结构动力学学习总结

专MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1717411553044_0报告：结构动力学学习总结一、单自由度系统的振动...........................................................................................31.1自由振动.........................................................................................................41.1.1无阻尼的自由振动.............................................................................41.1.2有阻尼的自由振动.............................................................................41.2简谐载荷作用下的强迫振动.........................................................................51.2.1无阻尼强迫振动.................................................................................61.2.2有阻尼的强迫振动..............................................................................61.3任意载荷下的强迫振动.................................................................................7二、多自由度系统的振动...........................................................................................92.1多自由度系统的固有频率和主振型.............................................................92.2主振型的正交性...........................................................................................102.3模态分析法..................................................................................................112.3.1无阻尼强迫振动...............................................................................122.3.2有阻尼强迫振动...............................................................................14三、结构振动的有限元计算.....................................................................................173.1振动的基本方程...........................................................................................173.2虚功原理......................................................................................................183.3结构振动的有限元分析列式......................................................................18一、单自由度系统的振动考虑图1所示的单自由度系统的力学模型（弹簧-质量系统），它由刚体质量块、弹簧和阻尼器组成，弹簧和阻尼器的质量与刚体质量块相比可以忽略，系统的位移完全由刚体质量块的位移x确定。以弹簧-质量系统为例，对单自由度系统进行受力分析。如图2所示，此时有3种力作用在质量块上：弹性恢复力，阻尼力和外力。a)弹簧恢复力：弹簧的变形产生的弹性力()rFkxt，弹簧恢复力与运动方向相反。b)阻尼力：若采用粘性阻尼模型，则阻尼力为d()tFcx，阻尼力与运动方向相反。c)外力：外部作用在质量块上的力()eFt，一般情况下为时间的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，主要有3种类型：周期力，瞬变力，随机力。根据牛顿第二定律，可以写出下式()()()=()emxtcxtkxtFt(1-1)上式称为单自由系统的动力平衡方程。根据施加在质量块上的外力()eFt的类型不同，可以结构的振动分析分为模图1单自由度系统（弹簧-质量系统）·图2弹簧-质量系统受力分析态分析，瞬态动力学分析，简谐响应分析和随机谱分析。外力的类型分析类型振动类型无外力(F0)e模态分析自由振动瞬变力（能够使用函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）瞬态动力学分析任意载荷下的强迫振动简谐力简谐响应分析简谐载荷下的强迫振动随机力（只能用统计的方式描述）随机谱分析1.1自由振动若系统不受外部的干扰作用，仅由初始条件（初位移和初速度）引起的振动，称为自由振动。