专题07四边形中常用辅助线类型一一般四边形中常用辅助线基础小练1.如图,在四边形中,.求证:.证明:如解图,连接,,,,,连接,又是一种思路,不妨自己试试.2.如图,在四边形中,求证:.证明:如解图,延长交的延长线于点.,,,,,,,还有一种思考，过点作,然后结合平行四边形和等㙘三角形性质求证.3.如图,在四边形中,,若,求的长.解:如解图,过点作于点,,又,四边形为矩形,,在中,,,.方法归纳一般四边形中常用辅助线的作法如下：方法1.连接对角线,构造三角形方法2.延长对边,构造特殊三角形方法3.构造特殊四边形(1)如图④,在四边形中,构造三角形+四边形(2)如图⑤,在四边形中,分别为的中点,可构造中点四边形,利用中位线性质求解.典例精析例如图,在四边形中,,求的长.为什么做题目中要求的长,结合已知条件不能直接求出,根据,可延长对应边构造直角三角形求解或根据题目已知条件含有的直角较多,可构造特殊四边形和直角三角形解决问题.怎么做请在所给图形上作出辅助线并解决问题:作法1:延长对应边构造含的直角三角形求解,具体辅助线作法为.作法1:延长交于点.解：如解图①，延长交于点，,在中,,,在中,,,作法2:构造特殊四边形和直角三角形求解,具体辅助线作法为.作法2:过点作交于点,过点作于点.解:如解图②,过点作交于点,过点作于点,由题意得,,,四边形为矩形,,在中,..,,在中,..综合训练1.如图,在四边形中,分别是的中点.求证:与互相垂直平分.【思路点拨】题干出现四个中点,且求证问题与中点所在直线有关,让我们不得不想到中点四边形问题，先将中点顺次连接,考虑所成四边形是什么四边形,再㧓住特殊四边形性质求证即可.证明:如解图,连接.分别是的中点,是的中位线,,同理,,,且.四边形是平行四边形.又,平行四边形是菱形,与互相垂直平分.2.已知,在四边形中,.(1)如图①,连接,若四边形的面积为24,求的面积;(2)如图②,点是上一点,连接,设和四边形的面积分别为和,且,求的值(3)如图③,,若于点,且,求的度数.解:(1)与等高,且,,,;(2)如解图①,连接,设的面积为,则的面积为,解得..与等高,;【一题多解】（2）如解图②，延长相交于点,,,,设,则,又,.与等高,设,则,.;(3)如解图③,延长相交于点.,,.,即..设,则.,为的中点.又,又,为等边三角形.类型二平行四边形中常用辅助线基础小练1.如图,在中,是对角线上的两点,且满足,连接.求证:.证明:如解图,连接交于点,四边形是平行四边形,.,,四边形是平行四边形,2.如图,在中,交的延长线于点,求的面积.解:如解图,过点作于点,,,,3.如图,在中,对角线和相交于点,若,求的取值范围.解:如解图,平移至,连接.,四边形为平行四边形,在中,由三角形的三边关系得,,.方法归纳平行四边形中常用辅助线作法如下：方法1.连接对角线,构造等线段和全等三角形如图①,连接.则,,方法2.平移边或对角线,构造特殊四边形如图②,延长,使,连接,则四边形为平行四边形.方法3.过顶点作垂直,构造直角三角形或矩形如图③,分别过点作的垂线,交于点,则和为直角三角形,四边形是矩形.方法4.利用对角线交点,构造三角形中位线如图④,若为边的中点,连接,则.方法5.倍长一边连接对边顶点与延长线端点,构造等积三角形如图⑤,延长,使得,连接,则.典例精析例如图,在中,是的中点,与交于点,求的值.为什么做题目中要求的值,结合题目已知条件为的中点,,可考虑过点作三角形的中位线构造比例关系或构造“”字型相似解决问题.怎么做请在所给图形上作出辅助线并解决问题：作法1:过点作中位线构造线段比例关系,具体辅助线作法为.作法1:连接,交于点,连接.解：连接,交于点,连接,是的中点,,,,,即.作法2:构造“”字型相似,具体辅助线作法为.作法2:延长交的延长线于点.解:如解图②,延长交的延长线于点,四边形为平行四边形,,,,.综合训练1.如图,在中,求的长.【思路点拨】考虑以为直角三角形的边构造直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理求解.解:如解图,过点作交的延长线于点,四边形是平行四边形,.又,四边形是平行四边形,在中,.在Rt中,.2.如图,的对角线与交于点,且,在延长线上取一点,使,连接交于点,求的长.【思路点拨】对角线交点是中点,在上找出中点,三角形中位线立马现身,利用中位线的性质和相似三角形的性质,
答案
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简直信手拈来.解:如解图,取的中点,连接,四边形是平行四边形,,,,.,,,.3.如图,在中,点为边的中点,过点作于点,连接,求证:.【思路点拨】本题条件隐蔽的令人发指,要求证,不妨过点作的平行线,利用平行线和中位线的性质求证.证明:如解图①,过点作交于点,交于点,,为的中点,为的中点,为的中点,,,为的垂直平分线,,,.【一题多解】证明:如解图②,延长至点,使得,连接.为的中点,在和中,,,,又,,是斜边的中线,,,
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