反应扩散方程简介

筋技写泣献。热二二众共反、应扩散‘方·程简介叶其孝北京大学数学系本文试图向读者简单介绍以下三个问题数学上什么叫反应扩散方程组提出反应扩散方程组的各种实际问题举例反应扩散方程组的数学理论,简单介绍一下什么是抛物型方程组的定性理论‘数学上什么叫反应扩散方程组数学上通常把半线性抛物型方程瓮一‘·‘·,·,一”,‘一‘,叫做反应扩散方程,而把方程组,,,,⋯。,,,⋯,。,,。,,“,⋯,。,,,⋯,,,叫做反应扩散方程组,其中,“,,,⋯,,“,,,⋯,二,,,⋯, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示某种意义下的浓度或温度、密度等等,而,,,⋯,,是我们所生活的现实空间,则,或。一,△“一女夕二竺允育口矛表示“空间”变量若△叫做算子了或动是给定的已知函数,而或是 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的未知函数可写成向量形式丝一△。,,,,口其中,△卜。‘⋯”,一兮’,一一‘’“邢’,⋯,二。,口了口刃、、、一一拉“一,况乡,况,⋯,。⋯,。,‘、了、,且,‘‘月声工奋,,,,⋯,。了了口‘、、、、一一业·现在人们也常常把下列更一般的方程叫做反应扩散方程“口了。,、“、,,叹,下尸飞口气叹一一】个叹戈戈夕十气,了劣万口尤其中,。,。同前,了于、、、一一、,了三、“、“,,,,,,,⋯,““。,“,,⋯,,,。·声了矛下飞、、一一、,产口了、是已知的对角矩阵,且成,称为扩散矩阵,称为反应向量,,都是已知函数,要求的是向量认李。称为对流向量口当然对于多个自变量,,,⋯,,的情形,也可以写出类似于的方程组中的矩阵也可以是非对角形的我们的任务是求解或,中的,为此还必须明确在什么区域定解区域中求解,以一个空间变量的情形为例来说,可以在,一即上半平面上求解,这时还必须给出在初始时刻了一。的值,即初始条件。,二,这样才可能有唯一确定的解如果在,或,二上求解,那么除了要给出初始条件外,还要给出端点处的各种边界条件’、,,,,、厂、、沪‘、‘、,。,,己一,,一,。,口,·,条件,,条件,口,二、、。』、一、一一—反一一一一「气“,‘一“又‘,。·‘一,,一、,、‘不条件,一硒丁一十尺,“又,一八,其中天,左非负,也可以有更复杂的边界条件才能唯一确定解,,对于多个空’变量的情形有类似的初始和边界条件亏提出反应扩散方程组的各种实际问题举例对于物理学、化学和生物学中许多问题,为了定量地或定性地研究它们,就要建立各种数学模型,其中许多是马中提到的反应扩散方程这里我们仅给出有限的几个例子,并且不给出数学模型建立的细节这常常不是一件很简单的事情,有的给出一些参考文献,有兴趣的读者可以去看有关的参考文献为了书写简单起见,在以下例子中一律只考忿、虑一个空间变量的情形,而且只写出方程非线性热传导热传导的数学模型是众所周知的,但如果在热传导过程中有热源,热源非线性地依赖于温度,,,而且热传导系数友也依赖于时,我们得到非一线性热传导方程丝一立竺、口君二一”流体在多孔介质中的运动规律例如地下水、石油、夭然气的运动规律一当把重力影响、毛细管现象、蒸发及透吸等因素考虑在内时,某些数学模型将导致下列方程口,、——吸“—】卜—月‘、,,、‘口其中二,表示某种意义下单位多孔介质内的含水量‘半导体中的电子和空穴流氏,若,。分别是空穴和电子的浓度,而是电势,则,,、。下二一仗产砍。刀一刀叼一找武刀,少,口厂」。,,、了、长￡一孕产,女。一一,仁。,,口一‘、二。△一。户一。,其中,宁,产,,产。