1.1.1无阻尼的自由振动当不考虑阻尼作用时，振动方程退化为：()+()=0ttmxkx(1-2)令2km(1-3)则方程(1-2)可以改写成为2()+()=0ttxx(1-4)方程(1-4)的解的形式为：12()=AcosAsintxtt(1-5)将初始条件0000(),()ttxtxxt代入(1-5)中，可以得到0120A,Ax(1-6)则00()cossinvxtxtt(1-7)1.1.2有阻尼的自由振动单自由度系统考虑阻尼作用的自由振动方程为()+()+()=0tttmxcxkx(1-8)或写为2()+2()+()=0tttxxx(1-9)其中2cm(1-10)称为阻尼特性系数。常微分方程(1-9)的特征方程为22+2+=0ss(1-11)特征方程的根为221,2s(1-12)1)当时，为超临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为222212()()1212()ststttxtcececece(1-13)将初始条件0000(),()ttxtxxt代入(1-13)中，可以得到222222()t002222()t0022()(t)e2()e2xxx(1-14)2)当时，为临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为()e()t12xtc+ct(1-15)由初始条件0000(),()ttxtxxt，可得000()e[()]txtx+xt(1-16)不难发现，式(1-14)和式(1-16)所表示的运动都没有振动的特征。3)当时，为低阻尼临界系统，这时特征方程的根为1,2si(1-17)其中22微分方程(1-9)的通解为12()e(sincos)txtBt+Bt(1-18)1.2简谐载荷作用下的强迫振动本节讨论系统受到简谐变化的干扰力作用下的强迫振动响应问题。1.2.1无阻尼强迫振动在无阻尼的情况下，假定载荷()eFt为如下的简谐形式()=PcoseFtt(1-19)因此无阻尼强迫振动方程为()()Pcosmxtkxtt(1-20)或写为2()()cosPxtxttm(1-21)方程(1-21)的通解可由齐次方程的通解和非齐次方程的特解叠加而得。由()eFt的形式，我们不难找到它的一个特解22()cos()Pxttm(1-22)则微分方程(1-21)的通解为1222()AsinAcoscos()Pxttttm(1-23)由初始条件0000(),()ttxtxxt，可求得012022,()PAAxm，则式(1-23)可写为002222()sincoscoscos()()PPxttxtttmm(1-24)在式(1-24)中，前3项是振动频率为的自由振动。其中前2项的系数决定于初始条件，通常称它们为决定于初始条件的自由振动。第3项则不管初始条件如何，都将伴随干扰力的作用而产生，故可称为伴生的自由振动。至于第4项，则完全按照干扰力频率进行振动，故称为纯强迫振动。1.2.2有阻尼的强迫振动单自由度系统考虑阻尼作用的运动方程为()()()Pcosmxtcxtkxtt(1-25)可知上式的通解为12()e(sincos)sin()txtBtBtAt(1-26)将初始条件代入上式，可得到000()e(sincos)sincose(sincossin)sin()ttxxttxtAttAt(1-27)上式的第1项为决定于初始条件的自由振动，第2项表示伴生的自由振动。这2项皆因有阻尼的存在而逐渐衰减。第3项是纯强迫振动，其振幅与周期都不随时间而变化，是稳定的周期运动。1.3任意载荷下的强迫振动本节讨论单自由度系统在任意一般性载荷作用下的强迫振动问题。在任意载荷下弹簧-阻尼系统的振动方程为00()()()()(0),(0)mxtcxtkxtPtxxxv(1-28)根据齐次化原理，可将方程(1-28)分解为()()()()(0)0,(0)0mxtcxtkxtPtxx(1-29)和00()()()0(0),(0)mxtcxtkxtxxxv(1-30)对于方程(1-29)，利用动量定理可以将初始时刻的瞬时冲击载荷转化为初始时刻的速度，方程(1-30)可转化为()()()0()d(0)0,(0)mxtcxtkxtPxxm(1-31)这是一个初始位移为0，初始速度为()dPm的自由振动问题，可得方程(1-31)的解为()d(t)esin()()(t)0tPthtxtm(1-32)其中22因此在时间段[0,t]内的任意载荷()Pt可以看作为时间间隔内大量瞬时载荷()dP的叠加，所以载荷()Pt在时刻t的总响应为0()()esindttPxttm(1-33)而对于方程(1-30)，易求得其解为000()e(sincos)txxttxt(1-34)将式(1-33)和式(1-34)相加，得到方程(1-28)的解为0000()()e(sincos)esindtttxPxttxttm(1-35)二、多自由度系统的振动第一章主要讨论了单自由度系统的振动问题。但严格来说，单自由系统是不存在的，它只是实际结构的粗略的简化。在工程中，我们会遇到更加广泛的问题，有些问题必须按多自由度系统来处理，本章将主要讨论多自由度系统的振动。对于多自由度系统，如果考虑阻尼，在外力的作用下的运动方程为()()()tttMXCXKX0(2-1)求解此运动方程一般有两类方法，一类是模态分析法，另一类是直接积分法。本章中将首先介绍多自由度系统无阻尼强迫振动的模态分析法，然后介绍有阻尼的强迫振动的模态分析法。2.1多自由度系统的固有频率和主振型考虑一多自由度系统无阻尼自由振动系统，其计算的关键是求解其自振频率和振型。