高中数学基础知识

高中数学基础知识扫描一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合元素的互异性：如：，，求；（2）集合与元素的关系用符号，表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。如：，如果，求的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；②；；；；③；；（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。（2）中元素的个数的计算公式为：；（3）韦恩图的运用：四、满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件；若；则是的既非充分又非必要条件；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。六、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定二、 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 一、映射与函数：（1）映射的概念：是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的一个元素，在集合中都有的元素与它对应；记作：；（2）一一映射：是两个集合，是集合到集合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的；在集合中有；而且中；（3）函数的概念：如果都是，那么到的映射就叫做到的函数，记作；如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为个。二、函数的三要素：，，。相同函数的判断 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：①；②(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：如：已知，求：；②换元法：如：已知，求；③待定系数法：如：已知，求一次函数；④赋值法：如：已知，求；（2）函数定义域的求法：①，则；②则；③，则；④如：，则；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域。⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；③判别式法：转化一个关于的一元二次方程（其中为参数），利用存在使得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：不全为；有两种情况：（1）无具体范围：直接套用；（2）有具体范围：要用实根分布来其有根的充要条件；注意：（1）若得到的一元二次方程，二次项系数是含有的多项式，此时要分类讨论。（2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令取不连续点的值，求出，再由这个求出与它对应的，如果还有定义域内有定义的与它对应，则此为值域中的一个值，否则，此不在值域中。④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域：①（2种方法）；②（2种方法）；③（2种方法）；④；⑤（2种方法）；⑥；⑦；⑧；三、函数的性质：（1）函数的单调性：对于给定区间上的函数，如果对于定义域内任意的；若，都有，则称为增函数；都有，则称为减函数；注意：（1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于的多项式，还可以通过求导证明：当时为增函数，当时为减函数。（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。（2）函数的奇偶性：对于函数，如果定义域内任意的，都有，则称为奇函数；都有，则称为偶函数；奇函数的图象关于，偶函数的图象关于；注意：（1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域；（2）若函数，是奇函数，且，则；如：判断的奇偶性。关于函数的单调性和奇偶性的的结论：1、若奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上是单调递；2、若偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上是单调递；3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为；这样的函数有个。4、任意定义在上的函数都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：；其中是偶函数，是奇函数；（3）函数对称性的结论：1、设函数的定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称；如：由成立，则关于对称；注意：与关于对称；2、定义在上的函数对定义域内任意满足条件，则关于点成中心对称，如：，则关于原点对称；（4）函数的周期性：对于函数，如果存在不为零的常数T，对于定义域内的每一个值，都有则函数为周期函数，叫周期；关于函数周期性的结论：①定义在上的函数对定义域内任意，都满足条件成立，则是以为周期的周期函数；②若函数既关于直线对称，又关于对称，则一定是周期函数，且是它的一个周期；③若既关于直线成轴对称，又关于点成中心对称，则一定是周期函数，且是它的一个周期。四、图形变换：（1）平移变换：①形如：：把函数的图象沿方向向或平移个单位，就得到的图象。②形如：：把函数的图象沿方向向或平移个单位，就得到的图象。（2）对称翻转变换：①形如：：其函数图象与函数的图象关于对称。②形如：：其函数图象与函数的图象关于对称。③形如：：其函数图象与函数的图象关于对称。④形如：：其函数图象与函数的图象关于对称。⑤形如：这是偶函数。其图象是关于轴对称的，所以只要先；再；就得到了的图象。⑥形如：：将函数的图象；就得到函数的图象。（3）伸缩变换：①形如：：将函数的图象横坐标（纵坐标不变）缩小（）或伸长（）到原来的倍得到。②形如：：将函数的图象纵坐标（横坐标不变）伸长（）或压缩（）到原来的倍得到。如：的图象如图，作出下列函数图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。五、反函数：（1）定义：设表示是自变量的函数，它的定义域为，值域为，由式子解出，得到式子，如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数，叫做的反函数，记为，即，习惯上仍用表示自变量，表示函数，把它改写成。（2）函数存在反函数的条件：；（3）互为反函数的定义域与值域的关系：；（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系：；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：；；六、复合函数：（1）定义：如果是的函数，记为，又是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集不空，则确定了一个关于的函数，这时做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数。