初中数学竞赛专题：三角
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数§7．1锐角三角函数7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19与cos70；（2）cot65与cos40；（3）cos1,tan46,sin88和cot38．解析（1）利用互余角的三角函数关系式,将cos70化sin20,再与sin19比大小．因为cos70cos9020sin20,而sin19sin20,所以sin19cos70．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊的三角函数值,间接比较它们32的大小．cot60cos45,再将cot65,cos40分别与cot60,cos45比大小．32因为33cot65cot60,cos40cos45,33所以cot60cos45,所以cot65cos40．（3）tan451,显然cos1,sin88均小于1,而tan46,cot38均大于1．再分别比较cos1与sin88,以及tan46与cot38的大小即可．因为cos38cot9052tan52,所以tan52tan46tan451．因为cos1cos9089sin89,所以sin88sin891,所以cot38tan46cos1sin88．评注比较三角函数值的大小,一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数,可通过与某些“标准量”比大小,间接判断它们的大小关系,常选择的标准量有：0,1以及其他一些特殊角如30,45,60的三角函数值．7．1．2★化简求值：（1）tan1tan2tan3tan89；（2）1tan27sin83；22tansin（3）22；tansin（4）12sin11cos11cos79sin79；2（5）若tan3求sinsin的值．13sincos解析（1）原式=tan1tan2tan3tan44tan45cot44cot43cot3cot2cot1tan1cot1tan2cot2tan44cot44tan451111．22cos7sin71（2）原式cos7cos71．cos27cos72sin22sin44cossinsin（3）原式22241．sin2sin1cossinsincos22（4）原式=sin11cos11sin11cos11sin11cos11sin11cos110．22sincossinsincossin（5）原式2213sincossincos3sincos22tantan33622．tan13tan313319评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式,在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．7．1．3★试证明在锐角三角形中,任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．解析在锐角三角形里,显然有AB90,所以有90A90B．由于在0~90范围内,当A增加时,其正弦值是增加的,于是我们知道sinAsin90BcosB．同理可以证明其他的五组．7．1．4★下列四个数中哪个最大：A．tan48cot48B．sin48cos48C．tan48cos48D．cot48sin48解析显然0sin481,0cos4810
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
,求15的四种三角函数值．解析30、45、60这些特殊角的三角函数值,我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样,15角的三角函数值,也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在△ABC中,C90,ABC30,延长CB到D,使BDBA,则1DBADABC15．2A130°15°CBD设AC1,则AB2,BC3,BD2,所以CDCBBD23,所以2222ADACCD123843242323123162．所以AC162sin15,AD624CD2362cos15,AD624AC1tan1523,CD23CDcot1523．AC评注将15角的三角函数求值问题,通过构造适当的三角形,将它转化为30角的三角函数问题,这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法,是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式,我们很容易得到75角的四种三角函数值．