()()ttMXKX0(2-2)因该方程有解的形式为()sin(t)tXA(2-3)将式(2-3)代入式(2-2)中，有2sin(t)sin(t)MAKA0(2-4)消去sin(t)后，有2KMA0(2-5)该方程有非零解的条件是20KM(2-6)这就是多自由度系统的无阻尼自由振动的广义特征方程，是自然圆频率，对应的频率为2f。如果将特征向量用iΦ来表示，很显然iΦ满足方程2iiiKΦMΦ(2-7)在结构动力学中，iΦ称为结构的振型或模态。在求出系统的各阶自然圆频率i后，再将某一阶固有频率代入方程(2-5)中，可求出对应的特征向量iΦ。2.2主振型的正交性在多自由度系统中，各阶主振型之间存在着正交性。设n维向量ijΦΦ与是相应于n自由度系统自振频率ij与的两个振型，且ij。显然，可以证明0TjiijΦMΦ(2-8)和0TjiijΦKΦ(2-9)式(2-8)和式(2-9)表明了固有振型关于质量阵Μ与刚度阵K的正交性。对于n自由度系统，每一自振频率和振型都应能满足式(2-5)，把它们依次写出来，有211122222...nnnKΦMΦKΦMΦKΦMΦ(2-10)这n个式子可以合并写成如下矩阵形式：2KΦMΦ(2-11)其中212222...n(2-12)称为特征值矩阵。用T左乘式(2-11)的两端，可得2TTΦKΦΦMΦ(2-13)或记为2KM(2-14)其中11220...00...0.........00...TqqKKKKΦKΦ=(2-15)称为主坐标刚度矩阵；11220...00...0.........00...TqqMMMM=ΦΦ=(2-16)称为主坐标质量矩阵。可以看出K，M分别为对角矩阵。2.3模态分析法模态分析法，就是应用由系统各阶主振型组成的模态矩阵作为变换矩阵，对系统原运动方程进行坐标变换，使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角化，得到一组独立的、互不耦合的模态方程，因而可以应用单自由度系统的方法分别求解每一个方程，从而求得多自由度系统的响应的整个过程。现应用模态分析法来计算多自由度系统在外力etF作用下的响应，为了使问题简化，忽略系统阻尼，则系统的运动方程为()()()etttMXKXF(2-17)用模态分析法解上述方程的步骤如下：1)解出系统的各阶固有频率12,,...,n和相应的主振型12,,...,nΦΦΦ，并由此求出模态矩阵Φ。2)用模态矩阵，对原方程作如下的坐标变换：111()()()qituttXΦu(2-18)且原方程变换为模态方程为()()()TetttMXKXΦF(2-19)3）按单自由度系统的方法分别求解模态方程中n个互相独立的方程，求得12,,...,nuuu，而12,,...,nuuu即是以模态坐标表示的系统对外力的响应。4）应用()()ttXu的线性变换，将模态坐标或正则坐标变为物理坐标（即系统原来的广义坐标）。最后求得的这一组物理坐标()tX就是系统运动方程的解。2.3.1无阻尼强迫振动无阻尼多自由度系统的运动方程为()()()etttMXKXF(2-20)一个多自由度系统，在外力激励下的响应主要由其较低的一部分振型决定，则可以将位移向量()tX用前q阶振型的组合来表示，即1122111()()()...()()()qqqitututututtXΦΦΦΦu(2-21)其中12()[()()...()]Tqtutututu(2-22)是广义位移向量，而振型矩阵11121212221212......=(...)=............qqqnnnq(2-23)是一个nq矩阵。式(2-21)表明，原坐标系统中描述的位移()tX通过振型矩阵转化为模态坐标系中的广义位移()tu，将式(2-21)代入方程，可得()()()etttMΦXKΦXF(2-24)将式(2-24)等式左右两端分别左乘矩阵T，可得()()()TTTetttΦMΦXΦKΦXΦF(2-25)由振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性可知11220...00...0.........00...TqqMMMΦMΦM=(2-26)11220...00...0.........00...TqqKKKΦKΦK=(2-27)则式(2-25)可改写为1112221111222212()0...0()0...0............()00...()()0...0()()0...0(...)...............()(00...qqqTqqqqqutMutMutMutFtKutFtKutFKΦΦΦ)t(2-28)它展开为如下q个独立的方程1()()()i1,2,..,niiiiiijijjMutKutFtq(2-29)或21()()()i1,2,..,njijiiijiiFtututqM(2-30)式(2-29)或式(2-30)表示q个互不耦合的二阶线性常微分方程，可以由第一章介绍的方法求解，即()()()cossin()iihipiiiiiputututAtBtut(2-31)将式(2-31)代入式(2-21)，得11()=(cossin)()qqiiiiiipiiitAtBtutXΦΦ(2-32)式(2-32)等号右端第一项是运动方程(2-20)的齐次通解，第二项是方程(2-20)的特解。下面讨论如何由初始条件(0)X和(0)X计算iiAB和。将式(2-32)等号左右两端分别左乘Ti，有1122()=()()...