,,,‘。是正常数,而。,,是给定的函数燃烧理论许多工业部门必须和燃烧打交道,要想法控制它当我们只考虑慢燃烧即不会产生激波的情形,或考虑火焰的运动规律时,会遇到以下的数学模型【,舒一泌。,。一、,豁一二△。一。一、,““中,。二砂。界,其中,是温度,是燃烧物质的浓度,常数口是反应热,常数,是材料的热扩散系数,是活化能,是气体常数,。一命一,比率因子‘,亚口宕“,这里“表示规范化了的温度,根据不同的简化情况,了可以有不同的形式,【中提到的是一种形式,还可以有其它形式关于燃烧理论和火焰理论的较全面的论述可参看〔一一反应〔“,‘,,由于这是近年来很多人研究的课题,我们略为多说几句年苏联科学家在做生化实验中的三叛酸循环的定量分析时发现在稀释的硫酸中若有柿离子作为催化指示剂时,由于嗅化盐的作用,柠檬酸的氧化不二象大多数化学反应那样有条理地均匀地趋于平衡态,而是在黄色和无色之间象时钟那样准确地振动着‘外斗年另一位苏联科学家八‘坛重复地做出了他的实验并发表了他们的结果年在国际生物、生化振动会议上 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 了他们的结果后引起了国际上的重视之后,各种类似的实验纷纷做出现在在实验室中做出这种实验是不困难的实验结果表明在这种反应扩散过程中不但有随时间的振动,而且还有空间振动波的传播行进波,而且在时几间的进程中会有新的中心波源产生种种实验的结果特别引起生物学家和生物化学家的兴趣,因为一。吐反应简记为一反应比之于生物和生化的振动过程当然要简单得多,但是如果彻底了解了定性地和定量地一反应,无疑对生物及生化中的各种复杂反应是大有好处的何况弄清一反应对于掌握催化剂的应用也是有好处的因此一些化学家和数学家开始探索并建立一反应的机理,从而建立了一些数学模型,而且从数学上进行了研究,并已经定性地 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了确实存在实验中看到的某些现象例如存在行波解,即。‘,形式的解以下我们只举一种数学模型为例年,和提出了一种机理即分析出一反应中的关键性反应称为机理年和,进一步提出了更为简单的五步主要反应的模型,其无量纲化后的方程组为豁一“月一,黔漂一脚一豁斗其中,,,都是实常数,是一实参数,“,,表示无量纲化后的反应物质的浓度神经轴突中电脉冲的传导—一方程川一‘神经系统是通过单个的神经细胞或神经元发出和传递电脉冲来传递信息的,而神经轴突是把信号从神经细胞体带到有机体的其它部分的纤丝英国生理学家和在年左右对鱿鱼的巨大的轴突中的电脉冲的传导进行了研究他们把轴突理想化为无限长或半无限长的柱形电线,中心为导电的核心,它包有部分绝缘的膜,该膜和外膜间充满了浓度很大的带电金属离子,大部分是钠和钾离子,并提出了著名的一方程一方程口“—十“,拉,‘一尸。。,巫氏鲤山其中,“是数量函数,田是向量函数但是要从数学上来研究约是太困难了,于是出现了由提出的一个比较简单的数学模型,和、,、、石二了个“、一脚又“一少一留,‘吸少留,加一氏亚山这里,。是数量函数,。和力中的“一样可以证明从这个数学模型得出的结论在某些重要方面和在实验中观察到的现象一致,例如行波解“一“‘,,。。十‘,的存在性固定在膜内的酶的数学模型,酶是催化在活的有机体的代谢途径中的生化反应的分子研究嵌人人造膜中的酶分子的反应和扩散的某些数学模型将导至研究下列方程口“口卜和方程组△,一,,。一介一,夕△。又刀,。一。。一,。十友,些鱼山色山外褚注、的有关初、边值问题生态学中提出的各种数学模型一,,一。