因式分解 方法归纳

因式分解最全方法归纳乐水散人整理于2015.09一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。注意事项：（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不可丢掉；（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。例1、分解因式：6a2b–9abc+3ab解：原式=3ab(2a-3c+1)例2、分解因式：–12x3y2+4x2y3解：原式=–4x2y2(3x–y) 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf （口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。2、公式法分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。平方差a2–b2=(a+b)(a–b)完全平方(a±b)2=a2+b2±2ab(a+b+c)2=a2+b2+2ab+2bc+2ca立方差a3–b3=(a–b)(a2+b2+ab)立方和a3+b3=(a+b)(a2+b2–ab)三项立方和a3+b3+c3–3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2–ab–bc–ac)完全立方(a+b)³=a³+3ab²+3a²b+b³(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³高次方和an–bn=(a–b)[a(n–1)+a(n–2)b+……+b(n–2)a+b(n–1)]高次方差am+bm=(a+b)[a(m–1)-a(m–2)b+……-b(m–2)a+b(m–1)](m为奇数)部分公式的推导：a2–b2=a2+ab–ab–b2=(a2+ab)–(ab+b2)=a(a+b)–b(a+b)=(a+b)(a–b)a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=a2(a+b)-b(a2-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a2-b(a-b)]=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=a3-a2b+a2b-b3=a2(a-b)+b(a2-b2)=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)[a2+b(a+b)]=(a-b)(a2+ab+b2)例3、分解因式：x6-64y6解一：原式=(x3)2–(8y3)2=(x3+8y3)(x3–8y3)=(x+2y)(x2–2xy+4y2)(x–2y)(x2+2xy+4y2)解二：x6-64y6=(x2)3–(4y2)3=(x2–4y2)(x4+8x2y2+16y4–4x2y2)=(x+2y)(x–2y)[(x2+4y2)2–(2xy)2]=(x+2y)(x–2y)(x2+2xy+4y2)(x2–2xy+4y2)注意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。3、分组分解法多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。例4、分解因式：am+an–bm–bn解：原式=(am+an)–(bm+bn)=a(m+n)–b(m+n)=(a–b)(m+n)例5、分解因式：a2+b2–c2–2ab解：原式=(a2–2ab+b2)–c2=(a–b)2–c2=(a–b+c)(a–b–c)4、十字相乘法（1）形如ax2+bx+c的二次三项式，如果有mn=a，pq=c，且mq+np=b,则可把该式分解为ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q)。注意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c，都要求判别式Δ=b2–4ac≥0，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。例6、分解因式：3x2–11x+10解：原式=(3×1)x2+[1×(-5)+3×(-2)]x+(–2)×(–5)=(x-2)(3x-5)例7、分解因式：6x2y2–xy–15解：原式=2×3x2y2+[2×(–5)+3×3]xy+3×(–5)=(2xy+3)(3xy-5)例8、已知k为正整数，2x2+3x+k能够在整数范围内分解因式，求k值。解：Δ=32–4×2k=9–8k≥0，k≤98，且为正整数∴k=1例9、（2004⋅杭州）要是二次三项式x2–5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（）。A、2个B、4个C、6个D、无数个解：Δ=（–5）2–4p=25–4p≥0，即p≤254只要p能分解为和为–5的两个数，这样的数有无数组，故选D（2）二次项系数为1时，是相对上面标准二次三项式的简化。