()TTTTiiiqiqtutututXΦΦΦ(2-33)利用振型关于质量阵的正交性，则式(2-33)变换为()()()TTiiiiiiitutMutXΦ(2-34)则()()TiiiitutMX(2-35)由式(2-31)和式(2-35)，有()()cossin()TiiiiiiipiitutAtBtutMX(2-36)则()()sincos()TiiiiiiiiipiitutAtBtutMX(2-37)将初始条件(0)(0)XX和代入式(2-36)和式(2-37)，可得到(0)(0)TiiipiiAuMX(2-38)(0)(0)TipiiiiiiuBMX(2-39)2.3.2有阻尼强迫振动考虑阻尼的多自由度系统，其在外力作用下的运动方程为()()()()ettttMXCXKXF(2-40)将位移向量()tX用前q阶振型的组合来表示，即1122111()()()...()()()qqqitututututtXΦΦΦΦu(2-41)将式(2-41)代入方程(2-40)，可得()()()()ettttMΦuCΦuKΦuF(2-42)将式(2-42)等式左右两端分别左乘矩阵T，可得()()()()TTTTettttΦMΦuΦCΦuΦKΦuΦF(2-43)或()()()()TettttMuCuKuΦF(2-44)式中MK、仍如式()和式()所示，为对角阵。而TCC(2-45)在求解强迫振动方程(2-43)和(2-44)之前，首先研究一下系统的阻尼问题。当采用振型叠加法计算系统动力响应，在将系统的响应从物理坐标变换为模态坐标之后，阻尼矩阵能够转化为对角阵。为了形成非耦合阻尼矩阵，需要引入进一步的假定，现介绍工程中最常用的瑞利阻尼系统。瑞利假定阻尼矩阵为CMK(2-46)式中、为常数。将式(2-46)代入式(2-45)，得+TTCMK(2-47)其中2+()TTiiiiiiiiiiiiiCMKMMK(2-48)方程(2-44)可展开为如下q个独立的方程1()()()()i1,2,..,niiiiiiiiijijjMutCutKutFtq(2-49)或221()()()()()i1,2,..,njijiiiiijiiFtutututqM(2-50)方程(2-49)和方程(2-50)表示q个互不耦合的二阶线性常微分方程，其解仍可写成式(2-31)，待定常数iiAB和仍可由式(2-38)和式(2-39)确定。三、结构振动的有限元计算在前两节中，讨论了具有单自由度系统和多自由系统的振动问题。在实践中，大多数工程振动系统，无论是它的质量还是刚度都具有分布特性，在理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机械系统的复杂性，若按无限多自由度来处理，在数学上至目前为止还无法解决。因此将系统的结构用一些离散的结构来理想化是可取的，从而使无限多自由度问题简化成有限的多自由度问题。这样既能较为精确地反映机械系统的动态特性，又能便于数学上的求解。3.1振动的基本方程基本变量三大类变量(,)iut、(,)ijt和(,)ijt是坐标位置(,,)xyz和时间t的函数，一般将其记为(),(),()iijijuttt。基本方程(1)平衡方程利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有,()()()()0ijjiiitbtutut(3-1)其中为密度，为阻尼系数。(2)几何方程,,1()(()())2ijijjitutut(3-2)(3)物理方程()()ijijklkltDt(3-3)其中ijklD为弹性系数矩阵。(4)边界和初始条件位移边界条件()BCu为()()iiuututonS(3-4)力的边界条件()BCp为()()ijjitnptonS(3-5)初始条件0(,0)()iiutu(3-6)0(,0)()iiutu(3-7)3.2虚功原理基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式,()()0pijjiiiijjiSuubudnpdA(3-8)对该方程右端第一项进行分部积分，并应用高斯-格林 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，整理得()()0pijklijkliiiiiiiiSDuuuudbudpudA(3-9)3.3结构振动的有限元分析列式单元的节点位移列阵为111222()[(),(),(),(),(),()(),(),()]eTtkkktutvtwtutvtwtutvtwtq(3-10)单元内的插值函数为(,)()()etttuNq(3-11)其中()N为单元的形状函数矩阵，与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，为单元中的几何位置坐标。基于上面的几何方程和物理方程及(3-11)式，将相关的物理量表达为节点位移的关系，有，(,)[](,)[]()()()()eeeettttttuNqBq(3-12)(,)()()()()eeeetttttDDBqSq(3-13)(,)()()eetttuNq(3-14)(,)()()etttuNq(3-15)将(3-12)-(3-15)代入到虚功方程(3-9)中，有，[()()()()]()0eeeeeeTetttttttttteMqCqKqFq(3-16)由于()ettq具有任意性，消去该项并简写有，()()()()eeeeeetttttttteMqCqKqF(3-17)其中eeTdMNN(3-18)eeTdCNN(3-19)eeTdKBDB(3-20)eM为单元质量矩阵，eC为单元阻尼矩阵，eK为单元刚度矩阵。同样，将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即ttttMqCqKqF(3-21)其中11111,,,nneetttteennneeeeeeqqFFMMCCKK(3-22)方程(3-21)的解可以用第二章的方法来计算出来。