（2）复合函数单调性：；七、常用的初等函数：（1）一元一次函数：当时，是增函数；当时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：；对称轴方程是；顶点为；两点式：；对称轴方程是；与轴的交点为；顶点式：；对称轴方程是；顶点为；①一元二次函数的单调性：当时：为增函数；为减函数；当时：为增函数；为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。如：(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．③二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件根的情况等价命题在区间上有两根在区间上无根在区间上有一根充要条件注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。（3）反比例函数：图形定义域值域单调性对称中心渐近线（4）指数函数：指数运算法则：；；。图象定义域值域函数值单调性（5）对数函数：指数运算法则：；；；（1）；（2）换底公式：；（3）对数恒等式：；图象定义域值域函数值单调性注意：（1）与的图象关系是；（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。（3）已知函数的定义域为，求的取值范围。已知函数的值域为，求的取值范围。（4）下图中，与间的关系是：六、图象：定义域：；值域：；奇偶性：；单调性：是增函数；是减函数。七、补充内容：（1）抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：①正比例函数②；；③；；④；（2）不等式恒成立的条件：(1)已知且；则(a)在时恒成立；(b)在时恒成立；可借助一次函数得到。(2)已知(a)在时恒成立或；(b)在时恒成立或；（可借助一次函数(c)在时恒成立或；或二次函数得到）。(3)恒成立；恒成立三、不等式一、不等式的基本性质为：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若，则（当且仅当时取等号）基本变形：①；；②③若，则，④基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。当（常数），当且仅当时，；当（常数），当且仅当时，；常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值。②已知，则的最大值。③，的最大值。④若正数满足，则的最小值。推广：①若，则（当且仅当时取等号）基本变形：；；②若，则（当且仅当时取等号）三、绝对值不等式：注意：；；；；；；；；四、常用的基本不等式：（1）设，则（当且仅当时取等号）（2）（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）柯西不等式：设，则注意：可从向量的角度理解：设，则（7）；；（8），若，则；若，则；五、证明不等式常用方法：（1）比较法：①作差比较：②作商比较：作差比较的步骤：⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反。（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：；⑷利用常用结论：Ⅰ、；Ⅱ、；Ⅲ、；（程度大）Ⅳ、；（程度小）Ⅴ、；（6）判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有实数解或无解建立不等式关系。如：证明，可转化为求函数的值域。（7）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（8）构造法：通过构造函数、方程、数列、复数(向量)或不等式来证明不等式；六、不等式的解法：（1）如果两个不等式的解集相等，那么这两个等式就叫做同解不等式，解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式。（2）不等式的同解原理主要有：1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。2、不等式两边都乘上(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解。3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等式同解。（3）一元一次不等式：Ⅰ、：⑴若，则；⑵若，则；Ⅱ、：⑴若，则；⑵若，则；（4）一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：Ⅰ、：⑴；⑵；⑶；Ⅱ、：⑴；⑵；⑶；（5）绝对值不等式：若，则；；⑴；⑵；⑶；⑷含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。注意：Ⅰ、几何意义：：；：；Ⅱ、解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若则；②若则；③若则；⑵通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。（6）高次不等式：化成标准型，利用表解法和序轴表根法写出解集。序轴表根法求解的步骤：⑴将每个因式的根标在数轴上；⑵从右上方依次通过每个点画出曲线，注意：；⑶根据曲线显示的值的符号变化写出不等式的解集。注意：每个因式中前的系数都为正值。（7）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴；⑵；⑶；⑷；（8）无理不等式的解法：通解变形为有理不等式；⑴；⑵；⑶；注意：⑴保证根式有意义；⑵取根号的方法是平方、换元，通过两边平方去根号，不等式两边要为非负值。（9）指数不等式：⑴；⑵；⑶利用换元法，令将不等式化为一元二次不等式来解。注意：对底数的讨论。（10）对数不等式：⑴；⑵；⑶利用换元法，令将不等式化为一元二次不等式来解。注意：⑴对底数的讨论；⑵真数大于零；⑶解指数、对数不等式的一般步骤：统一底数同解变形分类讨论（底数）；（11）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。（12）解含有参数的不等式：一般是对含参数的不等式进行恰当的分类和讨论：⑴对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。⑵对含参数的一元二次不等式，还要分、、讨论。⑶对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。⑷对指数、对数不等式要注意对底数分、进行讨论。