2021年北京市海淀高二下期中试题+答案

北京市海淀区高二年级第二学期期中质量检测模拟数学2021．4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为一卷（共100分）和二卷（共50分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．在等差数列{}an中，若a1=2，a2=4，则a4=（）A．6B．8C．16D．322．下列求导运算中错误的是（）xxlnxx1−lnA．(3)=3ln3B．=2xx11C．D．(sinxcosx)=cos2xx+=1+2xx3．已知m,,,npq为正整数，在等差数列an中，“m+np+q”是“am+anap+aq”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知是函数x=2就函数f(x)=x3−3ax+2的极小值点，那么函数fx()的极大值为（）A．-2B．6C．17D．18n+15．如果等比数列an的前n项和San=+2，则常数a=（）A．−1B．1C．−2D．21111116．用数学归纳法证明++++(nN*)时，由nk=到nk=+1时，不n+1n+2nn+3n+24等式左边应添加的项是（）1111111A．B．−C．+D．−21k+2kk++112kk++1222kk++122高二数学试卷第1页xlnx,x07．已知函数fx()=x，则函数y=f(x)的图象大致是（）,0xexA．B．C．D．8．数列an，bn用图象 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示如下，记数列abnn的前n项和为Sn，则（）．A．SS14，SS1011B．SS45，SS1013C．SS14，SS1011D．SS45，SS10139．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为27且用料最省，则水桶底面圆的半径为（）A．1B．3C．5D．7pq10．已知xn是递增数列，且xn0，则关于数列xn，对任意的正整数，，下列结论不可能成立的是（）A．xpq=+pxqqxpB．xp+q=+pxqqxpC．xpq=xp+xq−1D．xp+q=2xpxq二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′（1）＝________.12．已知3个等差数列{an}{，bn},{cn}，其中数列{}cn的前n项和记为Sn，已知an=bnSn，写出一组符合条件的{}an与{}bn的通项公式_____________________________________________________SS12SS3913．已知数列an的前n项和Sn，且满足aSnn+=1，则++++=___________.a1a2a3a9高二数学试卷第2页14．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题是________________115．已知数列{}a满足a=，kk2,N，a表示不超过a的最大整数（如1.61=，记n1knnbann=，数列bn的前n项和为Tn）.①若数列{}an是公差为1的等差数列，则T4=__________；②若数列{}an是公比为k+1的等比数列，则Tn=__________．四、解答题（每道题10分，共40分）16．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5＝5，S5＝15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设an＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．高二数学试卷第3页17．问题提出：新型冠状病毒是一种人传人，不易被人们直觉发现，危及人们生命的严重病毒．我们把与新型冠状病毒患者有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为pp(01)．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有k位密切关联者与之接触，其中被感染的人数为X(0Xk)．该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k位密切关联者接触并继续传染其他人．小明想通过数学建模分析从某一名患者携带新型冠状病毒的第1天开始算起，第n天新增患者数Enn(2)，同时他想研究戴口罩是否能够切实减少病毒传染.一、模型假设：1.潜伏期病毒未被发现，持续传播2.每位患者每天接触的人数均为k3.假设每位患者每天接触的密切关联者被感染人数为定值X=kp二、模型求解：①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，第2天被感染人数增至为：1+1kp=1+kp；第3天被感染人数增至为：____________________________________于是可以得出，第n天新增加人数En=_________________________，1小明根据自己的生活经验取k=10，p=2①E8的值为_______________________；2p②经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p满足关系式pp=ln(1+)−．当p取得31最大值时，计算p所对应的E和p=所对应的E值，然后根据计算结果 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 佩戴口罩的必要性.62612（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6，0.3，0.7，66=46650计算结果保留整数）33三、模型检验与 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 ：通过与新闻中的数据对比，小明计算出的被感染人数远高于实际的感染人数，你认为原因是什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________高二数学试卷第4页18．