线性代数42由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式二元线性方程组的解为二元线性方程组的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.例1解三阶行列式设含有3个未知数，3个方程的线性方程组的一般形式为当D=时，方程组有解D=于是有以下定义定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标D=(2)对角线法则说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组若记或记即得得则三元线性方程组的解为:例２解按对角线法则，有例3解方程左端例4解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:三n阶行列式的定义问题前面通过2，3阶行列式给出了其对应方程组的解。那么，对n个未知数,n个方程的线性方程组是否有类似求解公式呢?下面分析3阶行列式的展开式三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列D=n阶行列式的定义例5 计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不为零的项为例6计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例7同理可得下三角行列式例8证明对角行列式证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕在阶行列式的定义中，我们先将每项中各元素的行指标排成自然序排列，即，此时该向前面带的正负号由列指标排列的奇偶性决定。一般地，阶行列式中的项可以写成此时，它的行指标，列指标分别构成排列，。对调中各因子的位置，得同时有由此可知，也可以将式中的元素对调，变成，此时有结束
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