相似矩阵

第三节 相似矩阵 内容分布图示 ★ 相似矩阵与相似变换的概念 ★ 例 1 ★ 相似矩阵的性质 ★ 例 2 ★ 相似矩阵的特征值与特征向量 ★ 矩阵与对角矩阵相似的条件 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 矩阵可对角化的条件 ★ 矩阵对角化的步骤 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 矩阵对角化的应用 ★ 约当形矩阵的概念 ★ 例 7 ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 4-3 ★ 返回 内容要点： 一、相似矩阵的概念 定义 1111 设 都是 阶矩阵, 若存在可逆矩阵 ,使 BA, n P ,BAPP =−1 则称 是 的相似矩阵, 并称矩阵 与 相似 .记为 .B A A B BA ~ 对 进行运算 称为对 进行相似变换, 称可逆矩阵 为相似变换矩阵.A APP 1− A P 矩阵的相似关系是一种等价关系，满足: (1) 反身性: 对任意 阶矩阵 ,有 相似;n A AA与 (2) 对称性: 若 相似, 则 与 相似;BA与 B A (3) 传递性: 若 与 相似, 则 与 相似, 则 与 相似.A B B C A C 两个常用运算 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式： (1) ;))(( 111 BPPAPPABPP −−− = (2) , 其中 为任意实数.BPlPAPkPPlBkAP 111 )( −−− +=+ lk, 二、相似矩阵的性质 定理1111 若 n 阶矩阵 A 与 B相似,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值亦相 同. 相似矩阵的其它性质: (1) 相似矩阵的秩相等; (2) 相似矩阵的行列式相等; (3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似. 三、矩阵与对角矩阵相似的条件 定理2222 n阶矩阵 A 与对角矩阵 相似的充分必要条件为矩阵 A 有 n ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Λ n λ λ λ ⋱ 2 1 个线性无关的特征向量. 注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法. 推论 1111 若 n 阶矩阵 A 有 n个相异的特征值 ,则 A 与对角矩阵 n λλλ ,,, 21 ⋯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Λ n λ λ λ ⋱ 2 1 相似. 对于 n阶方阵 A,若存在可逆矩阵 P, 使 为对角阵, 则称方阵 A 可对角化.Λ=− APP 1 定理3333 n阶矩阵 A 可对角化的充要条件是对应于 A 的每个特征值的线性无关的特征向 量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设 是矩阵 A 的 重特征值, 则 i λ i n A 与 相似 。Λ ),,2,1()( ninnEAr ii ⋯=−=−⇔ λ 四、矩阵对角化的步骤 若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现: (1) 求出 的全部特征值 ;A s λλλ ,,, 21 ⋯ (2) 对每一个特征值 ,设其重数为 ,则对应齐次方程组 i λ i n 0)( =− XAE i λ 的基础解系由 个向量 构成, 即 为 对应的线性无关的特征向 i n i inii ξξξ ,, 21 ⋯ i inii ξξξ ,, 21 ⋯ i λ 量； (3) 上面求出的特征向量 s snssnn ξξξξξξξξξ ,,,,,,,,,,,, 212222111211 21 ⋯⋯⋯⋯ 恰好为矩阵 的 个线性无关的特征向量;A n (4) 令 , 则),,,,,,,,,,,,( 212222111211 21 ssnssnnP ξξξξξξξξξ ⋯⋯⋯⋯= . 2 2 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Λ=− s s APP λ λ λ λ λ λ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 五、矩阵对角化的应用 1111．利用矩阵对角化计算矩阵多项式 定理4444 设 是矩阵 A 的特征多项式,则 .)(λf OAf =)( 2222．利用矩阵对角化求解线性微分方程组 . 2 22 22 2 3 321 2 21 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= −+−= −= x dt dx xxx dt dx xx dt dx 3333．利用矩阵对角化求解线性方程组 在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有1.5万人是教师,据调查,平均每年有10% 的人从教师职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教师职业,试预测 10年以后这 15 万人中有多少人在从事教师职业. 六、约当形矩阵的概念 定义 2222 在 n 阶矩阵 A 中, 形如 的矩阵称为约当块. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = λ λ λ λ 1 1 1 ⋱⋱J 若一个分块矩阵的所有子块都是约当块, 即 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = s J J J J ⋱ 2 1 中 都是约当块,则称 J 为约当形矩阵,或约当标准形.),,2,1( siJ i ⋯= 注: 对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵. 定理 5555 对任意一个 n 阶矩阵 A,都存在 n阶可逆矩阵 T使得 ,1 JATT =− 即任一 n阶矩阵 A 都与 n 阶约当矩阵 J 相似. 例题选讲:::: 例 1111 ((((讲义例 1)1)1)1) 设有矩阵 试验证存在可逆矩阵 ,, 20 04 , 15 13 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = BA ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 51 11 P 使得 A 与 B 相似. 例 2222 . 10 11 , 10 01 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = BA 容易算出 A与 B的特征多项式均为 但可以证明A 与B 不相似. 事实上, A是一个单位.)1( 2−λ 阵, 对任意的非异阵 P 有 .111 IPPIPPAPP === −−− 因此若 B 与 A 相似, B 也必须是单位阵, 而现在 B 不是单位阵.所以A 与 B 不相似 例 3333 ((((讲义例2)2)2)2) 试对矩阵 验证前述定理 2的结论.⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 15 13 A 例 4444 ((((讲义例3)3)3)3) 试对矩阵 验证定理 2的结论. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −−= 163 053 064 A 注: 本例子说明了 A 的特征值不全互异时,A 也可能化为对角矩阵. 例 5555 ((((讲义例4)4)4)4) 判断矩阵 能否化为对角阵. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = 242 422 221 A 例 6666 ((((讲义例5)5)5)5) 设 问 为何值时, 矩阵 能对角化?, 001 11 100 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = aA a A 例 7777 下列矩阵是约当型矩阵(虚线是为了更清楚地表示分块情况而加上去的): (4) ; (5) . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4000 0300 0020 0001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200000 120000 012000 000100 000110 000000 例 8888 下列矩阵不是约当型矩阵: (1) ; (2) ; ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −100 100 001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −100 110 011 (3) ; (4) . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 100 110 001 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2000 1200 0010 0011 例 9999 设矩阵 ,可求出它的特征值为 2,1,1. 又可用解线性方程组的办法 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 201 034 011 A 求出 A 的线性无关的特征向量有 2 个: , 1 2 1 , 0 1 1 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = αα 其中 是关于特征值 2 的特征向量, 是关于特征值 1 的特征向量. 由于 A 的线性无关的1α 2α 特征向量个数为 2, 小于 A 的阶数 , 所以 A 不可能相似于一个对角阵 . 但可以证明 A 与下列 约当型矩阵 J相似: . 100 110 002 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =J 课堂练习 1.判断矩阵 能否化为对角阵. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− = 201 335 212 A 2.判断下列两矩阵 A,B 是否相似. . 001 001 00 , 111 111 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ n BA