第十三章轴对称13.3.等腰三角形复习课等腰三角形等边三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定等边三角形的性质等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质1、等腰三角形的性质及判定（1）有相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的两个底角.（3）等腰三角形底边上的、底边上的、顶角的三线合一.（4）等腰三角形是图形，其对称轴是.（5）“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也”.2、等边三角形的性质及判定（1）等边三角形的每个内角都等于.（2）如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是.（3）有一个角是60°的等腰三角形是三角形.3、含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的.例1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,AB=9,AC=8(1)求证：EF=BE+CF(2)求△AEF的周长。(1)证明：∵OB为∠ABC的平分线(已知)∴∠1=∠2(角平分线的性质) ∵EF∥BC（已知）∴∠2=∠5(两直线平行,内错角相等)∴∠1=∠5(等量代换)∴BE=EO(等角对等边)同理:FO=FC∴EF=BE+FC(2)∵C△AEF=AE+AF+EF∵EF=EO+FO∵OE=BE(已证)∴C△AEF=AE+AF+EO+FO∵OF=FC(已证)∴C△AEF=AE+AF+EB+FC∵AB=AE+BE∵AC=AF+FC∴C△AEF=AB+AC∵AB=9,AC=8(已知)∴C△AEF=9+8=17分析：由条件先证△BED≌△AED,得∠B=∠CAD=∠DAB,再根据直角三角形的性质,两锐角的和为90°,求得∠CAD=30°,即可得证.∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°,∵DE是∠ADB的平分线,∴∠3=∠4,证明:如图所示,又∵DE=DE,∴△BED≌△AED(ASA),∴AD=BD,∠2=∠B,∵∠BAD=∠2=∠BAC,∴∠1=∠2=∠B,∵AD=BD,∠1+∠2+∠B=90°,∴∠B=∠1=∠2=30°,在直角三角形ACD中,∠1=30°,∴CD=AD=BD.20°、20°70°或 40°3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为________．64．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2cm，则△ABC的周长为______．12cm5、求证:等腰三角形两底角的平分线相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵∠1=∠ABC,∠2= ∠ACB(已知),∴∠1=∠2(等式性质).在△BDC与△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）, BC=CB（公共边）, ∠1=∠2（已证）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.求证:BD=CE.变式一：求证:等腰三角形两腰上的中线相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CM=AC,BN= AB(已知),∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中∵BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.变式二、求证:等腰三角形两腰上的高相等.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).在△BPC与△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,∴△BPC≌△CQB（AAS）.∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)思路点拨：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，易证△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠DAC，又∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP，∴∠BPQ＝∠DAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴BP＝2PQ＝6，BE＝BP＋PE＝7，AD＝BE＝7拓展提高布置作业1.必做题：教材第81页练习.2.选做题：教材第83页习题13.3第15题.
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