方法精讲-数量4程梓（笔记）（2021省考笔试大班-江苏1期）

方法精讲-数量4（笔记）主讲教师：程梓授课时间：2020.03.26粉笔公考·官方微信方法精讲-数量4（笔记）学习任务：1.课程内容：经济利润问题、溶液问题、容斥问题。2.授课时长：3小时。3.对应讲义：187页～192页。4.重点内容：（1）掌握与进价、利润、折扣相关的公式，能准确地计算分段计费问题。（2）掌握溶液问题的基本公式，以及混合溶液中线段法的应用。（3）掌握容斥问题的基本公式，以及画图法。【注意】方法精讲-数量4：1.经济利润：考的比较多。2.溶液问题。3.容斥问题。第六节经济利润问题【注意】经济利润常考类型：1.基础经济——最关键。围绕收入、成本、利润、利润率等等展开的，是最常考的题型。2.分段计费——找到“点”。如坐出租车，起步价多少钱，超过多少公里后收费 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 不同。3.函数最值——学套路。【 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 】经济利润问题：1.基础公式：（1）利润=售价-成本。如臭豆腐一碗10元，成本是5元，每碗赚10-5=5元。公式也可转化为：售价=利润+成本；成本=售价-利润。（2）利润率（百分数）=利润/成本。可以理解为利润占成本的比例是多少。1学会计的同学会想到成本利润率和收入利润率，数量关系中只需考虑最简单的即可，不用考虑复杂的情况。若已知成本和利润率，利润=成本*利润率。（3）售价=成本*（1+利润率）。有时候让我们求售价，但是没给出利润，而是给出利润率和成本，售价=成本+利润=成本+成本*利润率=成本*（1+利润率）。（4）折扣=折后价/折前价。如口红原价是100元，现在只要80元，打了80/100=8折；或是原价300元，现在打7折，问现在口红的价钱，300*0.7=210元。（5）总价=单价*数量。买很多支口红，若每支口红210元，问5支口红共花费多少钱？用每支的价钱*数量就是总花费，如210*5。对于卖家还要算利润，总利润=单个利润*数量=总收入-总成本。若一支口红赚200元，则总利润=200*5=1000，也可以用收入-成本去算，如210*5-10*5。（6）很多时候，成本可以用进价 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，售价也常用收入表示。2.解题方法选择：（1）给具体价格（如给出xx多少元），求具体价格（成本、利润、售价）——方程法。核心方法：结合基本公式、找等量关系列方程。（2）已知比例（如成本上涨10%，收入下降20%，若赋值原来的成本是100，则现在的成本是100*（1+10%）=110），求比例（利润率、折扣）——赋值法。3.注意：（1）主体多——列表法。经常涉及成本、利润、售价、利润率等等，还会提到今年如何、去年如何，时间上维度多，因此可以横向写主体，纵向写时间，写出后再求解，会很清晰。（2）“无从下手”——从“成本”分析。（3）盈余（净利润）=赚的-亏的。多次买卖，先买东西，赚了多少；又买了东西，亏了多少，问一共赚了多少。【例1】（2020浙江选调）王先生花30000元买入A、B两只股票若干，两个交易日后，A股票上涨8%，B股票下跌3%。王先生将股票卖出，共盈利1300元，那么王先生在买入A、B两只股票时的投资比例为：A.5：4B.4：32C.3：2D.2：1【解析】例1.“盈利”就是赚钱了，指的是利润。想求利润，已知具体价格，不能赋值，因此找等量关系列式求解。“共盈利1300元”，即总利润=1300。本题中给出了“A股票上涨8%，B股票下跌3%”，上涨的赚钱，下跌的亏损，有赚有亏。总盈利=赚的钱-亏的钱，涨了8%，这个8%的比例都是利润，也就是说它是利润率，要求赚了多少钱，需要考虑成本是多少。也可以假设买了100块的股票，上涨了8%，也就是变成100*（1+8%）=108元，赚了108-100=8元。利润=成本*利润率。A（成本）*8%-B（成本）*3%=1300。可以设未知数列方程求解，只有A、B两个数，选项也是两个数，选项信息充分，可以代入，题干没有最多、最少，因此代入好算的。D项：2：1最好算，即20000（A股票的成本）*8%-10000（B股票的成本）*3%=1600-300=1300元，当选。【选D】【注意】1.要养成代入排除的思想。2.A项：5：4，A是5份，B是4份，总数是5+4=9份，30000/9除不尽，因此最好算的是D项。【例2】（2019深圳）某公司每月成本比上月增加10万元，收入比上月增加20%。