7．1．16★★求22.5角的正切值（不查表,不借助计算器）．45解析22.5,所以设法构造一个含22.5角的直角三角形,用定义求值．21如图,Rt△ABC中,C90,B45,延长CB到D,使BDBA,则DB22.5．设ACb,有222ABbb2b,DCDBBC21b．ADBCACb故tan22.521．DC21b7．1．17★★求sin18的值．解析构造一个顶角A为36的等腰△ABC,ABAC,如图,作内角平分线则ABDDBC36,设AC1,BCx．ADBHC由于DBADAB36,BDCBCD72,故CBBDDAx,而△CAB∽△CBDACBC1x5151（CABCBD36）,故,故,有x（舍去）．BCDCx1x2251再作AHBC于H,则CAH18,CH．451所以sin18．4评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形,利用它可以求出半径为R的圆内接正十边形的边长．2m17．1．18★已知直角三角形ABC中,C90,sinAsinBm,求证：sinAsinB．22222解析因为AB90,所以sinBcosA．从而sinAsinBsinAcosA1．又sinAsinBm,所以2222msinAsinBsinAsinB2sinAsinB,即2sinAsinBm2sin2Acos2Am21．bccaab7．1．19★★在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,求101511sinA:sinB:sinC．解析依题意,可将边转化为角．abc设k,则sinAsinBsinCaksinA,bksinB,cksinC．于是题中条件化为sinBsinCsinCsinAsinAsinB．101511令上述比值为t,那么sinBsinC10t,sinCsinA15t,sinAsinB11t．所以有sinA8t,sinC7t,sinB3t,从而得sinA:sinB:sinC8:3:7．7．1．20★★★若为三角形的最小内角,试求关于x的方程54328x4x5cosx23x2x0的所有实根．解析原方程显然有根x0,再求方程4328x4x5cosx23x20①的实根．1为三角形最小内角,则0≤60,所以≤cos1．2方程①可整理变形为2112x22xcosx25x223x20,22212x22x≥0,212cosx≥0．22令fx5x23x2,2由△234520知fx恒大于零,即不存在使方程①成立的实数x．故原方程仅有一个实根x0．27．1．21★★已知函数yxcos4xsin6对于任意实数x都有y0,且是三角形的一个内角,求cos的取值范围．2解析由于方程没有实数根,4sin24cos0．22并根据sincos1,可以得到22cos3cos20．因此cos0.5或cos2．由于1cos0,所以1cos0.5．7．1．22★★已知、是钝角,求证：（1）关于x的方程2x221cosxcos0①有两个不相等的实根；（2）若sin是方程①的根,则cos也是方程①的根．解析（1）因是钝角,故cos0,于是△41cos8cos41cos0,所以,方程①有两个不相等的实根．（2）设r是方程①的另一根,则rsin．由韦达定理,得rsin1cos,②cosrsin0．③2由于sin0,故r0．由②、③两式得222rsinrsin2rsin1coscos1．所以22r1sincoscos,即cos也是①的根．27．1．23★★已知ycosx4sinx6,对于任意实数x,都有y0,且是三角形的一个内角,求的取值范围．解析因对任意实数x,二次函数ycosx24sinx6y恒大于0,所以cos0,并且2△4sin24cos0,所以161cos224cos0,整理得2cos1cos20．1因cos20,故2cos10,cos．2所以060．227．1．24★★若x、y为实数,xy1,为锐角,求证：xsinycos的绝对值不大于1．2222解析由xy1,sincos1,得x2y2sin2cos21,即x2sin2y2cos2x2cos2y2sin21,加一项减一项,得22222222xsin2xysincosycosxcos2xycossinysin1．2即xsinycosxcosysin1,2因为xcosysin≥0,2所以xsinycos≤1,故xsinycos≤1．7．1．25★已知090,求证：（1）sinsin；（2）coscos；（3）tantan．解析用定义将三角比表示成直角三角形对应边的比,然后利用边的不等关系证明．作AOB1,A2OB,使AO1A2O1,作A1H1OB于H1,A2H2OB于H2．