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，领悟数学，秒杀数学0第五章导数PAGE\*MERGEFORMAT#专题7指对跨阶系列二之同构式构造秒杀秘籍：同构式问题构造xe*与我们发现，=xlnx在1构造xex来求取值范围，构造xlnx来判断零点个数及分布;同构式模ffl-aIPIXxlnaInxixIn®elx>XIxIxInx?IexInx?IxexxInx=elnxlnx?IxInx?I①頁+ax>In（X+1）+x+1=e"宀+|n（x+1）?axIn（x+1）例1］对于任意的x>0,不等式ax>logax（a>0,且a?1）恒成立，贝lja的取值范围是刍77xxlnaInxxlna用牛Ja>logax?c拮xlnacInxInxInx,故只需xIna>Inx?Ina,由于fInax「《）？•（_）,故f（X）ee例2］（2018?长郡月考）已知函数f（x）aexInx1,若f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是Inx(x)=lnxxa>ccInx2x2xXXX解:由题意得：2ae2x?InxIna雍2xe“XXIn二e°In雍2xIn,令二t,2at3Int此时要构造过aaa111原点的切线放缩模型lnt£t,故2a3,即a3.ee【例4】（2018?武邑期中）设实数2e0,若对任意的X（0,）,不等式e…0恒成立，贝I］的取值范围是・xInx1解:veB-2ec・e0xexlnxeInx,E卩Ix3lnx恒成立，I?.?iae31解：由题意得：aex侈Inexaexex侈exInexaeJ士xexelnexInex恒成立，则需要满足2a3显然x-1?Inx恒成立，故只需ae31，即e.例3】对x0，不等式2ae2xInxIna0恒成立，则实数a的最小值为（）解：要取等，看系数，e^x1ex1x11xkxx1kxlnx，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效'考虑消除常数项・1，故构造lnx?x1取等条件是x=1，此时取等的eX3ex，故【例5]（2019?衡水金卷）易知av0，不等式xa+1?exalnx?0对任意的实数X>1恒成立，则实数a的最小值是（）a•1c-1ein1a+ixx-alnX11lnxa112ex日?e^flnx侈0xex?aalna=exInaxIna对x>1恒成立，此时xxxx解：由题意得：A•(0,e])B•0,e2D・(1,e2)解・由题忌可知•ex>aln
ln(x-1)-1?exlnax-lna>x-1+ln(x-1)‘即构成同构式2ex^.|na>e+|门（）（X-1），只需x-Ina>ln（X-1）?xln（x-1）?2Ina，x2lnx=alna-alnx有3个实根‘则实数a的取值范围是・a0，如图，当x>1时，y=xInx>0，此时，仅存在xxaX1=Yo使X1InX1=alna，此时只存在两个实根'不合题意；当0vXV1时，则一定存在xi="或者乂门<1,o0）,若则实数a的取值范围为（矢于X的不等式f（X）>0恒成立，秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键X关于指对跨阶，由于「属于递增过快，若不是存在xeX?W或者C「化―之类x的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的Inx进行放缩，但在区间（0,1）内重点考虑切线放缩，通常放缩有：①Inx?x1;®lnx£x（取等条件X二e）;①Inx?x1蓿In1'-1SInx1-（取等条件X=1）;exxx11①Inx?1雍xlnxx~1；①Inx?x1蓿Inexex~1蓿Inxex-2（取等条件x=1';Lxe｛侈x?ex（取等条件x1）為2冬ex?ex2（取等条件x2）Qex?x21（x?0）（取等条件X=0）①7exex3（取等条件x=3）ex?ex（x-1Ax?0）（取等条件x二0以及xh,①和①根据找基友证明）(eT)x?kx,即k?e1.1)9]时，求函数f(x)在(0,+?)上的最小值；例10](2018?甘肃会宁)已知函数Zf(x)c,g(x)x(2019?