如：（1）；（2）四、三角函数：一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与角终边相同的角的集合：与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：③④⑤⑥（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于的角”=；（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限。（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；；；；；；如：角的终边上一点，则。（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；比较，，，的大小关系：。（3）特殊角的三角函数值：0sincos三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系平方关系是，，；倒数关系是，，；商式关系是，。作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2）诱导公式：：，，；：，，；：，，；：，，；：，，；：，，；：，，；：，，；：，，；诱导公式可用概括为：，。作用：求任意角的三角函数值。（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。②求任意角的三角函数值。步骤：③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤：①确定角所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角；③根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；④如果 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。如，则，；；_________。注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；四、三角函数公式：三倍角公式：；；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。②；问：；；③；④；⑤；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：；；；；；；；；；=；=；（其中；）；；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：；；；；推广：；推广：六、三角函数的图象和性质：（1）正弦函数、余弦函数及正切函数的性质：图象作法：；定义域值域最值（指出此时的值）最大值最小值周期奇偶性对称性对称轴中心单调性增区间减区间（2）与①可由怎样变化得到：（a）先平移后伸缩：（b）先伸缩后平移：注意：对于由三角函数图象求的解析式的问题：即确定；：可由得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的。：可运用得到，其中为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。②与的性质：定义域值域最值（指出此时的值）最大值最小值周期奇偶性对称性对称轴中心单调性增区间减区间如：函数的单调增区间为；函数的单调增区间为；函数的单调减区间为；③函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，点是该图象的对称中心。七、与三角有关的值域与最值问题（运用三角函数的有界性）：如：①配方法（转化为同名同角函数的二次三项式），如：求函数的值域。②降幂（转化为一个角的三角函数形式），如：求函数的最大值与最小值。③解不等式（等号一边化成一个角的三角函数形式，利用正余弦的有界性解不等式），如：求函数的值域。④数形结合（联想到解析几何中圆与椭圆的参数方程），如：求函数的值域。⑤判别式法（运用万能公式，构造成关于（可设为）的以为参数的二次函数），如：求函数的值域。⑥换元法：如：设，求函数的最值。注意：熟悉之间的换算，在具体运用中还要注意、的符号问题：（可借助单位圆）。。。。⑦利用函数的单调性：如：设，求函数的最小值。⑧分类讨论（对含参数的三角函数的值域最值问题，需要对参数进行讨论），如：设，（1）用表示的最大值；（2）当时，求的值。⑨基本不等式法：如：求函数的最大值。八、重要的结论：（1）特殊函数的周期：①，；②，；③若函数的最小正周期是，为非零常数，则的最小正周期是；的最小正周期是；的最小正周期是。④函数的最小正周期是两个函数与的最小正周期的最小公倍数。如：求的最小正周期。九、解斜三角形：（1）正弦定理：===（为）（2）余弦定理：；；；（3）求角公式：；；；注意：正余弦定理适用的题型：（一）余弦定理适用的题型：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（二）正弦定理适用的题型：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两个角；（解常不唯一）（4）三角形解的个数：已知两边和其一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况：（一）为锐角：①无解②一解③两解④一解（二）为直角或钝角：①无解；②一解；亦可以用下面的方法来解题：①先计算②若且，有唯一解，且若由（5）面积公式：==其中，、分别为的外接圆和内切圆的半径。（6）三角形中常用的结论：①任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。②边角之间的不等式关系：③；；④；；⑤；；⑥；；五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。（3）和之间的关系：如：已知的满足，求。二、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公差（比），或；，或（）；通项公式=求和公式由倒序相加法推得=由错项相减法推得①，=②，用函数的思想理解通项公式若为等差数列，则，；等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点若为等比数列，则，；用函数的思想理解求和公式等差数列，，则；；；若，说明：；在二次函数的图象上，是一群孤立的点。若为等比数列，，则；；；（其中的系数与为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。）若，说明：；等比数列，，则；增减性为递增数列；为递减数列；为常数列。为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；等差（比）中项任意两个数有且只有一个等差中项，即为；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数的等比中项为；（）等差（比）数列的性质若，则____________；特别当，则；若，则____________；特别当，则；在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如：；问公差为在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如：；问公比为是数列；公差为；成等差数列。