回顾：在学导数时，曾做过
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
目：d2x验证:x=ccoskt+csinkt,满足方程+k2x=012dt2dx解:=−kcsinkt+kccosktdt12d2x=−k2(ccoskt+csinkt)dt212d2x将及x代入满足方程,得证!dt21d2x该方程+k2x=0与代数方程不同。dt2它是一个含有函数(未知函数)及函数导数的方程,这种方程就是一个微分方程.在不少力学、物理、几何等问题中,往往直接寻求变量之间的函数关系不容易，但容易建立含有未知函数及其导数或微分的关系式。再通过微分方程的求解，得到变量之间的函数关系。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方程的解法.2问题的提出微分方程的定义及有关概念3一、问题的提出在说明基本概念前,先看几个简单的例子.例1一条曲线C过点(1,2),且在曲线C上点M(x,y)处的切线斜率k=2x,求这曲线C的方程.解设曲线C:y=y(x),dy由导数的几何意义：=2x(1)dx此外yx=1=2(2)42对(1)两边积分y=x+cYy=∫2xdx=x2+c(3)由(3)说明:满足方程(1)(1,2)的函数有无穷多个。∵曲线过点(1,2)，将x=1,OXy=2代入(3)得,c=1∴所求曲线为y(x)=x2+1(4)5例2设列车以v=20m沿平直线路行驶,刹车获得sa=−0.4m，问列车刹车后行驶多少路程才s2能停下,且花了多少时间。解设刹车后的运动规律函数：s=s(t)，则d2s=−0.4(5)dt2ds此外s=0v==20(6)t=0t=0dtt=0ds由(5)有,=v=−0.4t+c(7)dt12s=−0.2t+c1t+c2(8)c1,c2为任意常数6将v=20代入(7)得c=20t=01将s=0代入(8)得c=0t=02dsv==−0.4t+20(9)dts=−0.2t2+20t(10)20v=0代入(9)⇒t==50(s)0.4t=50s代入(10)⇒s=500(m)7二、微分方程的定义及有关概念定义凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程称之常微分方程.注未知函数的导数必须出现如，例1中的方程(1),例2中方程(5)定义微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶。例中微分方程为一阶；例中微分方程为二阶。128又如x3y'''+x2y''−4xy'=3x2—三阶y(4)−4y'''+10y''−12y'+5y=sin2x—四阶一般地，n阶微分方程的形式是F(x,y,y', ,y(n))=0(y(n)≠0)(11)定义代入∂微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。即，设y=ϕ(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在I上F[x,ϕ(x),ϕ'(x), ,ϕ(n)(x)]≡0则称ϕ(x)为微分方程（11）在区间I上的解。9例1中函数(3)、(4)是方程(1)的解；例2中函数(8)、(10)是方程(5)的解解有两种不同形式:i)解中含有任意常数且常数的个数与阶数相同.这样的解称为通解或一般解。例1中的函数(3);例2中的函数(8)通解含有任意常数,故还不能完全反映客观事物的规律性,对实际问题往往还有一些特定的条件用来确定通解中的常数10ii)按问题所给的特定条件，从通解中确定任意常数而得到的解称之特解。这些特定条件称为初始条件。通常用来确定任意常数的条件为：一阶：y=y0x=x0二阶：y=y,y'=y'x=x0x=x00例1中的条件(2);例2中的条件(6)11通解在几何上表示一族平面曲线,其中每一条曲线称为微分方程的积分曲线。若能从n阶微分方程F(x,y,y', ,y(n))=0（y(n)≠0）(11)中解出y(n),得微分方程：y(n)=f(x,y,y', ,y(n)) (12)约定：在本章中所讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程(12),或能解出最高阶导数的方程（11）。且式（12）右边在所讨论的范围内连续。12一阶:一般式F(x,y,y')=0(1)解出最高阶导数为：y'=f(x,y)(2)M(x,y)将f(x,y)写成N(x,y)方程(2)可写成微分形式：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(2')13求微分方程y'=f(x,y)满足初始条件的特解这一问题，叫做一阶微分方程的初值问题，⎪⎧y'=f(x,y)记作:(13)⎨y=y⎩⎪x=x00二阶微分方程的初值问题：⎪⎧y''=f(x,y,y')(14)⎨y=y,y'=y,⎩⎪x=x00x=x00下面介绍几种简单的基本类型的一阶方程的解法(见§2−5)14
浙公网安备 33021202002483