A2A1COBH2H1由A2OBAOB1得射线OA1与线段A2H2相交,设交于C,则OA1OA2OC,所以A1在OC的延长线上,所以H1在OH2的延长线上,得OH1OH2．22又A1H11OH1,A2H21OH2,所以A1H1A2H2．因为A1H1OH1A1H1A2H2OH2sinA1H1,cosOH1,tan,sinA2H2,cosOH2,OA1OA1OH1OA2OA2A2H2tan,所以sinsin,coscos,tantan．OH27．1．26★★已知090,求证：解析1构造Rt△ABC,C90,AB1,CAB,如图,则BCABsinsin,ACABcoscos．（1）由+BCACAB,得sincos1；1111121（2）作高CH,中线CD,则CH≤CD,CDAB,S△ABCABCH≤ABCDAB（△ABC222244以中线CD,高线CH重合为面积最大）．CcosαsinααADHB11而S△ABCBCACsincos,所以2sincos≤1．222有12sincos≤2,即sincos≤2．又sincos0,所以sincos≤2．由（1）,（2）知,1sincos≤2．2解析2sincos12sincos1．222又由2sincos12sincossincos≥0,得2≥sincos,2故有1sincos≤2,由sincos0,知1sincos≤2．评注解析1同时也证明了“斜边给定的直角三角形中,等腰直角三角形的面积最大”这一结论．sin2xsin2y7．1．27★★★证明：对于任何实数x、y,有sin≥sinsinxsiny．2解析因为对于任意x、y,都有1≤sinx≤1,1≤siny≤1,22πsinxsinyπ所以1≤sinxsiny≤≤1．22222ππsinxsiny而函数sinx在≤x≤上的值是随着x的增加而增加的,故sin≥sinsinxsiny．222asinbabab7．1．28★★★若ab0,0≤≤90,试证明不能介于及之间．asinbabababasinbabasinbab解析假设,则有．abasinbabasinbab由题意知0≤sin≤1,a0,则asin≤a,即asinb≤ab,又b0,从而2b2b1≥1,asinbabasinbab即≥,所以假设不成立,即命题成立．asinbab222yxyx7．1．29★★★设xy1,且x1,y1,求证：．1xy1x1y解析本题如果直接用代数方法,通过代数式的运算证明等式成立,比较复杂．根据已知条件2222xy1,联想到sincos1,因此可设xsin,ycos,则将代数式转化为三角式,利用三角函数有关公式进行变形,这样会简便一些．设xsin,ycos,则22yxcossincoscossinsin1x1y1sin1cos1sin1coscossin1cossin2cossin1cossin1sincossincos22sin2cos2sincos2cossin1cossin2cossin1cossin2221sincos2sin2cos2sincos1cossin2cos2sin2yx．1cossin1xy评注在一些代数等式的证明中,如果已知条件xcos,xacos,x2y21或x2y2aa0,则可设或ysin;yasin,从而将代数式转化为三角等式的证明问题,我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多,因此化为三角式后,运算化简常比较方便．§7．2解直角三角形7．2．1★★如图,在直角三角形ABC中,C90,AD是A的平分线,且CD6,DB26,求△ABC的三边长．AECDB解析由角平分线想到对称性,考虑过D作DEAB,交AB于E,则由C90得CDDE6．在直角三角形BDE中,DE61sinB,则B60,所以DB2623ACBCtanB62632,3ACAB2AC62,sinBBCCDDB36．故△ABC的三边长分别为62、32,36．7．2．2★★在Rt△ABC中（如图）,D、E是斜边AB的三等分点,已知CDsinx,CEcosx0x90．试求AB的长．BDPQECFGA解析作DFAC于F,EGAC于G；DPBC于P,EQBC于Q．令BPPQQCa,AGGFFCb．则DF2a,EGa．22在Rt△CDF和Rt△CEG中,由勾股定理,得2ab2sin2x,及a22bcos2x,22221两式相加得5ab1,ab．52235所以AB3BD3ab．57．2．3★★如图,△ABC中,C90,AB10,AC6,AD是BAC的平分线,求点B到直线AD的距离BH．AEBDCH解析已知Rt△ABH中,AB10,要求BH,可求出BAH的正弦值,而BAHCAD,因而可先求出DC的长．作DEAB于E,有AEAC6,EDCD．BD10设DC3k,由三角形内角平分线性质有,则BD5k．DC6222222Rt△BDE中,DEBEBD,即3k1065k,得k1．