已知该公司今年1月份亏损10万元，2月份亏损8万元，则该公司在今年几月份可以第一次实现盈利？A.3B.4C.5D.6【解析】例2.“亏损”，相当于利润为负，即1月的利润是-10万元，2月的利润就是-8万元。实现盈利，就是赚钱。题干中有具体单位，考虑找等量关系，列式求解。题目中涉及到成本、收入、利润，即成本+利润=收入。时间上有1月和2月，主体多，可以列表。已知1月的利润=-10，2月的利润=-8，成本未知，设1月的成本为x，则1月的收入=x-10；2月的成本=x+10，收入=x+2。“收入比上月增加20%。”1月的收入*（1+20%）=2月的收入，（x-10）*（1+20%）=x+2→（x-10）*1.2=14→0.2x=14，解得x=70，成本是70。因此1月的成本是70，3收入是60；2月的成本是80，收入是72。“盈利”，就是收入＞成本，3月：成本=80+10=90，收入=72*1.2，比较时不用死算，两边都除以72，90/72=10/8=1.25＞1.2，不符合题意，排除；4月：成本=90+10=100，收入=72*1.2*1.2=72*1.44=72*1+72*0.44=72+28+＞100，可以实现盈利。【选B】【注意】如果考试时题干长，主体多，可以适当放弃。【例3】（2019青海法检）某品牌月饼进价比上月提高了4%，某商场仍按上月售价销售该品牌月饼，利润率比上月下降了5个百分点，那么该商场上月销售该品牌月饼的利润率是多少？A.20%B.25%C.30%D.32%【解析】例3.进价就是成本，成本提高4%，又给出利润率下降了多少，没有给具体单位，给出的是比例，求的也是比例，用赋值法。题目涉及到成本、售4价、利润率，时间上有上月和本月，列表分析。根据比例赋值，进价（成本）比上月提高4%，赋值上月的成本为100，则本月的成本=100*（1+4%）=104；此时利润率和售价无法再赋值，可以设未知数，求的是上月的利润率，可以将上月的利润率设为x%，则本月的利润率=（x-5）%。已知成本和利润率，求售价。售价=成本*（1+利润率），则上月的收入=100*（1+x%）；本月的收入=104*（1+x%-5%），思路与上题一致，还需要找等量关系。“某商场仍按上月售价销售该品牌月饼”，说明售价不变，100*（1+x%）=104*（1+x%-5%）→100+x=104+1.04x-5.2→0.04x=1.2，解得x=30，对应C项。【选C】【注意】1.若是设售价为未知数，用利润率列式，会出现分式，因此一般建议赋值成本。2.确定方法：题目中有“元、单位”，就设未知数、列方程；若给出的是比例，求的也是比例，就用赋值法。3.有多种情况，主体也比较多，就列表。4.出题时往往是通过出现变化，如原来如何，现在如何，将它们联系在一起来出题。【知识点】分段计费：1.题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同。问：在不同收费标准下，一共需要的费用？2.计算方法：（1）按标准，分开。找到“分段点”。（2）计算后，汇总。53.补例：某地出租车收费标准为：3公里内8元，超出3公里，每公里2元，小龙坐车行驶10公里，共花费多少钱？答：出租车每段收费不同，是分段计费问题。3公里内即0～3公里，只需给8元，超过3公里的，每公里2元（单价），共打了10公里。共花费8+（10-3）*2=8+14=22元。【例4】（2019北京）王先生购买的医疗保险报销 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 为：当年花费1300元（含）以内的部分全部自付，超出1300元部分自付10%，其余部分由保险支付。王先生在2018年第一次到医院看病时，自己支付了960元，第二次看病自付了520元，则王先生第二次看病时医院共收费：A.1800元B.1960元C.2140元D.2600元【解析】例4.医疗保险是分段计费的。0～1300部分，全部自费；超过1300的部分自付10%，其余由保险公司支付。首先本题要注意的是“第一次”和“第二次”，最后还出现关系，保险的规定是当年的情况下，即累计计算。第一次付了960元，960＜1300，因此是自己支付了960元。第二次付了520元，要看累计是否超过1300的标准。1300-960=340元，相当于自己全付了340元，之后又付了520-340=180元，这180元就是自己只支付10%的；则原价应该是180/10%=1800元，问“王先生第二次看病时医院共收费”，包含全付的340元和后面的1800元，共收费340+1800=2140元。