已知函数f(x)=ln(1+x)−mx．（1）m=1时，求fx()在x=0处的切线（2）求函数fx()的极值；2（3）若函数fx()在区间0,e−1上恰有两个零点，求m的取值范围．19．n为给定的大于2的正整数，集合Sn=1,2,,，已知数列An：x1，x2，…，xn满足条件：①当1in时，xSi；②当1ijn时，xxij.如果对于1ijn，有xxij，则称(xxij,)为数列An的一个逆序对.记数列An的所有逆序对的个数为TA(n).（1）若TA(4)=1，写出所有可能的数列A4；（2）若TA(n)=2，求数列An的个数；（3）对于满足条件的一切数列An，求所有TA(n)的算术平均值.高二数学试卷第5页二卷（共50分）一、选择题（共三道小题，每题6分，18分）20．若函数fx()的导函数的图像关于y轴对称，则fx()的解析式可能为（）A．f(x)=3cosxB．f(x)=x32+x+1C．f(x)=sin2xD．f(x)=+exx21．若exa−+lnxa对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）1A．−,B．(−,1C．(−,2D．(−,ee22．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立x适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f(x)=acosh，其中a为悬链线系数，coshx称aeexx+−为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为2eexx−−sinhx=.若直线xm=与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别相交于点A，B，曲线C1在点2A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于点P，则（）A．y=sinhxcoshx是偶函数B．cosh(x+y)=coshxcoshy−sinhxsinhyC．BP随m的增大而减小D．△PAB的面积随m的增大而减小高二数学试卷第6页二、填空题（共三道小题，每题6分，18分）23．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31V(t)=−H10t（H为常数），其图像如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为1033v(m/h).那么t1,,,t2t3t4中，瞬时融化速度等于v(m/h)的时刻是图中的__________.24．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=f(x)满足如下条件：（1）在闭区间ab,上是连续不断的；（2）在区间(ab,)上都有导数．则在区间(ab,)上至少存在一个数，使得f(b)−f(a)=f()(b−a)，其中称为拉格朗日中值．则g(x)=ex在区间0,1上的拉格朗日中值=________．高二数学试卷第7页2y25．如图，已知抛物线yx=及两点Ay11(0,)和Ay22(0,)，其中yy120.过A1、A2分别作轴y的垂线，交抛物线于B1、B2两点，直线BB12与轴交于点Ay33(0,)，此时就称A1、A2确定了A3.依此类推，可由A2、A3确定A4、.记Aynn(0,)，n=1、2、3、.给出下列三个结论：2①数列y是递减数列；②对任意nN*，y0；③若y=4，y=3，则y=.nn1253其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题（共14分）126．已知函数f(x)=lnx+ax2−(a+1)x,(aR)．2（1）当a=1时，判断函数y=f()x的单调性；1（2）若关于x的方程f()x=ax2有两个不同实根xx,，求实数a的取值范围，并证明2122x12xe．高二数学试卷第8页参考答案1．B2．C3．D4．D函数f(x)=x3−3ax+2的导数f(x)=33x2−a，由题意得，f=(20)，即12−=3a0，a=4．f(x)=x3−12x+2，f(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)，令fx()0，得x2或x−2；fx′()0，得−22x，所以当时x=−2取极大值，即f(x)极大值=f(−2)=−8+24+2=18．5．C6．D111111当n＝k时，有不等式++++，k+1k+2k+3k+k24111111当n＝k+1时，不等式为++++，k+2k+32k+12k+224将上面两式的左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是11111+−=−.2k+12k+2k+12k+12k+27．A8．B由题意，数列an，bn用图象可知，当n4时，an0；当n5时，an0，所以n4时，abnn0，所以SS14，可排除A项；由ab550，所以SS45，可排除D项；由ab11110，所以SS1011，可排除C项；当11n13时，abnn0，所以SS1013，可得B项正确.高二数学试卷第9页9．B解：设高为h，底面半径为r，则r2h=27，即rh2=27，2754所用材料的面积是S=2rh+r2=2+r2=(+r2)，rr5454则Sr=−22，令S=0，得2r=，解得：r=3，rr2且r3时，S0，03r时，S0，即S在03，上单调递减，在(3，+)上单调递增，故当r=3时S取得极小值，也是最小值,故当水桶底面半径为3时，用料最省．10．Bxxx对于选项A，x=px+qxpq=q+p，取x=nlnn，则易知数列x满足条件，故选项pqqppqqpnnA可能成立．对于选项B，xp+q=+pxqqxp，令pq==1，则xx21=2；令p=2，q=1，得x3=24x1+x2=x1；令pq==2，得x4==48x2x1；令p=3，q=1，得x4=37x1+x3=x1．所以87xx11=，即x1=0，所以xn=0与xn是递增数列矛盾，故选项B不可能成立．