x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例10、分解因式：x2–5x+6解：原式=x2+[(–2)+(–3)]x+(–2)×(–3)=(x–2)(x–3)例11、分解因式：x2–2x–35解：原式=x2+[5+(–7)]x+5×(–7)=(x+5)(x–7)（3）对于齐次多项式ax2+bxy+cy2，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。例12、分解因式：15x2+7xy-4y2解：原式=(5x+4y)(3x–y)例13、分解因式：x2–6xy+8y2解：原式=(x–4y)(x–2y)（4）对于高次多项式形如ax2n+bxn+c或ax2n+bxnym+cy2m的，参照上面方法进行，分解后的多项式由于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。例14、分解因式：2s4–5s2+3解：原式=(s2–1)(2s2–3)=(s+1)(s–1)(2s2–3)例15、分解因式：12m4–19m2n2–18n4解：原式=(4m2–9n2)(3m2+2)=(2m+3)(2m–3)(3m2+2)5、拆项法（包含添项法）把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为0的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。注意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。例16、分解因式：x3–3x2+4解一：原式=x3+1–3x2+3=(x+1)(x2–x+1)–3(x+1)(x–1)=(x+1)(x2–x+1–3x+3)=(x+1)(x2–4x+4)=(x+1)(x–2)2解二：原式=(x3–3x2–4x)+4x+4=x(x2-3x–4)+4(x+1)=x(x+1)(x–4)+4(x+1)=(x+1)(x2–4x+4)=(x+1)(x–2)2例17、分解因式：bc(b+c)+ca(c–a)–ab(a+b)解：原式=bc(c-a+a+b)+ca(c–a)–ab(a+b)=bc(c–a)+ca(c–a)+bc(a+b)–ab(a+b)=c(c–a)(b+a)+b(a+b)(c–a)=(c+b)(c–a)(a+b)例18、分解因式：x9+x6+x3–3解：原式=x9–1+x6–1+x3–1=(x3–1)(x6+x3+1)+(x3–1)(x3+1)+(x3–1)=(x3–1)(x6+x3+1+x3+1+1)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)6、配方法有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完全平方式，然后剩余部分再利用平方差公式，就能将其因式分解。（1）为了方便运算，二次项系数不为1时，先提出二次项系数，使其变为1。（2）对于形如x2+bx+c的二次三项式，作变换：x2+bx+c=x2+bx+（b2）2+c–（b2）2。（3）对于齐次多项式x2+bxy+cy2，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用配方法进行分解。（4）对于高次多项式形如x2n+bxn+c或x2n+bxnym+cy2m的，参照上面方法进行。例19、分解因式：x2+3x–40解：原式=x2+3x+(32)2–40–(32)2=(x+32)2–(132)2=(x+8)(x-5)例20、分解因式：5x4–20x2y2–105y4解：原式=5(x4–4x2y2–21y4)=5(x4–4x2y2+4y4–4y4–21y4)=5(x4–4x2y2+4y4–25y4)=5[(x2–2y2)2–(5y2)2]=5(x2+3y2)(x2–7y2)总结：能够用配方法分解的多项式，均可用十字相乘法分解。但配方法作为一种重要的数学方法，除因式分解外还有很多重要应用，必须熟练掌握。7、换元法把多项式中某些部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元。换元后进行因式分解，然后再转换回来。（1）对多项式中复杂部分换元，简化计算，避免出错。例21、分解因式：2015x2–(20152–1)x–2015解：设K=2015，原式=Kx2–(K2–1)x–K=(Kx+1)(x–K)=(2015x+1)(x-2015)（2）形如abcd+e的多项式，先经过适当分组，两两展开，再换元以求简便。例21、分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2解：原式=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2设M=x2+5x+6，则x2+7x+6=M+2x原式=M(M+2x)+x2=x2+2Mx+M2=(x+M)2=(x+6x+6)2例22、要使多项式(x–1)(x+3)(x–4)(x-8)+m为一个完全平方式，则m等于(　　)A、12B、24C、98D、196解：原式=(x–1)(x–4)(x+3)(x–8)+m=(x2–5x+4)(x2–5x–24)+m设x2–5x+4=y，则x2–5x–24=y–28原式=y(y–28)+m=y2+28y+m∴m=(282)2=196选择D（3）按字母的降幂排列，每一项的次数依次减1，且系数成轴对称的等距离多项式，提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。