221BHCD3k3,AD6335,sinDAC,故BH25．5107．2．4★已知△ABC是非等腰直角三角形,BAC90,在BC所在直线上取两点D、E使DBBCCE,连结AD、AE．已知BAD45．求tanCAE的值．解析如图,过B、C两点作BM∥AC、CN∥AB分别交AD、AE于M、N．易知AMNDBCEAC2BM,AB2CN,BMCNtanBAD,tanCAE,ABAC1从而,tanBADtanCAE．41因为tanBAD1,则tanCAE．47．2．5★★设有一张矩形纸片ABCD（如图）,AB3,BC4．现将纸片折叠,使C点与A点重合,试求折痕EF的长．AFDOBEC解析设O是矩形对角线AC的中点．连结CF,由折叠知CFAF,故FOAC,即EFAC．由AB3,BC4,得AC5,从而15AOAC．22在Rt△AOF中,AOF90,故OFAOtanFAO．DC3又由Rt△ADC得tanFAOtanDAC,AD4531515所以OF,EF2OF．2484257．2．6★★已知三角形两边之和是10,这两边的夹角为30,面积为,求证：此三角形为等腰4三角形．解析由题意可设ab10,30,则125S△absin,241125即ab,224得ab25．2于是,由ab10,ab25,得a、b是方程x10x250的两个根．而此方程有两个相等的根,所以ab5,即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由22abab4ab0,得ab．7．2．7★★在△ABC中,C90,其周长为26,且已知斜边上的中线长为1．如果BCAC,求tanA的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍,故ABc2．于是,由题设及勾股定理,得ab6,①22ab4.②把①式两边平方,得22a2abb6．再由②得ab1．③262由①、③知,a、b分别是二次方程u6u10的两根,解得u．211因为BCAC（即ab）,故BC62,AC62,22BC62所以tanA23．AC627．2．8★★已知a、b、c分别是△ABC中A、B,C的对边,且a、b是关于x的一元二次方2程x4c2c4x的两个根．（1）判断△ABC的形状；3（2）若tanA求a、b、c．4解析（1）根据题意,尝试从边来判断．因为abc4,ab4c2,22所以a2b2ab2abc424c2c2,从而知△ABC是直角三角形,C90．3a3（2）由C90,tanA,得．4b4令a3,b4kk0,则c5k,于是7k5k4,得k2,从而有a6,b8,c10．17．2．9★★在Rt△ABC中,C90,S△ABCm,且两直角边长满足条件3a2bm．2（1）证明：m≥24；（2）当m取最小值时,求△ABC中最小内角的正切值．解析（1）由题设得abm,3a2bm.m3a消去b,得am,故实数a满足二次方程223xmx2m0．①2所以△m24mmm24≥0．因为m0,所以m≥24．（2）当m24时,方程①只有一个实数根a4,从而b6．由ba,知△ABC的最小内角为A,a2其正切值tanA．b37．2．10★★如图所示．ABEFEBCECD90,ABF30,BFE45,ECB60且AB2CD．求tanCDE的值．BCDAFECE解析因为tanCDE,已知AB2CD,因此,只需求出AB与CE的比值即可．CDAB24不妨设CD1,则AB2．在Rt△ABF中,A90,ABF30,所以BF．cos303324222在Rt△BEF中,BEF90,BFE45,所以BEBFcos45323BE22242CE42在Rt△BEC中,EBC90,ECB60,CE,所以tanCDE．sin60333CD347．2．11★★如图所示．在锐角△ABC中,sinB,tanC2,且S△ABC10．求BC．5ABDC423解析作ADBC于D,设ADx,在Rt△ABD中,因为sinB,所以cosB1sinB,55sinB4AD43所以tanB,所以,BDx．cosB3BD34ADADx3x5在Rt△ADC中,因为tanC2,所以CD,所以BCBDCDxx．①DC224241因为S△ABCBCAD10,215所以xx10,24所以x4．5由①知BC45．4评注在一般三角形中,在适当位置作高线,将其转化为直角三角形求解,这是解斜三角形常采用的方法．7．2．12★★如图所示．在△ACD中,A45,CB5,CD7,BD3．求CBD及AC．CAEBD解析1作CEAD于E,设CEx,BEy,则有222xy5,①222xy37.②225②-①得6y97524,所以y．252222553BE21因为x5y5,所以cosCBE,所以22CB52CE53256CBE60,CBD18060120,所以AC．