【选C】6【知识点】函数最值：1.题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？如单价下降2元，就多卖5件；或是单价上涨2元，就少卖5件，问什么时候总价/总利润最高。2.例：单价为3000元，可卖出16万件。若单价每提升300元，销量会降低1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？答：出现价格上涨，销量降低，问总价最高，是函数最值问题。列式：销售额（售价）=单价*数量，假设售价为y，单价有变化，不知道是怎么变化的，只知道是按次提升，每次提升300元，因此设调价的次数为x，提升了x次，价格就是3000+300x；价格调了多少次，销量就降了多少次，销量变为16-x。y=（3000+300x）*（16-x）。若是将括号打开，会出现x²，变成一元二次方程，对应抛物线图像。y要最大，应该在顶点位置，可以通过求导、韦达定理、配方来计算，也可以用两点式。两点式：当y取最值时，会有一个x值，x的值是x1和x2的平均值，因此我们只需求出x1和x2即可。x1和x2是y=0时的取值，则令3000+300x=0，16-x=0。解得x1=-10，x2=16。x=（x1+x2）/2=3。当x=3时，取得最值。求“单价定为多少元时，销售总额最高”，3000+300*3=3900元。73.计算方法（两点式）：x都是调价的次数。（1）看条件列式子：两括号相乘。（2）求出使算式等于0的两个x的值。（3）计算两个x的平均值x=（x1+x2）/2，进而得到问题所求。【例5】（2019深圳）某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获利8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，则日产量减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是多少元？A.620B.630C.640D.650【解析】例5.提高档次的结果就是利润增加，利润增加2元，产量就减少5件，利润和产量此消彼长，问最大利润，为函数最值问题。设总利润为y，调价次数为x，总利润y=单个利润*数量，调价x次，价格就变为8+2x；原来的数量是60件，减少x次，产量变为60-5x，则y=（8+2x）*（60-5x），令y=0，即8+2x=0，60-5x=0，解得x1=-4，x2=12，x=（x1+x2）/2=（-4+12）/2=4，取得最值，此时最大利润y=（8+2*4）*（60-5*4）=16*40=640，对应C项。【选C】【注意】若是问卖多少件时，取得最大利润，则用60-5*4来计算，若是求利润则用8+2*4计算。【例6】（2018联考）某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。问在最佳定价8的情况下，该公司最大收入是多少万元？A.60B.80C.90D.100【解析】例6.单价和销量此消彼长，求的是最大收入，为函数最值问题，总收入=单个收入*数量，设总收入为y，调价次数为x，每次调价0.4元，单个收入变为4+0.4x，数量就变为（20-x）万，则y=（4+0.4x）*（20万-x万），令括号分别=0，x1=-10，x2=20，则x=（-10+20）/2=5，当x=5时，有最值，求的是最大收入y，y=（4+0.4*5）*（20-5）万=6*15万=90万。【选C】【注意】函数最值问题最主要的是识别，出现此消彼长，最后问最大，即可判定为函数最值问题。【注意】经济利润问题：1.基础经济：（1）公式：①利润=售价-进价。②利润率=利润/进价。已知成本、利润率，售价=成本*（1+利润率）。③折扣=折后价/折前价。若原价100元，打了8折，现价=100*0.8=80。④总价=单价*个数。总利润=单个利润*个数；单个利润=总收入-总成本。（2）方法：方程法（给具体单位元）、赋值法（给比例求比例）。92.分段计费（套路题）：（1）水电费、出租车费、税费等。（2）分段计费、（按点分段）汇总求和。3.函数最值（套路题）：（1）识别：单价和数量此消彼长，求最大利润或收入。一般设x为调价的次数。（2）方法：根据条件列函数，写成y=（）*（）的形式，分别令两个括号等于0，求出x1、x2，再根据x=（x1+x2）/2，求出极值点代入计算。第七节溶液问题【知识点】溶液问题：江苏必考题，大家可能觉得很复杂，其实并没有。常考的是溶液混合和溶液不变。1.溶液混合（常考）：几种不同浓度的溶液混在一起，得到一种新的浓度的溶液。