雅普诺夫第二方法又称直接法，它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数V(x). null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系* 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 一：预备知识标量函数的符号性质：设V(x)为由n维矢量x所定的标量函数，且在x=0处恒有V(x)=0,对所有域中的任何非零矢量x，如果成立： 5) V(x)>0或V(x)<0, 则称V(x)为不定的，例如： null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 例5.4：判别下列各函数的符号性质 null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数：二次型函数在李雅普诺夫第二法分析系统得稳定性中起着重要的作用。 是一向量，矩阵P为实对称矩阵。 则称： 为二次型标量函数。 null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 于是，我们常称为二次型函数的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型。null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数V(x)中P的性质和说明： 1）若V(x)正定，则称P为正定， 记作P>0； 2）若V(x)负定，则称P为负定， 记作P<0； 3）若V(x)半正定，则称P为半正定，记作P≥0； 4）若V(x)半负定，则称P为半负定，记作P≤0。 由上可见，P的符号性质与V(x)定义的符号性质 完全相同。null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数性质的判别方法： 定义法：见例5.4。 例试判断如下P阵对应的二次型函数的正定性。(1)(2)半正定。正定。null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据设系统的状态方程为 , 平衡状态为 ,如果存在一个标量函数V(x),满足： (1) V(x)对所有x都是有连续的一阶偏导数；(2) V(x)是正定的； (3) V(x)沿状态轨道方向计算的时间导数 分别满足下列条件： null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*几点说明：5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 3) 对于 ，则 ，这意味着运动 将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原 点，这相当于极限环或者临界稳定。null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 例：已知系统状态方程为： 试分析系统平衡状态的稳定性，(线性系统的稳定性只与A有关，与控制和输出无关)。解：（1）求平衡状态：（2）选取李雅普诺夫函数V(x), （多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V(x)）null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 若 状态方程矛盾null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) (4) 判断大范围渐进稳定性 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)∴半负定。系统在x=0处大范围渐进稳定的此系统位移不为零时，速度也不为零。所以在系统运动轨迹上5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法)例：已知非线性状态方程，试判别系统的稳定性。 解：①求平衡状态 null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*③求 ，因此该 系统是渐进稳定的。5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ②取 当 ∴ 是大范围渐进稳定的。 例：设系统状态方程如下，试判定其稳定性。 解：①求平衡点 ②取 null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ③求 ④稳定性分析几点说明： 1) 李氏稳定判定方法的关键是找v(x)，但并没有提供找v(x)的方法； null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 4）由于构造v(x)较难，因此实际上李氏判据主要用于其他方法无法判定的情况。我们则主要掌握对线性系统的判定。 3）v(x)函数只提供了系统在 附近的稳定情况，域 外情况由 的情况来延伸。2) 对于一个给定系统v(x)的选取一般不是唯一的，但并不影响结论的一致性；null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用一：线性定常连续系统渐进稳定性判据 为渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必定存在正定的实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程。定理：设线性定常系统为 （A，B，C）则平衡状态 并且: 是系统的李雅普诺夫函数。证明：充分性：若P为正定的，则取 则V(x)正定 5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 负定。必要性：考察方程 ，5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用P对称P正定null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*用该判据判定线性定常系统的稳定性请注意以下几点：5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用例1：试分析如下系统的状态方程平衡点的稳定性。解：设 Q=I null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用则由： 解得： 故P是正定的，系统在平衡点一大范围渐近稳定的。5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用二：线性时变连续系统渐进稳定性判据 为一致渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一致有界正定实对称矩阵Q(t)，必定存唯一的实对称矩阵P一致有界、正定,并满足李雅普诺夫方程。定理：设线性定时变系统为(A(t),B(t))，则平衡状态 5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用**5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用三．线性定常离散系统渐近稳定判据定理：设线性定常离散时间系统的状态方程为： 意给定的正定实对数矩阵Q，必存在一个正定实对称 矩阵P，满足：系统的李雅普诺夫函数为： 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用例：设线性离散系统状态方程为：试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：取Q=I ，由 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.4 李雅普洛夫方法在线性系统中的应用其中：得：由此可知要使P正定的 必须是： 北京科技大学自动化学控制科学与工程系null**5.5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用设系统的状态方程为 即 为系统的一个平衡点，取其中P为正定矩阵北京科技大学自动化学控制科学与工程系null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*本章小节：本章讲的几个问题：① 平衡点的求取： 李雅普诺夫稳定，渐近稳定，一致渐近稳定， 大范围渐近稳定，不稳定等概念。③ 明确李雅普诺夫函数及其在稳定性分析中的应用 ④ 线性定常系统常可选 为李氏函数。null**U(s) u(t)Y(s) y(t)BIBO稳定：如果系统对于有界输入u 所引起的输出y 是有界的.则称系统为输出稳定.传递函数的极点具有负实部；劳斯判据渐进稳定：lim x(t)=xe,系统在xe处渐进稳定．A矩阵的特征根具有负实部；大范围渐进稳定：对任给的初始状态都有在xe处渐进稳定．外部稳定与内部稳定的区别北京科技大学自动化学控制科学与工程系null*北京科技大学自动化学院控制科学与工程系*本章结束