是数列；公差为；是数列；公比为；是数列；公比为；是数列；公比为；若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为；若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为；仍为等比数列，公比为；如：（1）在等差数列中，，则；（2）在等比数列中，，则；另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1）等差数列中，若，则；（2）等差数列中，若，则；（3）等差数列中，若，则；；（4）若，则时，最大。（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，则；（6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）；；项数为奇数的等差数列，有（为中间项）；；；等比数列中还有以下性质须注意：（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：①定义法：或（为常数）是等差数列②中项公式法：是等差数列③通项公式法：（为常数）是等差数列④前项和公式法：（为常数）是等差数列注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。（2）等比数列的判定方法：①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列②中项公式法：是等差数列③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列④前项和公式法：（是常数）是等差数列注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。②递推式为：迭加法如：已知中，，求③递推式为：迭乘法如：已知中，，求④递推式为（为常数）：构造法：Ⅰ、由相减得，则为等比数列。Ⅱ、设，得到，，则为等比数列。如：已知，求⑤递推式为（为常数）：两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。如：已知中，，，求⑥递推式为（为常数）：将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。如：已知中，，，求（3）公式法：运用①已知，求②已知中，，求③已知中，，求五、数列的求和法：（1）公式法：①等差（比）数列前项和公式：②；③；④（2）倒序相加（乘）法：如：①求和：；②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；（3）错位相减法：如：求和：（4）裂项相消法：；；如：①；②；③若，则；（5）并项法：如：求（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，六、数列问题的解题的策略：（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有时才能用前项和公式，时②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。（2）设项的技巧：①对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为；对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为；②对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；六、向量一、基本概念：（1）向量的定义：叫做向量，可用字母表示，如：；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如：；（2）向量的两个要素：、；其中向量的大小又称为；记为：；（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。（4）特殊形式的向量：①零向量：；记为：；方向为；规定：零向量与任一向量；②单位向量：；③自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 研究的都是自由向量)．④平行向量：叫做平行向量(也称为共线向量)；向量与向量平行，记作：；⑤相等向量：叫做相等向量；向量与向量相等，记作：；注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。③两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。⑥相反向量：叫做相反向量，向量与向量相反，记作：；二、向量的表示法（1）几何表示法：用有向线段表示，如：；（2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：；注意：解题时，向量中的箭头不可省。（3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取的两个单位自量作基底，则对任一向量有且只有一对实数，使，就把叫做向量的(直角)坐标，记作；注意：①叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。②；；；三、向量的运算：（1）向量的加法：①向量法：三角形法则，平行四边形法则②坐标法：若，则；③重要结论：Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为；Ⅱ当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。（2）向量的减法①向量法：三角形法则、平行四边形法②坐标法：若，则；③重要结论：；；；④从几何图形的角度理解：取左边不等号中等号的条件取右边不等号中等号的条件取左边不等号中小于号的条件取右边不等号中小于号的条件异向或其中至少有一个零向量同向或其中至少有一个零向量不能异向不能同向同向或其中至少有一个零向量异向或其中至少有一个零向量不能同向不能异向注意：若将变为要比较绝对值的大小，且；若将变为要比较的模的大小，且；（3）实数与向量的积(数乘)①定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：Ⅰ、Ⅱ、当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反。②坐标法：若，则；③运算律：设为实数，为向量：结合律：；第一分配律：；第二分配律：；（4）平面向量的数量积①数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做和的数量积(或内积)，记作：；注意：Ⅰ、夹角的范围：；其中当时；当时；当时；当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；零向量与任何向量的数量积等于0。