（1）基本公式：①溶液=溶质+溶剂：公式不常用，但要理解。假设一杯盐水，盐水就是溶液，溶质就是盐，溶剂就是水，考试时往往就考盐水、酒精等等，它们的溶剂都是水。若盐有10g，水有90g，溶液就是10+90=100g。②浓度=溶质/溶液：考查溶质占溶液的比例，如10g/100g=10%。③溶质=溶液*浓度：若盐水是100g，浓度是10%，溶质=100g*10%=10g。（2）最常用的公式是浓度=溶质/溶液，所有溶液问题都能通过它来解决。2.溶液不变：倒一部分出来后，再加满。【例1】（2019河北）将300克浓度95%的酒精与若干浓度60%的酒精，混合成浓度75%的酒精，需要浓度60%的酒精多少克？A.225B.240C.380D.400【解析】例1.溶液混合。方法一：公式：浓度=溶质/溶液，最后的结果是得到浓度为75%的酒精。设1060%的酒精有xg，则75%=（300*95%+60%*x）/（300+x），没有思维量，直接根据公式列式即可，两边都有百分号，直接约掉，再移项，75*300+75x=300*95+60x→15x=20*300，解得x=400，选D项。方法二：线段法：混合之前写两边，将60%和95%写两边，混合之后是75%写在中间，距离之比=（75%-60%）：（95%-75%）=15%：20%=3：4，距离与量成反比，则量之比为4：3。95%对应3份，为300g，则60%的对应的4份为400g。【选D】【知识点】线段法：两个溶液用线段法，比较好用；三个溶液混合就不快了，需要两个两个多次混合。1.补例：20%的盐水溶液与30%的盐水溶液混合，得到500g浓度为26%的盐水。则20%的盐水溶液质量为多少？答：溶液混合问题，假设20%的盐水有mg，30%的盐水有ng，则有20%*m+30%*n=26%*（m+n）→（30%-26%）*n=（26%-20%）*m→m/n=（30%-26%）/（26%-20%）=4/6=2/3。画一条线段，几个溶液混合，混合后的溶液应该是在这些溶液浓度之间，则混合后的26%写在线段中间，混合之前的浓度20%和30%写两边，30%-26%=4%是右边线段的差值，26%-20%=6%是左边线段的差值，线段差值为6/4=3/2，而m/n=2/3，说明量之比是线段差值的反比。112.线段法：（1）画线段：混合之前写两边，混合之后写中间。（3）算比例：距离和量成反比，根据份数化简算（距离就是线段差）。3.十字交叉与线段法原理一致，线段法将十字写成了直线，更加直观。4.线段法在补充课程包的学霸养成课中，会有老师进行详细地讲解。【知识点】溶液“等量”混合：如果A%与B%两种溶液按照1：1的比例混合，则混合之后的浓度为：（A+B）%/2。如你是100g，我也是100g，量之比是1：1，距离之比是反比，则距离比也是1：1，差值相同，即为平均值。【拓展】（2019吉林）将浓度分别为4%和8%的酒精溶液各100毫升混合在一个容器里，要想使混合后酒精溶液的浓度达到5%，需要加水：A.40毫升B.50毫升C.60毫升D.70毫升【解析】拓展.本题为等量混合，则混合后浓度为（4%+8%）/2=6%，混合后溶液为100+100=200ml。接下来可以用线段法做，水的浓度是0，将浓度为6%的溶液，混成浓度为5%的溶液，线段上的差是5：1，量之比就是1：5，6%的有5份对应200ml，1份就是40ml。【选A】12【注意】等量混合：混合后的浓度等于混合前溶液浓度的平均值。【例2】（2020浙江选调）实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为15%的盐酸600毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为：A.16.5%B.18.6%C.20%D.21.25%【解析】例2.原来有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，所以原来一共1000毫升，配成600毫升的盐酸之后，还剩下1000-600=400毫升。浓度=溶质/溶液=（原来的溶质-倒出去的溶质）/剩下的溶液=（500*10%+500*25%-600*15%）/400=（50+125-90）/400=85/400=（85/4）%=21.25%，对应D项。【选D】【例3】（2018吉林）王老师将天然蜂蜜和矿泉水混合成蜂蜜水，现有一瓶浓度为10%的蜂蜜水100克，如果需要将蜂蜜水的浓度提高10%，需加入天然蜂蜜a克和矿泉水2a克，那么后加入的蜂蜜是原来的：A.2倍B.1.5倍C.1倍D.2.5倍【解析】例3.