排列、组合、集合论

•排列、组合、集合论•随机事件•事件间的关系与运算•频率与概率第一章概率论的基本概念§4等可能概型（古典概型）第一章概率论的基本概念等可能概型（古典概型）生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：.样本空间的元素只有有限个；.每个基本事件发生的可能性相同。比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。第一章概率论的基本概念设S={e1,e2,…,…en},由古典概型的等可能性，得P{e1}P{e2}=P{en}.又由于基本事件两两互不相容；所以1P{S}P{e1}P{e2}P{en},1P{e},i1,2,,n.in第一章概率论的基本概念若事件A包含k个基本事件，即A={e1,e2,…ek},则有：kA包含本事件数含的基本事件数P(A).nS中基本事件总数例1将一枚硬币抛掷三次。设：事件A1为“恰有一次出现正面”，事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A1),P(A2)。第一章概率论的基本概念解：样本空间S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},n=8，即S2中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。A1为“恰恰次现有一次出现正面”，A1={HTT,THT,TTH},k3k=3，P(A)==,1n8第一章概率论的基本概念事件A2为“至少有一次出现正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}k7k=7，P(A)=2=,22n8kA21另解:由于A2={TTT},k=1，P(A2)==,A2n817P(A)=1P(A)=1=.2288第一章概率论的基本概念例一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从从中球次袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：•放回抽样第第次取只球一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。•不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。第一章概率论的基本概念解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设A“A=“取到的两只都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:424222P(A)0.444P(B)0.556626222P(C)1P(C)10.88962第一章概率论的基本概念无放回抽取:2C4C2C2P(A)P(B)422C2C662C2P(C)1P(C)12C6第一章概率论的基本概念例将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。解：将n只球放入N个盒子中去,共有nNNNN种放法,而每个盒子中至多放一只球,共有n种放法N(N1)[N(n1)]AN,N(N1)[N(n1)]An故pN.NnNn第一章概率论的基本概念n个人生日问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：n202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997第一章概率论的基本概念例设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?1）不放回抽样n解：在N件产品中抽取n件，取法共有CN种，k又在D件次品中取k件，所有可能的取法有CD种，在件正品中取件所有可能的取法有nkN-Dn-k,CND种，第一章概率论的基本概念由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有knkCDCND种，于是所求的概率为：knkCDCNDpnCN此式即为超几何分布的概率公式。第一章概率论的基本概念2）有放回抽样从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为Nn个，将每一排列看作基本事件，总数为Nn。而在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有kknkCnD(ND)于是所求的概率为：kknkCnD(ND)kDkDnkPCn()(1)NnNN此式即为二项分布的概率公式。第一章概率论的基本概念例在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数被数既不能被6整除，又不能被8整除概率除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”，B为“取到的整数能被8整除”，则所求的概率为：P(AB)P(AB)1P(AB),其中P(AB)P(A)P(B)P(AB).2000由于333334,所以能被6整除的整数6为：6，12，18…1998共333个，第一章概率论的基本概念25083P(A)333,同理得:P(B),P(AB).2200000020002000其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，AB为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率为：p1[P(A)P(B)P(AB)]33325083500311.200020004第一章概率论的基本概念例将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：555C15C10C515141312111098765432115!,5!5!5!5!5!5!第一章概率论的基本概念例某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为:212/712=0.0000003，即千万分之三。第一章概率论的基本概念“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。第一章概率论的基本概念§3条件概率目录索引一条件概率二乘法定理三全概率公式和贝叶斯公式第一章概率论的基本概念条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且PA0则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为PBA第一章概率论的基本概念24第一章概率论的基本概念条件概率的性质：1非负性：对任意事件B，有PBA02规范性：PSA1；可列可加性：如果随机事件，，，，两3B1B2Bn两不相容两互不相容，则PBAPBAnnn1n1概率的性质同样适用于条件概率第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念例已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．解：设A{3A={3个小孩至少有一个女孩}B={3个小孩至少有一个男孩}17PA1PA1则688PAB86所以PAB86PBAPA778返回主目录第一章概率论的基本概念两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式PABPBAPA我们得PABPAPBA这就是两个事件的乘法公式．第一章概率论的基本概念多个事件的乘法公式设，，，为个随机事件，且A1A2AnnPA1A2An10则有PA1A2AnPA1PA2A1PA3A1A2PAnA1A2An1这就是n个事件的乘法公式．第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念例设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai(i=1,2,3) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：P(B)P(A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)9713(1)(1)(1).10102200第一章概率论的基本概念全概率公式和贝叶斯公式定义设为试验的样本空间，SEA1,A2,An为E的一组事件。若满足(1)AiAj=,ij,i,j1,2,,n;(2)A1A2AnS.则称为A1,A2,An样本空间S的的个一个划分。AA…...12AnS第一章概率论的基本概念全概率公式：设随机事件以及AA12,,,AnB满足：．两两互不相容；1,AA12,,Ann2．ASii1．301,2,PAiin则有PBPAPBAiii1第一章概率论的基本概念全概率公式的证明B=BA1BA2BAnBA1BA2…...BAnAA…...12AnS第一章概率论的基本概念例某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．解：设B该小组在比赛中射中目标选级射手参加比赛，，Aiii1234由全概率公式，有第一章概率论的基本概念4PBPAPBAiii126930.850.640.450.32202020200.5275第一章概率论的基本概念Bayes公式设随机事件以及AA12,,,AnB满足．两两互不相容；1,AA12,,Ann2．ASii1．301,2,PAiin则P()ABP(|)()BAPAP(|)ABiii,j1,2,,niPB()nP(|BA)(PA)jjj1第一章概率论的基本概念例对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？机器调整得良好PAB(|)98%B产品合格ABPAB(|)55%机器发生某一故障第一章概率论的基本概念解：PA(|BPB)()PB(|)APABPB(|)()PABPB(|)()0.980.950.97.0980950550050.980.950.550.05第一章概率论的基本概念例用某种方法普查肝癌，设：A={用此方法判断被检查者患有肝癌}，C={被检查者确实患有肝癌}，已知PAC0.95,PAC0.95而且已知：PC0.0005现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．第一章概率论的基本概念解：由已知，得PAC0.95,PC0.9995所以，由Bayes公式，得PCPACPCAPCPACPCPAC0.00050.950.00050.950.99950.050.087小结一、等可能概型二、条件概率三、乘法定理四、全概率公式和贝叶斯公式