当群体的种群数量很大时,来考虑群体各种群间的相互作用,增长规律,例如考虑猫和老鼠猫以老鼠为食物,寄生虫和宿主,带病菌者和被传染者之间的关系时就会提出所谓的捕食者一被捕食者一模型另外种群在有限空间、资源下的增长有竞争也有互助也会提出一些数学问题这些问题都涉及象群体遗传、传染病传染等等生态学中的数学问题,在一定的简化条件下常可化为以下方程组以两个种群的群体为例鲁一△··“一,,鲁一△·研,。很多模型中伽,,和“,。是“,。的线性函数对人口问题有兴趣的读者可参看【,我们还可以举出很多例子,例如核反应器或化学反应器动力学中提出的那样的方程组,这里就不再多述了以上种种从不同学科领域中提出的形式相同的数学问题决不是偶然的,这说明了当研究不同的物理、化学、生物现象的量的规律时,它们遵从某种意义下相同的数学方程一当数学模型形成,那末就要求数学家们对这些数学问题进行研究、作出回答包括提出合适的计算 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去计算出靠得住的数值结果,这是向数学提出的巨大挑战反应扩散方程的数学理论抛物型方程的定性理论从偏微分方程的角度来看,反应扩散方程组就是一类半线性或拟线性抛物型方程组所谓反应扩散方程的数学理论就是在各种初、边值条件下求解这类抛物型方程组,并回答当时间增长时这些解的行为具体说,我们可以分成以下几个问题来讲为简单计我们仅以方程,,为例进行说明整体解的存在唯一性所谓整体解或叫全局解指的是对一切。都存在的解,,。问题是例如对于任给中的“,是否整体解都存在呢回答是否定的例如考虑的特殊形式的解“,,三“习,这时变成一个常微分方程“。我们只考虑初值问题,即若。,“““,则易知解为一、户‘,咖卜咬、‘、子矛“一一显然当,一。时,一用微分方程的术语来说“在有限时间内爆炸了”这就是说不可能有整体解又若“一““,,则“二显然是一解但可验证,对于任何公。,簇毛了,户一一,了妻丫,户一一“勺性‘一一、了“也是解,因而有无穷多个整体解也就是说整体解不唯一读者在【,中可以找到更多的有说服力的例子对于或更复杂一些方程的各种初、边值问题的整体解的存在唯一性的充分条件得到了较多的研究但对于方程组的研究还很少,有些对单个方程行之有效的方法如最大值原理的方法对方程组就不一定有效了为证明方程组的各种初、边值问题的整体解的存在唯一性还需要发展更好的方法波动性和趋于平衡性众所周知,双曲型方程的代表一维弦振动方程口口“口了可以有形为,“士‘的行波解这反映了用弦振动方程来描述的物理现象具有波动的性质‘表示波的传播速率,而“士”号则表示波的传播方向而对于线性抛物型方程的典型代表—热传导方程巫一丝,一二,,己刁’的初值问题,甲幻,一,若甲劝有界,易证不可能有行波解这就是说热传导方程所代表的物理现象不具有波动的性质但是在有限区间上的解却具有趋于平衡的性质,即当,时,的解趋于—在同一区间上的解武幻在有限区间上正好表示一种平衡状态让我们以初、边值问题为说明这一点,加护“蓄一苏,一‘,‘”,,甲幻,一,,“,,,的解,为例来说明利用方法或最大值原理,易证当,”时,趋于,的解幻三。即螟一。,、。一,一。的解、万在中列举的物理学、化学和生物学的许多例子中,从实验上都观察到振动的现象关于时间和空间的振动又观察到当‘增加时有趋于某种平衡的现象因而,作为反映这些例子的主要数量特征的微分方程的各种初、边值问题就应该兼具上述两种特性从数学上,年,和〔,,,第一次证明形为的反应扩散方程例如“一可以有行波解““‘心他们的工作也可以说是开创了反应扩散方程严格的数学理论。