“浓度提高10%”即浓度变为20%。问后加入的蜂蜜是原来的几倍，算出a的数值即可求解。浓度=溶质/溶液，溶液包含溶质和溶剂，所以既要算上a克蜂蜜，还要算上2a克水，故20%=（100*10%+a）/（100+a+2a）=（10+a）/（100+3a），解得a=25，所求倍数=25/10=2.5倍，对应D项。【选D】【例4】（2018联考）现有一种浓度为15%的盐水30千克，如果用50千克13浓度更高的盐水和它混合，混合后的盐水浓度将大于20%，而小于35%。据此可知，后加入的盐水的浓度（假设浓度为x）范围是：A.23%＜x＜47%B.15%＜x＜35%C.15%＜x＜23%D.23%＜x＜50%【解析】例4.本题看着很难，给了范围，没有给具体值，但题目已知20%＜混合后的浓度＜35%，注意不需要算出20%和35%对应的后加入的盐水的浓度，看选项，低的浓度有重复，但高的浓度没有重复，所以只需要算出35%对应的后加入的盐水的浓度即可。浓度=溶质/溶液→35%=（30*15%+50*x%）/（30+50），设为x%是因为可以直接把百分号约掉，方便计算，化简为35*80=30*15+50x，解得x%=47%，对应A项。【选A】【知识点】溶液不变：1.引例：一瓶浓度为20%的盐水溶液，倒出去四分之一之后，再用水加满。此时的浓度为？答：叫溶液不变是因为一开始是一整瓶，倒出去又加满，还是一整瓶。设原来的溶液为100克，浓度为20%，说明原来的溶质为20克。溶液倒出1/4，此时溶液还剩100*（1-1/4）；溶质也跟着倒出了1/4，此时溶质还剩20*（1-1/4）。由于后来又用水加满了，所以溶液还是为100克。原来：20/100→现在：[20*（1-1/4）]/100=[20*（3/4）]/100=15/100。以后遇到这种题直接列式为20%*（1-1/4）即可。2.结论：一瓶浓度为a%的盐水溶液，倒出去b%之后，再用水加满，则剩余浓度=a%*（1-b%）。有些题目不止倒一次，如果又倒出去c%之后，再用水加满，则剩余浓度=a%*（1-b%）*（1-c%）。3.引例变换：一瓶浓度为20%的盐水溶液，倒出去四分之一之后，再用水加满。然后又倒出去二分之一之后，再用水加满，此时的浓度为？答：倒出去四分之一之后，再用水加满，则浓度变为20%*（1-1/4）=15%。此后相当于“一瓶浓度为15%的盐水溶液，倒出去二分之一之后，再用水加满”，则浓度又变为15%*（1-1/2）=7.5%。可以直接列式为：20%*（1-1/4）*（1-1/2）。14【例5】（2018江西法检）从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出1/3，加满纯净水，再倒出1/3，又加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？A.5.8%B.23.1%C.17.3%D.31.5%【解析】例5.本题不够严谨，因为没有说明一开始是不是一满瓶，做题的时候直接看成一开始也是一满瓶即可，否则无法求解。运用溶液不变的公式列式：52%*（1-1/3）*（1-1/3）=52%*2/3*2/3=208%/9，首位商2，对应B项。【选B】【注意】溶液不变识别题型：一满瓶倒出去再加满水；再倒出去再加满水。【拓展】（2019上海）一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀；第二次喝了1/3碗，用水加满搅匀；第三次喝了1/6碗，用水加满搅匀；最后一次全喝完。则最后一次喝下的芝麻糊中芝麻粉含量是：A.1/6B.5/6C.1/18D.5/18【解析】拓展.喝了相当于是倒入了肚子里，所以还是属于溶液不变型。所求=1*（1-1/2）（1-1/3）（1-1/6）=（1/2）*（2/3）*（5/6）=5/18，对应D项。【选D】【注意】溶液问题：1.基础公式：（1）浓度=溶质质量/溶液质量。（2）溶质质量=溶液质量*浓度。15（3）溶液质量=溶质质量/浓度。2.溶液混合：（1）识别：已知两种或多种不同浓度溶液混合，求混合浓度。（2）解题思路：用老师讲的公式法（浓度=溶质/溶液）更快。①方程法：抓住混合过程中溶质质量不变，列式求解。②线段法：浓度差与溶液质量成反比。3.溶液不变：（1）识别：倒出去又加满。（2）方法：根据剩余比例计算。剩余浓度=a%*（1-b%）*（1-c%）*（1-d%）。第八节容斥问题【知识点】容斥问题：1.容斥原理本质：去重补漏——不重复，不遗漏。2.考查类型：根据主体数量不一样，分为以下两种类型。（1）两集合容斥原理。