初等数论考试试卷 初等数论期末
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
一答案 一、单项选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 7、A 8、C 9、D 10、C 二、填空题 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式 有解的充分必要条件是( ). 3、如果 是两个正整数,则不大于 而为 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果 是素数, 是任意一个整数,则 被 整除或者( 与 互素 ). 5、 的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果 是两个正整数,则存在( 唯一 )整数 ,使 , . 7、设 是素数,则不定方程 有（ 唯一解 ）. 8、如果同余式 有解,则解的个数( ). 9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数. 10、如果 ,则 =( ). 11、如果 ,那么 =( 1 ). 三、计算题 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[ ] =[1768,391] = =104 391 =40664. 2、求解不定方程 .（8分） 解：因为（9，21）=3， ，所以有解； 化简得 ； 考虑 ，有 ， 所以原方程的特解为 ， 因此，所求的解是 。 3、解同余式 . （8分） 解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于 ,即 . 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的 . 因此同余式的3个解为 , , . 4、求 ,其中563是素数. （8分） 解 把 看成Jacobi符号,我们有 , 即429是563的平方剩余. 5、求[24871,3468]=?（8分） 解：因为（24871,3468）=17 , 所以 [24871,3468]= =5073684 6、求解不定方程 .（8分） 解：因为 ,所以有解; 考虑 , ; 所以 是特解, 即原方程的解是 7、解同余式 .（8分） 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程 , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的 . 因此同余式的3个解为 , , . 8、求17的平方剩余与平方非剩余.(8分) 解 因为 ,所以平方剩余与平方非剩余各有8个. 又因为 , , , , , , , , 所以,1,2,4,8,9,13,15,16是素数17的8个平方剩余.其它的8个数3,5,6,7,10,11,12,14是素数17的平方非剩余. 四、
证明
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题 1、证明对于任意整数 ,数 是整数. (10分) 证明 因为 = = , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从 和 有 , 即 是整数. -----（1分） 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为 , 所以只需证明 . 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成, 所以这只需将n=0,±1,±2代入 分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 3、证明形如 的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明: 设 是正数,并且 , 如果 , 则因为对于模4, 只与0,1,2,-1等同余, 所以 只能与0,1同余, 所以 , 而这与 的假设不符, 即定理的结论成立. 4、如果整数 的个位数是5,则该数是5的倍数.（11分） 证明: 设 是一正整数,并将 写成10进位数的形式: = , . 因为10 0(mod5), 所以我们得到 所以整数 的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数. （10分） 证明: 设相邻两个偶数分别为 所以 = 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即 是8的倍数.
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