Ⅱ、投影：叫做向量在方向上的投影。②坐标法运算：若，则；③运算律：交换律：；结合律：；分配律：；注意：④重要性质：Ⅰ、设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：；Ⅱ、；Ⅲ、当与同向时，；当与反向时，；特别是：，或Ⅳ、向量的夹角公式：；Ⅴ、四、定理与公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量，只有一对实数，使；我们把不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）两个向量平行的充要条件：设，为实数①向量式：；②坐标式：；（3）两个向量垂直的充要条件：设①向量式：；②坐标式：；（4）两点间距离公式：设，则；如：求函数的最小值。（5）线段的定比分点公式：设，，，①向量式：；当时，中点对应向量公式；②坐标式：中点对应向量公式；当时，中点坐标公式；如：已知直线及两点当与线段相交时求的取值范围。（还可以从斜率的角度，通过数形结合解题）注意：①要分清内分点和外分点当分点在线段上时，点叫的内分点，这时值为；当分点在线段或的延长线时，点叫外分点，值为；点在延长线上时，这时值为；点在延长线上时，这时值为；②不能写成（没有定义两向量的除法），有时可写成；③三角形重心公式：其中、、为三角形三顶点的坐标。（6）平移公式：平移：设是坐标平面上的一个图形，将上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形，这个过程就是图形的平移。平移公式：是图形的任意一点，按照平移后图形上的对应点为，则；（注：）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：①设平移后图形的任意一点，②把平移公式变形为，③代入原解析式中，得到了平移后的解析式。（此法在函数平移变换和解几的求轨迹方程中得以充分的体现）五、运用向量证明平面几何问题：（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用两个基向量（不共向）来表示；这样在解题的一开始，设出两个不公线的向量，其他所有涉及的向量用这两个基向量来表示；（2）从要证明的结论出发，充分挖掘向量将的几何关系：①垂直关系；②平行关系（常隐含于条件中，如：有三个以上的点共线）③角的关系：用向量夹角公式六、向量中常见问题的处理：（1）；；（2）；；（3）在线段上或三点共线；（4）；（5）与垂直；（思考：其几何含义）（6）；（思考：其几何含义）（7）理解；；；七、解析几何：直线部分一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是；（2）直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。③斜率计算公式：设经过和两点的直线的斜率为，则当时，；当时，；斜率不存在；二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；②表示：直线上除去的图形。（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。（3）两点式：若已知直线经过和两点，且（），则直线的方程：；注意：①不能表示与轴和轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。（4）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：；注意：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用。（5）参数式：（为参数）其中方向向量为，；；；点对应的参数为，则；（为参数）其中方向向量为，的几何意义为；斜率为；倾斜角为。（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。②指出此时直线的方向向量：，，（单位向量）；直线的法向量：；（与直线垂直的向量）三、两直线的位置关系：位置关系平行，且重合，且相交垂直设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线垂直。③对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是；注意：①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是；（3）设两直线方程分别为：或①若为到的角，或；②若为和的夹角，则或；③当或时，；注意：①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。②直线到的角与和的夹角：或；五、点到直线的距离公式：设点和直线，点到的距离为：；两平行线，的距离为：；六、直线系：（1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）；如：①，即也就是过与的交点除去的直线方程。②直线恒过一个定点。注意：推广到过曲线与的交点的方程为：；（2）与平行的直线为；（3）与垂直的直线为；七、对称问题：（1）中心对称：①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。（2）轴对称：①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点关于直线对称的坐标。②直线关于直线对称：（设关于对称）Ⅰ、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。如：求直线关于对称的直线的方程。八、简单的线性规划：（1）设点和直线，①若点在直线上，则；②若点在直线的上方，则；③若点在直线的下方，则；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式，①当时，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域；②当时，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域；注意：通常情况下将原点代入直线中，根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；直线向下平移，则的值越来越小；②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；直线向下平移，则的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数取得最小值的最优解有无数个，则为；圆部分一、曲线和方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性）那么这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线。