（2）三集合容斥原理。3.解题方法：（1）公式法。（2）画图法。适用于所有题，但是考试的时间有限，能用公式法尽量用公式法去求解。【知识点】两集合容斥原理：1.识别：两个主体，有交叉。2.公式：A+B-AB=总数-都不。3.引例：班上行测好的同学有200人，申论好的同学有100人，两科都好的有50人，两科都不好的有1人，问全班有多少人？答：如图所示，假设左边蓝色圆圈A为行测好的同学，右边绿色圆圈B为申论好的同学，中间交叉部分（两科都好）在行测好和申论好的时候都算了一次，一个人不能算两次，有重复，所以要减去一次，200+100-50=总数-1，则总数=251。16【例1】（2017广东）某单位有107名职工为灾区捐献了物资，其中78人捐献衣物，77人捐献食品。该单位既捐献衣物，又捐献食品的职工有多少人？A.48B.50C.52D.54【解析】例1.出现“既……又……”，有交叉、有重复，且仅有两个主体（捐献衣物、捐献食品），为两集合容斥问题，对应公式：A+B-AB=总数-都不，设既捐献衣物，又捐献食品的职工有x人，已知“有107名职工为灾区捐献了物资”，说明没有“都不”，代入数据：78+77-x=107-0，选项尾数各不相同，计算的时候可以用尾数法，尾数5-x的尾数=尾数7，则x的尾数=8，对应A项。【选A】【知识点】容斥原理的方法选择：1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。2.画图法：（1）题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足某一个条件）。注意“只A”和“A”不一样，如图所示，“只A”是阴影部分，“A”是左边一个整圆。17（2）画图法三步走：①第一步，画圈圈。如果有“都不”，还要画框框；如果没有“都不”，就不用画框框。②第二步，标数字（从里到外，注意去重）。去重的意思是每个区域只能标这个区域的数是多少，比如A=6，交叉部分为2，则只A=6-2=4。③第三步，列算式。【例2】（2018联考）某实验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6：5。若该批产品次品率为10%，则该批产品的优品率为：A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】例2.有两项都合格，所以有交叉，为容斥问题。主体有两个（测评Ⅰ和测评Ⅱ），为两集合容斥问题。已知“只有测评Ⅰ合格”，出现“只A”，用画图法。先画出两个圆圈，因为有次品，所以还要画框框，标数从内向外，题目中都是比例，求的也是比例，用赋值法。赋值优品数为1，则中间交叉部分为1，根据“只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍”可得：只有测评Ⅰ合格的产品数为2，所以测评Ⅰ合格的产品数为2+1=3，根据“测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6：5”可得：测评Ⅱ合格的产品数为5/2=2.5，则只有测评Ⅱ合格的产品数为2.5-1=1.5。次品率=次品数/总数=10%→非次品率=1-10%=90%=（2+1+1.5）/总数，解得总数=5，故优品率=优品数/总数=1/5=20%，对应C项。【选C】18【注意】本题和2015年的一道国考题差不多，只是换了个说法，这类题已经算是两集合容斥问题中比较困难的题目了。【知识点】三集合标准型公式：1.推导：如图所示，算A+B+C的时候，AB（红色阴影部分）计算了两次，还需要减掉一次；同理，BC（蓝色阴影部分）和AC（黑色阴影部分）也需要减掉一次；最中间的部分（ABC）加了三次，减了三次，所以空掉了，要加回来。因此公式为：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。2.公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。其中“-AB-AC-BC”是在去重；“+ABC”是在补漏。3.判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。19【例3】（2019青海法检）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：求：这个班最多有多少人？A.45B.51C.53D.55【解析】例3.“数学和英语90分以上”意思就是既数学90分以上又英语90分以上；“数学和语文90分以上”意思就是既数学90分以上又语文90分以上；“语文和英语90分以上”意思就是既语文90分以上又英语90分以上。