线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第五章习题答案

线性代数课第五章后题答案思考题5-11.1123123100,000aaaa0aaa.2.不一定。例如，对于123101,,012aaa，它们中的任两个都线性无关，但是123,,aaa是线性相关的。3.不一定。也可能是2a能由13,aa线性表示，还可能是3a能由12,aa线性表示。4.不一定。例如，对于12121100,;,0012aabb。12,aa和12,bb这两个向量组都线性相关，但1122,abab却是线性无关的。5.向量组121,,,,nnaaaa线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。习题5-11.提示：用行列式做。（1）线性无关。（2）线性相关。.2.0k且1k。3.证：1212,,,1,,,,nneeeEeee线性无关。设12,,,,Tnbbbb则1122.nnbbbbeee4.证法1：因为A可逆，所以方程组Axb有解。根据定理5-1，向量b能由A的列向量组12,,,naaa线性表示，所以向量组12,,,,naaab线性相关.证法2：通过秩或根据mn时m个n元向量一定线性相关也可马上证明。5..证：（1）因为A的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组Ax0有非零解，设u0是它的非零解，则.Au0由BPA，得.Bu0可见Bx0有非零解，所以B的列向量组线性相关。（2）若P可逆，则1APB。由（1）的结论可知，B的列向量组线性相关时，A的列向量组也线性相关，所以A和B的列向量组具有相同的线性相关性。注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。6.证：由A可逆知，A的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B的列向量组也线性无关.注：该题也可通过矩阵的秩来证明。7.证：（1）由向量组123,,aaa线性无关，可知23,aa也线性无关。又因为向量组234,,aaa线性相关，所以4a能由23,aa线性表示。2）反证法。设1a能由34,aa线性表示，又因为4a能由23,aa线性表示，所以1a能由23,aa线性表示，这与123,,aaa线性无关矛盾，因而1a不能由34,aa线性表示。8.证：反证法。设123,,aaa线性相关，则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示，不妨设1a能由23,aa线性表示。因为向量b能由123,,aaa线性表示，所以b能由23,aa线性表示，这与b不能由123,,aaa中任何两个向量线性表示矛盾，所以向量组123,,aaa线性无关。9.证：设21123kkllllαAαAαAα0。(1)由kAα0可知，当mk时，mAα0.用1kA乘以（1）式，得11klAα0.因为1,kAα0所以10.l这时，（1）式成为2123kklllAαAαAα0.(2)用2kA乘以（2）式，得12klAα0.因为1,kAα0所以20.l这时，（2）式成为213kkllAαAα0.(3)按照同样的做法，可证30kll.所以21,,,,kαAαAαAα线性无关.提高题5-11.证：令2121111122221,,,,,1,,,,,,TTssskkkkkkbbb211,,,,Tsssskkk。因为ij时，ijkk,所以12121,,,()0,,,,sjisijskkbbbbbb线性无关.根据定理5-5可知，12,,,saaa线性无关.2.证：由11,Aαα2122,Aααα3233Aααα，得1(),AEα021()2,AEαα32()3AEαα。设112233kkkααα0，(1)用AE乘以（1）式，得213223kkαα0（2）再用AE乘以（2）式，得316kα0因为1,α0所以30k。由（2）式可得，20k，再由(1)式可得，10k。所以向量组123,,ααα线性无关。思考题5-21．（1)不正确。当()rrA时，A中有一个r阶非奇异子阵就行，不需要所有r阶子阵都是非奇异的.(2)正确。（3）正确。因为A的行秩与列秩相等，当A为方阵时，A的秩与A的行数和列数的大小关系是一样的，所以A的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.（4）不正确。例如，对于111,1,()(),00rrABABB但A不是可逆矩阵.（5）正确。由ABO，得()()()0,()(),rrnrrrnABABAB其中n为A的列数。由A和B都是n阶非零矩阵，可得()1,()1rrAB。再根据()()rrnAB，可得(),()rnrnAB。所以A和B都是降秩矩阵.2.当A为方阵时，A为降秩矩阵A是奇异矩阵A不可逆Ax0有非零解Axb无解或有无穷多个解A的行向量组（列向量组）线性相关。习题5-21.注：求秩时行变换和列变换都可用。(1)()4rA;(2)()3rB。2.解：3144122311111111111101101101123401220122351702240112rrrrrbbbaaaA3224421111111101120112012200100110002rrrrrraabb所以12ab或12ab.3.证：必要性因为A和B等价，所以用初等变换能将A化为B。又因为初等变换不改变矩阵的秩，所以()().rrAB充分性设()(),rrrAB则A和B有相同的等价 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形rEOFOO，即用初等变换可将A和B化成rEOFOO。因为初等变换是可逆的，所以用初等变换也可将rEOFOO化成B，因而用初等变换能将A化为B，A和B等价。4.证：因为()1rA，所以存在可逆矩阵P和Q，使得100000,000PAQ1111100100001,0,,0,0000APQPQ令1110,(1,0,,0),0TaPbQ则.TAab5.证：因为()()()mrrrmEABA，所以()rmA。又因为()rnA，所以m≤n.同理可证，()rmB。6.证：由CAB为可逆矩阵，得()rmC。由()()()mrrrmCABA，得()rmA。因为()rnA，m≠n，所以mn，()rnA。同理可证，()rmB。