考点十一函数与方程知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点两个交点一个交点无交点零点个数2104．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．5．二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点x；1第三步，计算f(x)；1①若f(x)＝0，则x就是函数的零点；11②若f(x)f(a)<0，则令b＝x(此时零点x∈(a，x))；1101③若f(x)f(a)>0，则令a＝x(此时零点x∈(x，b))；1101第四步，判断是否满足
要求
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的条件，否则重复第二、三、四步．典例剖析题型一函数零点的判断和求解例1函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有零点.答案一个解析因为f(x)＝－＋4x－4=，所以函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有一个零点2.变式训练函数有零点的区间是．答案(2，3)解析.解题要点判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．题型二零点个数问题1例2已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，试求函数的零点个数．x11解析令f(x)＝0，即ln(x＋1)＝，在同一坐标系中画出y＝ln(x＋1)和y＝的图象，可知两xx个图象有两个交点，∴f(x)有两个零点．变式训练函数的零点个数是．答案1个解析函数的零点，即方程的解，研究函数与图象的交点，作出两个函数的图象如图，可知有一个交点，故有一个零点.解题要点判断函数零点个数的三种方法:(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)•f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．题型三参数范围问题例3(1)函数f(x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝．1|x|函数＝－有两个零点，则的取值范围是．(2)y2mm________答案(1)4(2)(0，1)解析(1)令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示：故a=4．故答案为4．1|x|(2)在同一直角坐标系内，画出y＝和y＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，122故0
0，可得其中一个零点x∈__________，第二次应计算__________．0答案(0，0.5)，f(0.25)解析因为用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x∈(0，0.5)，第二次应计算中点值f(0.25)的函数值，然后依次进行判定．0当堂练习π．湖北文函数＝x＋－2的零点个数为．1(2015)f(x)2sinxsin2x________答案2π解析＝x＋－2＝－2＝－2令＝，则＝2，则函f(x)2sinxsin2x2sinxcosxxsin2xx.f(x)0sin2xx数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与函数y＝x2的图象的交点个数．作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.2．(2015湖南文)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当01时，y＝x>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选②项．4．已知关于x的方程xlnx＝ax＋1(a∈R)，下列说法正确的是________．(填序号)①有两不等根②只有一正根③无实数根④不能确定答案②11解析由xlnx＝ax＋1(a∈R)知x>0，∴lnx＝a＋，作出函数y＝lnx与y＝a＋的图象，x12x易知选②.5．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是________．(填序号)①(0,1)②(1,2)③(2,3)④(3,4)答案①解析f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，f(2)＝11>0，f(3)＝32>0，f(4)＝71>0，则f(0)·f(1)＝－2<0且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．课后作业一、填空题11．若函数f(x)＝bx＋2有一个零点为，则g(x)＝x2＋5x＋b的零点是________．3答案1或－61解析∵是函数f(x)的零点，311∴f()＝0，即b＋2＝0，解得b＝－6.33∴g(x)＝x2＋5x－6.令g(x)＝0，即x2＋5x－6＝0，也就是(x－1)(x＋6)＝0，解得x＝1或x＝－6.∴函数g(x)有两个零点1、－6.2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是________．答案(－1,0)解析∵f′(x)＝2xln2＋3>0，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，∴f(－1)·f(0)<0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．3．方程logx＋x－3＝0的解所在的区间是________．3答案(2,3)解析设f(x)＝logx＋x－3，3则f(2)＝log2－1<0，f(3)＝log3＋3－3＝1>0，33∴f(x)＝0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．答案2解析(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．答案{－2－7，1,3}解析当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－7(正根舍去)．故选D.6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上________．(填序号)①有两个零点②有三个零点③仅有一个零点④无零点答案③解析由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)．令f(x)＝0，得x＝－1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．7．函数的零点为________．答案解析因为求解函数的零点，就是求解方程f(x)=0的解，而函数的零点．8．函数f(x)＝－＋6x－9在区间［1，3］上有______个零点答案一个解析因为，所以函数在区间［1，3］上有一个零点3．9．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案2解析由于f(1)＝－4<0，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝2＋ln3>0，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故n＝2.x2－1，x>0，10．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值－x2－2x，x≤0，范围是________．答案(0,1)2x－1，x>0，解析画出f(x)＝的图象，如图．－x2－2x，x≤0由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：00，所以下一个含根区间为，2.2222二、解答题12．已知函数有4个零点，求实数的取值范围.解析由函数有4个零点有4个根，即有4个根．令如下图．由图知在到3之间，所以实数的取值范围是．13．函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，求a的值。解析令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示：故a=4．
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