他们研究过的方程口生丝十口一,现在称为方程或七方程平衡解的结构稳定性问题分歧现象以方程为例,我们把△。,,,一的解向量。一。,,,⋯,,叫做的平衡解或叫平衡点一般说的边值问题的解不是唯一的于是就产生下述间题的解。、,朴,⋯,刁当,一时究竟趋于的那个解呢如果已知的解趋于的解为此我们首先要搞清楚的解的结构即的全部解,通常这是很难彻底弄清楚的退一步说,如果已稗犷经知道约有几个平衡解,而且初始值就在这些平衡解附近扰动,当,“时,,,是否趋于相应的平衡解呢这就是稳定性问题我们以方程的初值问题为例来说明我们知道一一至少有两个常数解,即“兰和“问题是如果已知“一月犷一一一一口一之一一一其中卜对一切一二,一表示某种意义下的大小度量毛或“,,有或】“,一簇或也就是说初值在平稳解附近扰动能否由此推出“,成‘呢稳定,或能否推出“,五,一呢渐近稳定可以证明见【」“幻彗这个平衡解是不稳定的,而“幻则“,三是稳定的事实上,可证明下列结果只要,等,稳定性的问题还和初、边值的大小有关,于是就可能产生所谓的门槛现象可参看研究判定一个平衡解是否稳定的准则正是反应扩散方程的数学理论要解决的重要课题之一很多实际问题的数学模型中都带有一些参数,这些参数可以反映在方程中也可以反映在定解区域的大小和形状的变化中例如二犷一一又,十八“,儿少口口刃几是参数,这时相应的平衡解满足方程“尸二州了又“,儿少一,尤‘对于不同的又,平衡解的个数可能不同这就产生了分支的问题,即当兔在某个范围内变化时力可能会有两个解分支,记作“,劝,“二,劝哪个分支是稳定的呢有没有方法去判别呢这又是反应扩散方程数学理论的一个重要内容有兴趣的读者可参看【以获得关于分歧问题的更多的了解常微分方程理论中稳定性理论的很多方法和结果对于研究抛物型方程组解的稳定性问题是非常有用的把复杂的方程组化为较简单的问题而仍保持原问题定性性质的数学方法—奇异摄动方法渐近分析方法有兴趣的读者可参看,抽象理论把方程一看成一种发展方程例如空间中的微分方程,利用泛函分析,非线性半群理论等方法去研究前面提到的各种问题,尤其是稳定性问题和分歧问题。有兴趣的读者可参看【大体上说以稳定性问题为主的以上五个方面构成了偏微分方程理论中半线性抛物型方程的定性理论或叫几何理论,它们也就是反应扩散方程的数学理论由于近二十年来反应扩散方程的数学理论得到了很快的发展,除了众多的文献外,在总结方法和成果的基础上已经写出了一些较好的书,例如」值得提出的是本书有关反应扩散方程的部分讲了不少拓扑方法,【这是一本既有实际又有理论的书,【斗,工,等参考资料脸,”玩,阿拉文,努美罗夫,滤流理论,高等教育出版社,只波卢巴里诺娃—柯琴娜,地下水运动原理,地质出版社,,卫理,止‘半线性抛物型方程的几何理论,北京大学数学系译油印本,袁益让等,半导体器件数值模拟的一类新方法及其理论分析,科学通报,,,一让汕,咖一叩,,址,,一人挑卫,血鲜,。,,纽肠伍,,,峨卫威廉斯,燃烧理论,科学出版社,,韶,仑兔姗恤,,‘,,,·,、一滋·盯,凸工盯叨桩毗皿叩“,,蕊,,盛,印姗认饥‘再毗皿艺饥君艺皿。,才乙夕,,一牙切,比部皿滋以缸,乃·研,,一龙助,,刀迁敌,,一生肚,几盯么,皿了,杨纪柯等编译,生物数学概论,科学出版社,北京,,恤此鳍,加恤,,,,,啦皿一叨,,珍,叨劫蜘丑,,有中译本“微分方程及其应用”,张鸿林译,人民教育出版社,,一宋健等,人口发展过程的预测,中国科学,,一血那桩,衍抚五,,卫碱,,皿曲·,犷动刀才皿卯凡,一,,,’、色么,,乙刀。艺公肚死肠,犷·孙云犷几二,,一·卫,,九”肠夕丽仇,一、,,盯,一,助一,‘,通皿杠,鸿万叮幼肚知肠铆卿