例23、分解因式：2x4–x3–6x2–x+2解：原式=x2(2x2–x–6–1x+2x2)=x2[2(x2+1x2)–(x+1x)–6]设x+1x=A，则x2+1x2=A2–2原式=x2[2(A2–2)–A–6]=x2(2A2–A–10)=x2(2A–5)(A+2)=x2(2x+2x–5)(x+1x+2)=x(2x+2x–5)x(x+1x+2)=(2x2–5x+2)(x2+2x+1)=(x+1)2(2x–1)(x–2)例24、分解因式：x4–4x3+x2+4x+1解：原式=x2(x2–4x+1+4x+1x2)=x2[(x2+1x2)–4(x–1x)+1]设x–1x=A，则x2+1x2=A2+2原式=x2(A2+2–4A+1)=x2(A2–4A+3)=x2(A–1)(A–3)=x2(x–1x–1)(x–1x–3)=(x2–x–1)(x2–3x–1)总结：对结构比较复杂的多项式，能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。8、主元法选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母降幂排列，再进行因式分解。例25、分解因式：a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)+2abc解：原式=(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b2c+bc2=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)=(b+c)[a2+(b+c)a+bc]=(a+b)(b+c)(a+c)例26、分解因式：a2(b–c)+b2(c–a)+c2(a–b)解：原式=(b–c)a2–(b2–c2)a+b2c–bc2=(b–c)a2–(b–c)(b+c)a+bc(b–c)=(b–c)[a2–(b+c)a+bc]=(a–b)(b–c)(a–c)总结：选定主元，可使多元多项式清晰明了，避免分解时无从下手。9、待定系数法首先判断出分解后因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例27、分解因式：x2+xy–6y2+x+13y–6解：原式的前3项可以分解为(x+3y)(x-2y)设x2+xy–6y2+x–13y–6=(x+3y+a)(x-2y+b)(x+3y+a)(x-2y+b)=x2+xy–6y2+(a+b)x+(3b-2a)y–ab与原式对比相同项的系数，得：a+b=13b−2a=13ab=6解得a=–2b=3∴原式=(x+3y–2)(x-2y+3)例28、多项式x2–y2+mx+5y–6能分解因式，求m的值，并分解此多项式。解：设x2–y2+mx+5y–6=(x+y+a)(x–y+b)(x+y+a)(x–y+b)=x2–y2+(a+b)x+(b–a)y+ab与原式对比系数得：a+b=mb–a=5ab=–6解得a=–2b=3m=1或a=−3b=2m=–1∴m=±1当m=1时，原式=x2–y2+x+5y–6=(x+y-2)(x–y+3)当m=–1时，原式=x2–y2–x+5y–6=(x+y-3)(x–y+2)例29、如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2能分解因式，求a+b的值。解：设x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+y)则x3+ax2+bx+8=x3+(y+3)x2+(3y+2)x+2y对比对应项的系数得：y+3=a3y+2=b2y=8解得：a=7b=14y=4∴a+b=21总结：必须先判断出分解后因式的形式，该形式一旦确定，后面就比较简单了。、双十字相乘法对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次六项式，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）。mq+np=bpk+qj=emk+nj=d先用十字相乘法分解a、c，得到一个十字相乘图(有两列)，满足mq+np=b；再把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求同时满足mk+nj=d和pk+qj=e。（1）对于如上形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次六项式，缺少的项认为系数为0，可直接采用双十字相乘法分解。例35、分解因式：2x2–7xy–22y2–5x+35y–3解一：双十字相乘法原式=(2x-11y-3)(x+2y-3)解二：先用主元法，选定x为主元，再经过两次使用十字相乘法分解原式=2x2–(7y+5)x–(22y2–35y+3)=2x2–(7y+5)x–(11y–1)(2y–3)=(2x-11y-3)(x+2y-3)例36、分解因式：3x2+5xy－2y2+x+9y－4解一：双十字相乘法原式=(x+2y－1)(3x－y+4)解二：先用主元法，选定x为主元，再经过两次使用十字相乘法分解原式=3x2+(5y+1)x–(2y2–9y+4)=3x2+(5y+1)x–(y–4)(2y–1)=(x+2y－1)(3x－y+4)（2）对于一元四次五项式，采用换元法，设一个新未知数等于原未知数的平方，原4次项转化为2次项，3次项转化为两个1次项的乘积，2次项适当拆分为原未知数的2次项和新设未知数的1次项，这样就转换为二元二次六项式，再直接采用双十字相乘法分解。