重庆巴蜀月考)已知f(x)=c-alnx.a=0Inx12eOva$勒求函数解：(1)f(X)min=f(1)问题，所以根据X=ea=0时，f(X)仝®f"广X■：x2)思路：此题若放缩eXXxe^e,当，定会遇到很多先放Inx，由于此题无常数项，故不采用故试用Inx£x，则可得f(x)2等式'或者放缩成eX?6x242证明L：0即证'Y—Prt—Lx?(0,1)时‘f(X)‘当x?(h?)时，f(X)…故X放对再放指”的原理，由于f(X)>e2Inx?x1来增加常数项，由于，e的出现暴露了需要2>e「ex>o，此时只需证明ex>ex2，此时再利用x2e2X?也可以；2“指数找基友”不2eInx，2降次”，即可证明XX2x2eeeeeeeIny>0，当檢K娟冷怡创n故畝，在(2，+沙3x=2xx2eex-2ex2>0，只需证叭<2令h(x)=exx，ex2i口rr.C"44^1―>rr2，令g(x)=lnx-exXx2e2exf(x)的单调区间;(2)证明：x3f(x)g(x)解(1)参考例9；⑵思路1：第(1)问不会白给，故利用“分而治之”,此过程一定要有凹凸函数的反X2转，构造f(x_e二h(X)'利用f(x)fflin二e>h(x“二h,：e>e；min>1显然1X=»e思路2："放对后放指”,要证明x2ex>Inx+1,只需证明x2ex>x-1+1=x>Inx+1,故只需证明xe失败，失败区间在Q1),故思考取等区间在(0,1)上的切线放缩式子，构造Inex?ex1,取等条件为即Inx?ex2,只需证xV>ex-1,这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；22构造e>ln切线放缩，过原点切线e*3ex,°x3，nV',故e*?ex"x?覺乜恒成立.x3x3x达标训练1.(2018?广东期末)已知函数f(x)的定义域是R,其导函数是f(x),且f(x)・・・0,则满足不等式f(lnt)Int1f(1)的实数t的集合是()D・[e\e]A•[e,)B•[1,)C•(0,e]2-(2019?沈阳模)已知函数f(x)alnx2x，若不等式f(x1)ax2ex在x(0,)上恒成立，则实数a的取值范围是()A・a,2B•a-2C•a,0D・0ilja2mm的最3・(2019?全国①卷调研)设实数m0，若对任意的xe，若不等式x2lnx大值me*0恒成立，为()4•(2018?衡水中学C•2e)已知xo是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则矢于实数xo的判断正确的是A•Xo3In2(B-xo£1C•2xo+lnxo=0D•2ex0+lnxo5・(2019?长沙测试)若”3(尹+1)?2琪x>0，恒有’Inx，则实数a的最小值为(2018?南通期末)已知函数f(x)的定义域为(0,ee)，f(x)是函数f(x)的导函数，对任意的f(x)xgf(x)0恒成立，则关于实数t的不等式f(t2t2)t2gf(t1)的解集是(2018?芮城期末)已知函数f(x)aexInx1.⑴设x2是f(x)的极值点，求a的值并求g(x)f(x)Inxx2的单调区间；c2⑵若不等式f(x)-0在(0,)恒成立，求a的取值范围.(2018?浙江期末)已知函数f(x).°x(1)求函数f(x)的单调区间;⑵若a…22,求证：af(x)Inx・c2(2018?德阳模拟)已知函数f(x)emx1・⑴求函数f(x)的单调区间；(2)若曲线f(x)在点(0,0)处的切线垂直于直线yx2，求证：当x0时，f(x)2lnx32ln2・(2018?荆州一模)已知函数f(x)xlnx(m1)x,mR,f(x)为函数f(x)的导函数⑴若m1,求证：对任意x(0,),f(x)-0;(2)若f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围.b^X11处的切线方程为yex12.12.(2014?全国卷I)设函数fxa*In—,曲线yfx在点1,X1)求a,b；(2)证明：fx1.X(2018?新课标①)已知函数f(x)aexInx1.设x2是f(x)的极值点，求a,并求f(x)的单调区间；证明：当a…'时，f(x)-0.e
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