因而A的列向量组线性相关，B的列向量组线性无关.7.证：由ABO，得()()()0,()().rrkrrrkABABAB8.证：由26AAEO，得(3)(2).AEAEO根据第7题可得(3)(2).rrnAEAE又因为(3)(2)[(3)(2)](5),rrrrnAEAEAEAEE所以(3)(2).rrnAEAE9.证：（1）当()rnA时，10,0,().nrnAAAA（2）当()1rnA时，0,.AAO由AAAEO，得()(),rrnAA()()1.rnrAA由,AO又得()1.rA所以()1.rA（3）当()2rnA时，,()0.rAOA10.证：AB为m阶方阵，因为()()rrnmABA，所以AB为降秩矩阵，0.AB提高题5-21.证：因为()rrA，所以存在可逆矩阵P和Q，使得,rEOPAQOO1111,,rrrEEOAPQPEOQOOO令11,,,rrEBPCEOQO则B和C的秩都为r，分别为mr矩阵和rn矩阵，且.ABC2.证：设()rrA，则存在可逆矩阵P和Q，使得,rEOPAQOO11111,rrEOEOAPQPQQQOOOO令111,,rEOBPQCQQOO则2CC，且.ABC3.证法1：因为(),rkA所以()()()()rrrkrABABB.又因为()()rrABB，所以()().rrABB证法2：TAA为k阶方阵，由()()TrrkAAA知，TAA为可逆矩阵。于是，()()(),TrrrBAABAB即()().rrABB又因为()(),rrABB所以()().rrABB注：当A的秩等于其列数时，称A为列满秩矩阵。该题是性质4-3左乘可逆矩阵情况的推广。4.解：设A为n阶矩阵。1[(1)]()nabbbabanbabbbaA.当ab且(1)anb时，().rnA当0ab时，()0.rA当0ab时，()1.rA当(1)0anb时，()1.rnA思考题5-31.不一定。例如，向量组I：1211,00aa能由向量组II：1210,01bb线性表示，但向量组II不能由向量组I线性表示。2.能。3.（1）等价矩阵的列向量组不一定等价。例如，矩阵1000与0001等价，但是它们的列向量组不等价；（2）等价的列向量组所构成的矩阵不一定等价。例如，向量组101,,012与向量组11,01等价，但他们构成的矩阵不等价。4.不一定。例如，向量组12,00与向量组00,11的秩相等，但它们不等价。5.选D.6.选D.注：等价的向量组所含向量的个数可以不同，可以一个相关而另一个无关。7.选D.因为12(,,,)rrααα12(,,,)srsβββ，若sr，则12(,,,)rrrααα.8.选D.习题5-31.（1）线性相关。（2）线性相关。2.（1）秩为3，124,,aaa是一个极大无关组，3125242,.aaaaaa（2）秩为3，124,,aaa是一个极大无关组，3122.aaa(3)秩为4，1234,,,TTTTaaaa是极大无关组.3.证：设123123,,,,,,AaaaBbbb则BAP，其中102110011P由1P知，P可逆，所以()()().rrrBAPA所以B的列向量组和A的列向量组的线性相关性相同，结论成立.4.解：设123123,,,,,,AaaaBbbb则BAP，其中1122011kkP要使123,,bbb线性相关，需0P.由0P，得0k或2k。所以当0k或2k时，向量组123,,bbb线性相关。5.解：设1212,,,,,,,mmAaaaBbbb，则BAP，其中1000111000011000001000011P11(1)mP当m为奇数时，=2P，P可逆，()=r()=rmBA，12,,,mbbb线性无关。当m为奇数时，=0P，()=r()r()<rmBAPP，12,,,mbbb线性相关。6.证：由向量组12,,,mbbb线性无关，可得12(,,,)mrmbbb.由向量组12,,,mbbb能由向量组12,,,naaa线性表示，又可得1212(,,,)(,,,).mnrrnbbbaaa所以m≤n.7.证：必要性若12,,,naaa为nR的极大无关组，则对于nR中的任意向量a，12,,,,naaaa都线性相关，因而a能由12,,,naaa线性表示。充分性若nR中的任意向量a都能由12,,,naaa线性表示，则12,,,nneeeR能由12,,,naaa线性表示，于是1212(,,,)(,,,)nnrrneeeaaa.由12,,,neee线性无关，得12(,,,)nrneee.因而12(,,,)nrnaaa，12,,,naaa线性无关。因为(),rnnR所以12,,,naaa为nR的极大无关组。8.证：12123123032204103124103124032204,,,,,210111210111321213321213rraaabbb31234123103124103124032204016157016157032204028179028179rrrrrr324232103124103124016157016157002051525004135004135000000rrrr因为123123123(,,,,,)(,,)3rraaabbbaaa，所以向量组II能由向量组I线性表示.又因为13123204111111111124124033011,,111204022000213213011000rrbbb123123123123(,,)2,(,,,,,)(,,),rrrbbbaaabbbbbb所以向量组I不能由向量组II线性表示.9.解：123123111122111122,,,,,01111101111121236401120kkkkaaabbb111122011111001011kk当1k时，123123123(,,,,,)(,,)3rraaabbbaaa，向量组II能由向量组I线性表示。当1k时，123123123(,,,,,)(,,),rraaabbbaaa向量组II不能由向量组I线性表示。123123122111122111,,,,,11101101112236421202121kkkkbbbaaa12211112211101112201112202122102121kkkkkk当2k时，123123123(,,,,,)(,,)3rrbbbaaabbb，向量组I能由向量组II线性表示。当2k时，123123123(,,,,,)(,,)rrbbbaaabbb向量组I不能由向量组II线性表示。当1k且2k时，向量组I与向量组II等价。