对于选项C，由xpq=xp+xq−1得xpq−1=xp−1+xq−1，取xnn=+ln1，则易知数列xn满足条件，故选项C可能成立．en对于选项D，由xp+q=2xpxq，得2xp+q=2xp2xq，取x=，则易知数列xn满足条件，故选n2项D可能成立．311．2高二数学试卷第10页12．答案不唯一，例如ann=+n，b=pnq均可13．1013由数列an的前n项和Sn，且满足aSnn+=1，当n2时，aSnn−−11+=1，an1两式相减，可得an−an−1+(Sn−Sn−1)=20an−an−1=，即=(n2)，an−121令n=1，可得a+S=21a=，解得a=，11112n111所以数列a表示首项为，公比为的等比数列，所以，nan=222nn1111−1−nS221n2n则，所以=n=21−，Sn==1−a12n11−22SSSS29所以12++++=+++39(222)−+++(111)a1a2a3a92(1−29)=−9=210−11=1013.12−故答案为：1013.14．①③解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，而x0时，yx=30，x0时，yx=30，∴直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，①正确；1由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，x1且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，x当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，高二数学试卷第11页则lnx≤x﹣1，②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；y＝sinx的导数为y′＝cosx，可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，由y＝sinx和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx，故③正确；y＝ex的导数为y′＝ex，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，令y=ex−x−1，则ye=−x1，x0时，y0，x0时，y0，即y=ex−x−1在(−,0)x上递减，在(0,+)上递增，∴x=0时，ymin=0，即y=e−x−10，直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex不正确.k+11n−kn−15．6()k211①若数列a是公差为1的等差数列，且a=，k2，kN*，则a=+n−1(n−1,n)，n1knk所以bnn=[a]=n−1，则T4=0+1+2+3=6；故填6.1②若数列a是公比为k+1的等比数列，且a=，k2，kN*，则n1k111bk=(1+)n−1−T=[(1+k)n−nk−1]nkknk2n+116．(1)ann=；（2）Tn=−22.a51=a+45d=a1=1解:(1)设等差数列的公差为d，则54，解之得，S51=5a+d=15d=12所以数列{an}的通项公式为an=1+1(n−1)=n；……………………5分b2n+1ann1n+1（2）an=log2bn=n,bn=2=2，由此可得b1=2=2.=n=2，数列{bn}的是首项为bn22(1−2n)2,公比为2的等比数列.因此，可得{bn}前n项和T==22n+1−.……………………10分n12−高二数学试卷第12页17．①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，第2天被感染人数增至为：1+1kp=1+kp；2第3天被感染人数增至为：(1+kp)+(1+kp)kp=(1+kp)，…，n−2n−1显然第n−1天被感染人数增至为：(1+kp)，第n天被感染人数增至为：(1+kp)，n−−12n于是根据题意中均值定义，第n天新增加人数的数学期望En=(11+kp)−(+kp)，6n−211即，于是6．……………………4分En=+kp(1kp)E8=101+10==56233280222121−2p②根据题意函数p=f(p)=ln(1+p)−p，求导得：fp()=−=，31++pp33(1)11当且仅当p0,时，fp()0，此时p=f(p)单调递增；当p,1时，fp()0，2211即p=f(p)单调递减，于是p=f(p)p=ln3−ln2−0.1．max231此时p=，p=0.1，262−11于是4（人），E6=101+10=56=6480226−2114（人）．E6=101+10=2=161010经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，即E远大于，于是戴口罩是非常必要的．……………………………………8分6E6原因：实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低；实际密切接触的人数可能较少等等。……………………………………………………………………10分高二数学试卷第13页18．(1)y=0……………………………………………………………………2分（2）f(x)=ln(1+x)−mx的定义域为(−1,+)，1f(x)=−m(x−1)，……………………………………3分1+x1当m0时，f(x)=−m0恒成立，…………………………4分1+x此时fx()在(−1,+)单调递增，无极大值和极小值，…………………………5分111当m0时，−11−，由f(x)=−m0可得：−11x−，m1+xm11由f(x)=−m0可得x−1，1+xm11此时fx()在−−1,1单调递增，在−1,+单调递减，mm111所以fx()的极大值为f−1=ln1+−1−m−1=m−1−lnm，无极小值.………………6分mmm2（3）由（2）可知，当m0时，fx()在(−1,+)单调递增，所以fx()在0,e−1单调递增，不可能有两个零点，1当m0时，fx()的极大值为f−1=m−1−lnm，m因为f(0)=0，所以x=0是fx()的一个零点，fe(2−10)2若函数fx()在区间0,e−1上恰有两个零点，则1，………………8分0−1e2−1m2−me(2−1)02即，可得：m1，12m1e−1e22所以m的取值范围为m1.