例37、分解因式：2x4+13x3+20x2+11x+2解：设x2=y，则x4=y2，x3=xy，代入原式原式=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2=(2y+3x+1)(y+5x+2)=(2x2+3x+1)(x2+5x+2)=(x+1)(2x+1)(x2+5x+2)总结：双十字相乘法本质上就是两次使用十字相乘法，如果掌握不好容易出错，也可以通过主元法的思路，经过两次十字相乘法来分解。11、因式定理法（包含求根法）余数定理：多项式f(x)被ax+b除，所得的余数为R=f(–ba)。因式定理：如果f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x–a。反过来，如果f(x)含有因式x–a，那么，f(a)=0。为余式定理的推论之一。（1）试错法(求根法)：最高次项系数为1时，找出常数项的各个因子分别代入x，找出所有满足f(x)=0的因子，也就是说这些因子都是方程f(x)=0的根。如果所有根为x1、x2......xn，且根的数量n等于f(x)的最高次数，即表明方程f(x)=0没有重根，则分解结果为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)。（2）长除法：找出常数项的各个因数，如果某一因数a满足f(a)=0，那么x–a就是多项式f(x)因式之一。把f(x)除以x–a，使用长除法，得到一个商的多项式。对这个商继续进行上边的步骤，直至不能分解，或通过长除法降低次数后使用其它方法分解。（3）结合使用待定系数法：找出常数项的各个因数，如果某一因数a满足f(a)=0，那么x–a就是多项式f(x)因式之一。不用长除法把f(x)除以x–a，而是把x–a作为一个因式，用待定系数法求出其余的因式。例30、分解因式：x3–x2–4x+4解一：4的因数为±1、±2、±4记f(x)=x3–x2–4x+4当x=1时，f(1)=1–1–4+4=0当x=–1时，f(–1)=–1–1+4+4=6当x=2时，f(2)=8–4–8+4=0当x=–2时，f(–2)=–8–4+8+4=0当x=4时，f(4)=64–16-16+4=36当x=–4时，f(–4)=–64–16+16+4=–60�’原式=(x–1)(x+2)(x–2)解二：4的因数为±1、±2、±4当x=1时，x3–x2–4x+4=0x–1是一个因子，用长除法提出这个因式原式=(x–1)(x2–4)=(x–1)(x+2)(x–2)例31、若x2n–k恰好能被x+3整除，除以x+1余数为–80，求n、k的值，并将多项式因式分解。解：记f(x)=x2n–k，则f(–3)=0f(–1)=–80代入得9n–k=661–k=–80解得n=2k=81f(x)=x4–81=(x2+9)(x2-9)=(x2+9)(x+3)(x-3)例32、若3x3+mx2–5x+n恰好能被x+3整除，除以x+1余数为4，求m、n的值，并将多项式因式分解。解：记f(x)=3x3+mx2–5x+n，则f(–3)=0f(–1)=4代入得9m+n=66m+n=2解得m=8n=–6设3x3+8x2–5x–6=(x+3)(ax2+bx+c)=ax3+(3a+b)x2+(3b+c)x+3c对比各项系数得a=33a+b=83b+c=–53c=–6解得a=3b=–1c=–2∴3x3+8x2–5x–6=(x+3)(3x2–x–2)=(3x+2)(x+3)(x–1)12、特殊值法把一些特殊值代入未知数求值，再通过把该值分解因数，最后分解成因式。步骤如下：（1）将2或10代入未知数，求出数值，并将该结果数值分解质因数。（2）如果质因数的数量等于原式最高次数，进行下一步；如果质因数的数量超过原式最高次数，还要把有的质因数适当合并，最后因数的数量必须等于原式最高次数。（3）将这些因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成未知数，初步写出各个因式。（4）把各因式的常数项的积与原式常数项对比验算，数值相等，这些因式的乘积就是原式的分解结果。否则回到第（2）步。例33、分解因式：x3+9x2+23x+15解：令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解质因数，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，3=2+1，5=2+3，7=2+5，通过常数项验算：1×3×5=15∴x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)例34、因式分解：x4–10x3+35x2–50x+24解：令x=10，则原式=104–10×103+35×102–50×10+24=3024把3024分解质因数，3024=6×7×8×9注意到多项式中最高项的系数为1，6=10–4，7=10–3，8=10–2，9=10–1再用x回代10即得：(x–4)(x–3)(x–2)(x–1)通过常数项验算：(–4)(–3)(–2)(–1)=24∴原式=(x–4)(x–3)(x–2)(x–1)总结：（1）目前掌握的特殊值法分解因式，只适用于最高次项系数为1的多项式；（2）其他介绍特殊值法分解因式的，都没有对比常数项验算，在给求值结果分解质因数数量超过原式最高次数需要合并一些因数时，很容易出错，必须这一步骤！