2019年新课标全国卷2理科数学模拟卷一(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数2+3i3-2i=( )A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=x14≤2x≤4,则M∪N=( )A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+1ln(x2+3)的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是( )A.p∧qB.(??p)∧(??q)C.(??p)∧qD.p∧(??q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )A.2B.3C.5D.66.x-1x12的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是( )A.1B.2C.3D.47.若数列{an}是等差数列,则下列结论正确的是( )A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0
a2a4D.若a1<0,则(a2-a1)(a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V正四棱锥P-ABCD=163,则球O的表面积是( )A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件3x+y-2≤0,y-x≤2,y≥-x-1,若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是( )A.k<-3B.k>1C.-10),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-xf(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=f(x),x<1,g(x),x≥1,O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得OP·OQ<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2asinθ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为x=-4+22t,y=-2+22t(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考
答案
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1.B 解析(方法一)2+3i3-2i=(2+3i)(3+2i)(3-2i)(3+2i)=13i13=i.(方法二)2+3i3-2i=(2+3i)i(3-2i)i=(2+3i)i2+3i=i.2.A 解析∵M={x|00,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B错误.若00.所以a3>0,a4>0.所以a32-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>a2a4.故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D 解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=163,所以13·2R2·R=163,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D 解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-30),∴g(x)=alnx+c(c为常数).∴g(e)=alne+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=alnx.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-lnx)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,lnx≤1≤x,且等号不能同时成立,∴lnx0.∴a≤x2-2xx-lnx.∴a≤x2-2xx-lnxmax.设t(x)=x2-2xx-lnx,x∈[1,e],则t'(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2.∵x∈[1,e],∴x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=e2-2ee-1.∴a≤e2-2ee-1.(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)).∵OP·OQ=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<1(1-t)ln(-t),令φ(t)=1(1-t)ln(-t)(t<-1),则φ'(t)=(t-1)+tln(-t)t[(1-t)ln(-t)]2.∵t<-1,∴t-1<0,tln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=1(1-t)ln(-t)在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=1(1-t)ln(-t)→0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-22(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=22(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于x<-1,-2x≥3或-1≤x≤1,2≥3或x>1,2x≥3.解得x≤-32或x≥32.故原不等式的解集为xx≤-32或x≥32.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=x2-4x,x<-1,x2-2x+2,-1≤x≤1,x2,x>1.当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1
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