二、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：；圆心，半径为；圆的参数方程：为参数)；理解的含义；圆的一般方程：；圆心，半径为；一般方程的特点：①和的系数相同，且不等于零；②没有这样的二次项；③；特别地，圆心在坐标原点，半径为r的半圆的方程是；；若，则以线段为直径的圆的方程是：；三、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设与圆；若到圆心之距为；①在在圆外；②在在圆内；③在在圆上；四、直线与圆的位置关系：设直线和圆，圆心到直线之距为，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离；相切；相交；注意：这里用与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。五、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为①两圆外离；②两圆外切；③两圆相交；④两圆内切；⑤两圆内含；六、与圆的切线有关的问题：（1）若点在圆；则过点点的切线方程为：；若点在圆；则过点点的切线方程为：；若点在圆；则过点点的切线方程为：；（2）斜率为且与圆相切的切线方程为：；斜率为且与圆相切的切线方程的求法，可设切线为，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；（3）当点在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之距等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。（4）当直线和圆相切时，切点的坐标为的方程和圆的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线垂直的直线与切线联立的方程组的解。（5）若点在圆外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：；若点在圆；则过点点的切线的切点弦方程为：；七、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，则有：；（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则（其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解。）八、圆系方程：（1）经过两个圆与的交点的圆系方程是；当时，表示过两个圆交点的直线；（2）经过直线与圆的交点的圆系方程是；圆锥曲线部分一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程参数方程为参数)为参数)图形顶点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦点焦距离心率（离心率越大，椭圆越扁）准线通径（为焦准距）焦半径焦点弦仅与它的中点的横坐标有关仅与它的中点的纵坐标有关焦准距二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形顶点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦点焦距离心率（离心率越大，开口越大）准线渐近线通径（为焦准距）焦半径在左支在右支在下支在上支焦准距（3）双曲线的渐近线：①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点离心率准线通径焦半径焦点弦（当时，为——通径）焦准距如：是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足，，，，为垂足，求证：（1）；（2）；（3）；（4）设交抛物线于，则平分；（5）设，则，；（6）；（7）三点在一条直线上（8）过作，交轴于，求证：，；四、圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。五、轨迹方程的求法：（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。如：已知底边的长为8，两底角之和为，求顶点且的轨迹方程。（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。如：已知圆，定点，若是圆上的动点，的垂直平分线交于，求的轨迹方程。（3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。如：是的直径，且，为圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹。（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。如：在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），求中点的轨迹。（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。如：己知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上运动，求直线和的交点的轨迹方程。（6）整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。如：以为圆心的圆与椭圆交于两点，求中点的轨迹方程。（7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中的取值范围。六、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手。（要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何意义），也通过图形进行讨论。（要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况）如：试确定实数的不同取值，讨论直线与双曲线的公共点的个数。（2）会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的（尤其含有待定的系数是否则会增解）；涉及到中点坐标，要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是。如：设抛物线经过两点和，对称轴与轴平行，开口向右，直线被抛物线截得的线段长是，求抛物线方程。（3）当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件求解，但要注意条件的应用。如：已知抛物线方程为在轴上截距为2的直线与抛物线交于两点，且以为径的圆过原点，求直线的方程。（4）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，得到关系式而求解。如：抛物线上有关于对称的相异两点，求的取值范围。八、立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。⑿垂直于同一平面的两直线平行。（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。（