假设数学、语文、英语分别为A、B、C，出现“既A又C、既A又B、既B又C”，且“三门功课没有一门90分以上”即存在“都不”，分别给出两两交集，代入三集合标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不，设三门功课均90分以上的有x人，代入数据：23+21+20-8-6-10+x=总数-5，化简为45+x=总数，要想总数最多，就要让x最大，x为三者都满足的，结合两者都满足的情况，三门都是90分以上的不可能超过两门都是90分以上的人数，假设满足三项的有10人，则满足两项的不可能只有6人，所以x最大为6，总人数=45+6=51，对应B项。【选B】【注意】1.最后一步分析如果不理解的同学可以画图，如左图所示，满足两项的最少为6人，满足三项的不可能比满足两项的还少，所以满足三项的最多为6人。这种情况也是可以画出来的，如右图所示。2.也存在满足三项的为0的情况，图形就类似风扇的形状，但没考过。20【知识点】三集合非标准型公式：与标准型公式区别在于给的条件不一样。1.判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。如图所示，红色阴影部分为只满足两种，有些题目可能没有给出“只”字，有同学会想到满足三种已经包含了满足两种，注意在数学运算中，满足两种指的是只满足两种。2.公式：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。3.推导：如图，只满足两项是红色阴影部分，算A+B+C的时候，红色阴影部分（满足两项）算了两次，所以需要减掉一次，但中间的部分（满足三项）前面算了三次，所以要减去两次。21【例4】（2018人民银行）某单位开展有关低碳生活的调查活动，结果显示，使用太阳能热水器的有36人，选乘公共交通上下班的有21人，购物自备购物袋的有47人。经统计发现三个问题均为肯定 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 的有4人，仅有两个问题为肯定答案的有46人，三个问题均为否定答案的有15人。那么，参加调查的总人数为多少人？A.65B.86C.100D.104【解析】例4.“三个问题均为肯定答案”意思就是满足三项，“仅有两个问题为肯定答案”意思就是满足两项，“三个问题均为否定答案”意思就是存在“都不”。有交叉、有重叠，为三集合容斥问题。出现“仅有两个问题为肯定答案”，给出了只满足两项的情况，且没有“既……又……”的表述，应该用非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不，代入数据：36+21+47-46-2*4=总人数-15，用尾数法计算，尾数0=总数的尾数-尾数5，故总数的尾数为5，对应A项。【选A】【知识点】三集合标准型与非标准型的区分：1.标准型判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。【拓展1】（2018陕西）有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种？【解析】拓展1.给了三个数（既A又B、既A又C、既B又C），所以用三集合标准型公式。2.非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。非标准型公式：A+B+C-（只）满足两项-2*满足三项=总数-都不。【拓展2】（2018江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率22为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放了多少份问卷？【解析】拓展2.一口气给了只满足两项的，所以用三集合非标准型公式。【例5】（2016江苏）某单位举办设有A、B、C三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加A、B、C三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是：A.48B.40C.52D.44【解析】例5.问的是仅参加一个项目的员工人数，如图所示，为图中红色阴影部分的总和。图中蓝色阴影部分是只满足两项的，黑色阴影部分是只满足三项的，这三个部分之间没有重复和交叉，可得常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。