sin45222222解析2在△CBD中,BC5,BD3,CD7,由余弦定理得CDBCBD2BCBDcosCBD,所222222CDBCBD7531以cosCBD,2BCBD2532ACBC所以CBD120,从而CBA60．在△ABC中,由正弦定理得,sinCBAsinA35BCsinCBA56所以AC2A．sinA2227．2．13★★如图,已知△ABC中,AB1,D是AB的中点,DCA90,DCB45．求BC的长．ECADB解析作BEACB,交AC的延长线于E,设BCx．则xxBEBCsin45,CEBCcos45222x由DC∥BE,D是AB的中点,知AE2EC．2222222xx而AEBEAB,得1．221010即x,所以BC．55评注通过构造直角三角形,使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．7．2．14★★如图,△ABC中,ACB90,CDAB于D,DEAC于E,DFBC于F．3AEAC求证：3．BFBCCFEADBAEEDDF解析ADEACDB,而tanADE,tanACD,tanB,所以DEECBFAEEDDFtanB,DEECFBAEEDEC3AE3又DFEC,所以tanB,所以tanB．DEECBFBF3ACAEAC又tanB,所以3．BCBFBC评注本题直角三角形较多,直接用相似三角形往往找不好关系,利用等角的三角函数作边的转化,使关系明确．7．2．15★★如图,在△ABC中,A90,ABAC,M是AC边的中点,AD垂直于BM且交BC于D．AMFBDC求证：AMBCMD．解析作DFAC于F,不妨设AB3,因ADBM,BAM90,所以DAFABM．1ACMA21DF1又tanABM．tanDAF．ABAB2FA2又BAC90,ABAC,C45,而DFC90,故FCFD．FC1331由于,而FCFA3,FC1,FA2,而MC,FM1,FD1,FA2222FD1AB即tanCMD2,又tanAMB2,AMB,CMD是锐角．FM1AM2因此AMBCMD．评注利用解三角形的知识把结论中有关的线段用常数或适当的参数表示,通过计算证明几何命题,这种方法称为几何题的三角证法．7．2．16★★在等腰直角三角形ABC中,AB1,A90,点E为腰AC上任意一点,AEa,点F在2a1a底边BC上,且FEBE,求证：S△CEF．21a解析如图,过点F作FDAC,垂足为D．AEDBFC因为ABEBEABEADEF,所以ABEDEF,从而知△ABE∽△DEF,ABAE得．DEDF又因为FDCD,则令FDx,那么DE1ax．1aa1a于是,得x．1axx1a211a1aa1a故S△CEFECFD1a．221a21a7．2．17★★★如图,在直角三角形ABC中,A90,ABa,ACb,E是AC上一动点,F在BC上,E从点A开始向C运动且保持EFBE,试写出S△EFC与点E运动时到点A距离x的关系式．AECBFDABBEAE解析如图,过点C作CDEF,交直线EF于D,则△ABE∽△DEC,得．EDECCDaa2x2xabxbxx由AEx,得ECbx,则,DE,CD．得2222DEbxCDaxaxBEEFBEEFEF又△BEF∽△CDF,则,即,得CDDFBECDEFFDEDabxa2x22222axabxaxEF2．bxxabxa2x222ax211axbx故S△CEFEFCD2．22abx7．2．18★★如图（a）,正方形ABCD的边长215,E、F分别是AB、BC的中点,AF分别交DE、DB于点M、N,求△DMN的面积．ADADMMEENNBFCBFC(a)(b)ADANDN2解析记正方形ABCD的边长为2a．由题设易知△BFN∽△DAN,则有,BFNFBN12得AN2NF,所以ANAF．322AB25在直角△ABF中,AB2a,BFa,则AFABBF5a,于是cosBAF．AF5由题设可知△ADE≌△BAF,所以AEDAFB,AME180BAFAED180BAFAFB90．25245于是AMAEcosBAFa,MNANAMAFAMa,5315SMN4从而△MND．S△AFDAF1512482又S△AFD2a2a2a,所以S△MNDS△AFDa．21515因a15,故S△MND8．27．2．19★★已知a、b、c是△ABC三边的长,其中bac,且方程ax2bxc0两根的差的绝对值等于2．求△ABC中最大角的度数．解析由已知条件bac可知,这是一个等腰三角形,且底边b最长,则最大角为B,求出△ABC中的底角A（或C）即可．我们可以先求角A（或C）的三角函数值,再确定角的大小,如图所示．由图知BcaADbCbADbcosA2,ABc2c则关键是求出b与c的比值．通过一元二次方程中的条件,可得到关于c、b的方程,则问题得到解决．因为ac,所以方程为cx22bxc0．2b设x1、x2为方程的两个根,则有x1x2,x1x21．