……………………10分e2−1高二数学试卷第14页19．（1）因为TA(4)=1，故x1,,,x2x3x4只有一个逆序对，则不同的A4分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.……………………………………3分（2）因为TA(4)=2，故数列An：x1，x2，…，xn有两种情况：①2对逆序数由连续3个元素提供，即例如123可以变成312和231，共2(n−2)种②2对逆序数由两对2个元素提供，即第一对取12，第二对取34,45,56……共n−3种第一对取23，第二对去45,56,67……共n−2种(nn−−3)(2)以此类推，共种2(nn+1)(−2)综上，共有种……………………………………………………6分2（3）对任意的An：x1，x2，…，xn，其逆序对的个数为TA(n)，xx我们引进一个定义：1ijn，有ij，则称(xxij,)为数列An的一个顺序对，nn(−1)则An中的顺序对个数为−TA().2n考虑An：x1，x2，…，xn与Bn：xn，xn−1，…，x1，An中的逆序对的个数为Bn中顺序对的个数，An中顺序对的个数为Bn中逆序对个数，把所有的An按如上形式两两分类，则可得所有的An中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们nn(−1)nn(−1)的和为n!，故逆序对的个数为n!，24nn(−1)所以所有TA(n)的算术平均值为.……………………………………10分4高二数学试卷第15页20．C21．B设f(x)=exa−−lnx−a,(x0)，则f(x)=exa−−lnx−a0恒成立，111由f(x)=−exa−，令h(x)=exa−−，则h(x)=exa−+0恒成立，xxx2xa−1xa−1所以h(x)=e−,0(x)为增函数，令e−=0得x=x0,0(x)，xx当0xx0时，hx()0，当xx0时，hx()0；所以fx()在(0,x0)递减，在(x0,+)递增，故fx()在xx=0处取得最小值，1xa0−xa0−故最小值f(x00)=e−lnx−a0，因为e=，则x00−a=−lnxx0111所以+x0−a−a0恒成立，得2ax+0，又因为2+x0（当且仅当x0=1时等号成x0x0x0立）；所以2a≤2即a1.22．D对于选项A：定义域为R，ee22xx−−ee−22xx−y=f(x)=sinhxcoshx=，而f(−x)==−f(x)，所以fx()是奇函数，所42以A错误；ex+e−xey+e−yex−e−xey−e−y对于选项B：coshxcoshy−sinhxsinhy=−2222exy+−−−+exy+exy+eyx−exy+−−−+exy−exy−eyx−exy−+eyx−=−==cosh(xy−)，所以B错误；442eemm+−eemm−−对于选项C、D：设Am,，Bm,，22ex−+e−−xexex(coshxx)==,(sinh)，22高二数学试卷第16页em+−e−−memem则曲线C1在点A处的切线方程为：y−=(x−m)，22em−+e−−memem曲线C2在点B处的切线方程为：y−=(x−m)，222mm−2eemm+−m2mee−()联立求得点P的坐标为(me+1,)，则BP=11+e−=+，2411S==ABe−m，所以BP随m的增大而先减小后增大，△PAB的面积随m的增大而减△PAB22小，所以C错误，D正确.23．t324．ln(e−1)g(x)=ex，则g(x)=ex，所以ge()=，gg(10)−()由拉格朗日中值的定义可知，ge()==−1，10−即ee=−1，所以=−ln(e1)．25．①②③.22由题意知，Bn−1(yn−1,yn−1)，Bn−2(yn−2,yn−2)，yynn−−12−1直线BBnn−−12的斜率为22=，yn−1−+yn−2yn−1yn−212则直线BBnn−−12的方程为y−ynn−−11=(x−y)，yynn−−12+2−yn−1yynn−−12yynn−−12令x=0，则yy−=n−1，=y，即yn=，yynn−−12+yynn−−12+yynn−−12+yynn−−12111在等式yn=两边取倒数得=+.yynn−−12+ynyn−−12yny10，y20，由此可得出y30，y40，，命题②正确；高二数学试卷第17页11111−=0，则，由②知，对任意的nN，yn0，ynyn−−12ynyynn−1yynn−1，即数列yn是单调递减数列，命题①正确；12122若y=4，y=3，则y=，y=，y=，命题③正确.12374113326．1（1）a=1时，f(x)=lnx+x2−2x(x0)，21xx2−+21故f(x)=+x−2=0，xx2fx()在(0,+)上单调递增．……………………………………………………4分（2）由题意可知lnx=+(a1)x有两解，设直线y=kx与yx=ln相切，切点坐标为(xy00,)，y00=kx1则yx00=ln，解得x=e,y=1,k=，00e1k=x01101a+，即−11a−．ee1∴实数a的取值范围是−−1,1．………………………………………………6分e不妨设xx210，则lnx1=(a+1)x1,lnx2=(a+1)x2，两式相加得：ln(x1x2)=(a+1)(x1+x2)，x2两式相减得：ln=(a+1)(x21−x)，x1ln(xx)xx+=1212x+xxx，故lnxx=12ln2，2xx21−(12)lnx2−x1x1x1高二数学试卷第18页x+xx212ln22要证x12xe，只需证，……………………………………8分x2−x1x1x212−x2(xx−)x即证ln2=211，……………………………………10分xx+xx1121+2x1x2(t−1)令t=21，故只需证lnt在(1,+)恒成立即可．x11+t2(t−1)令g(t)=lnt−(t1)，1+t14(t−1)2则gt()=−=0，…………………………………………12分t(t++1)22t(t1)∴gx()在(1,+)上单调递增，g(t)g(1)=0，2(t−1)即lnt在(1,+)恒成立．1+t2x12xe．…………………………………………………………………………14分高二数学试卷第19页