求的是满足一项，已知满足三项和总数，只要求出满足两项后，代入常识公式即可求解满足一项。先用三集合非标准型公式求出满足两项：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不，设满足两项为x，将数据代入公式：26+32+38-x-2*4=72，解得x=16，代入常识公式：满足一项+16+4=72，解得满足一项=52，对应C项。【选C】【注意】常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。23【例6】（2018联考）联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？A.12B.18C.24D.32【解析】例6.出现“只A”表述，有同学考虑用常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不，但满足两项和总人数都不知道，要套用好几个公式，很麻烦，考虑画图法。如图所示，没有“都不”，不用画框框，先标最中间，三样都吃的为6人，只吃冰激凌和蛋糕的为12-6=6人，只吃冰激凌和水果为16-6=10人，只吃蛋糕和水果的为18-6=12人，只吃冰激凌的为24-6-6-10=2人，只吃蛋糕的为30-6-6-12=6人，只吃水果的为38-6-10-12=10人，故只吃一样东西的为2+6+10=18人，对应B项。【选B】【注意】画图法：题目中所给或所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足某一个条件）。24【注意】容斥问题：1.公式：（1）两集合：A+B-A∩B-B∩C-A∩C=总数-都不。（2）三集合：①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。出现“既……又……”的表述时，给了3个数（既A又B、既B又C、既A又C），用标准型公式。②非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。给了只满足两项。③常识型：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。2.画图：出现“只A”“只B”表述的时候或者公式法做不出来的时候都可以用画图法。（1）画圈圈，标数据。（2）从里到外，注意去重。课后测验1.（2020江苏）某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：A.5元B.6元C.7元D.8元【解析】1.单价和售价此消彼长，问利润最大，为函数最值问题。设降价了x次，利润=单个利润*数量=（100-80-x）（120+20x），令两个括号均等于0，解得x1=20，x2=-6，则x=（20-6）/2=7，看问题，问的是降低的金额，每次降低1元，降低了7次，即降低了7元，对应C项。【选C】252.（2020江苏）使用浓度为60%的硫酸溶液50克和浓度为90%的硫酸溶液若干克，配制浓度为66%的硫酸溶液100克，需要加水的质量是：A.10克B.12克C.15克D.18克【解析】2.溶液问题。无脑做法：浓度=溶质/溶液，设需要90%的硫酸x克，66%=（50*60%+90%x）/100，约掉%，化简得660=300+9x，解得x=40克，故需要加水100-50-40=10克，对应A项。【选A】【注意】本题不建议用线段法做，三个溶液混合，既不知道90%的硫酸有多少克，又不知道水有多少克。3.（2019江苏）市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是：A.17B.22C.29D.38【解析】3.两集合容斥问题，对应公式：A+B-AB=总数-都不，设两个频道均未看过的人数为x，代入数据：108+36-23=150-x，用尾数法，尾数1=尾数0-x的尾数，则x的尾数为9，对应C项。【选C】【注意】1.预习范围（P193～P200）：第九节：排列组合与概率；第十节：几何问题。2.下节课18：45开始答疑。3.生活就像一盒巧克力，你永远不知道下一颗是什么味道。要想成功，就要先行动起来。努力到无能为力，拼搏到感动自己。觉得累了，说明你正在走上坡路，加油！【答案汇总】经济利润问题：1-5：DBCCC；6：C溶液问题：1-5：DDDAB26容斥问题：1-5：ACBAC；6：B27遇见不一样的自己Beyourbetterself28