c22因为x1x22,x1x22,即x1x24x1x22,22b2bbb3所以42,6,3,所以cosA,ccc2c2所以A30,所以B1803030120．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数,利用方程条件导出边的关系,由边的关系再进一步求角的大小．AbcAbc7．2．20★★在△ABC中,C90,则cot；反过来,如果在△ABC中,cot,则△ABC2a2a是直角三角形．AAC解析（1）作角平分线AD（图略）,则在Rt△ACD中,cot．2DCDCAC由角平分线的比例性质,有．BDABDCACDCb所以,即．BDDCABACabcab所以DC．bcAbc所以cot．2a（2）我们证明：B或C是直角．设C90,下证B90．如图,作△ABC的角平分线AD,在直线AD上取一点E,使ACE90．由题设有ACBDFEACAbcabcot,所以ECEC2abcab又由（1）中的计算,DC,所以CDCE,作CFDE于F,则bcDCE2FCE2DACBAC．所以ABC180ACBBAC180ACBDCE180ACE90．7．2．21★★如图,AB是圆的直径,弦CD∥AB,AC与BD相交于E,已知AED,试求S△CDE:S△ABE．DCθEAB解析由AB∥CD,得△CDE∽△ABE．22所以S△CDE:S△ABEDE:BE．DE2连结AD,则ADB90．故由Rt△ADE,有cos,又AEBE,所以S△CDE:S△ABEcos．AE7．2．22★★★如图,延长锐角△ABC的高AD、BE、CF分别交外接圆于L、M、N．设垂心为外接圆半径为R．求证：ANMFHECBDLabcabc（1）；HAHBHCHLHMHN（2）ALsinABMsinBCNsinC8RsinAsinBsinC．aCF解析（1）由于△CBF∽△AHF,所以．HAAFCFa在Rt△AFC中,tanA,所以tanA．AFHAbc同理tanB,tanC,于是左边tanAtanBtanC．HBHCBDBD由于H、D、C、E共圆,所以BHDC．在直角三角形BHD中,tanBHD,所以tanC．HDHDCD同理tanB．HDa相加得tanCtanB．HD1a1由于H是△ABC的垂心,易证HDDL,所以HDHL,tanCtanB．2HL2b1c1同理tanAtanC,tanBtanA．HM2HN2相加后得右边tanAtanBtanC．（2）由于H是垂心,所以HDDL,可得△HBC≌△LBC．1由于S四边形ABLCALaRALsinA,2所以RALsinAS△ABCS△BCLS△ABCS△HBC．同理可证RBMsinBS△ABCSHCA,RCNsinCS△ABCS△HAB．相加后得1RALsinABMsinBCNsinC4S△ABC4absinC22RsinA2RsinBsinC,2所以ALsinABMsinBCNsinC8RsinAsinBsinC．7．2．23★★如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45,A60,CD4m,BC4622m,求电线杆AB的长（精确到0.1m）．ADBCFE解析如图,延长AD交地面于点E,过点D作DFCE于点F．因为DCF45,A60,CD4,所以2CFDFCDsin45422,EFDFtan6022326．2AB3因为tan30,BE333所以ABBE46222226628.5m．337．2．24★如图,某岛S周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行,在、A处测得S在北偏东60,2小时后在B处测得S在正东北方向,试问轮船是否需要改变航行方向行驶,才能避免触礁危险,说明理由．SABC解析若设船不改变航向,与小岛S的最近距离为SC．则有SCtan60SCtan45152,解得SC1531542．因此需要改变航向,以免触礁．7．2．25★★★如图,某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠,如果渠深为h,截面积为S,试求当倾角为多少时造价最小？BAθCD解析要使造价最小,只需考虑ADDCCB最小,故首先设法用h、S、表示ADDCCB．11SABCDh2CD2hcothCDhcoth．22S2hSSh2cos有CDhcot,则ADDCCB2ADCDcot．hsinhhsin2cos因S、h为常数,则要求ADDCCB的最小值,只需求m的最小值．sin2cos设m,两边平方整理得sinm21cos24cosm240,222224m1m42mm3cos22．m1m1222cos由上式知mm3≥0,解得m≥3,故当m3时,有最小值．sin21当m3时,cos2,从而得60,此时排污渠造价最小．m12
浙公网安备 33021202002483