2021年北京市海淀区高三数学二模试卷 2021.05 参考答案及评分说明

海淀区2020-2021学年第二学期期末练习高三数学参考答案2021.05一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CABBDCDDAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）153答案12648131①③④4三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为BCPC，ACBC，ACPCC，AC平面PAC，PC平面，所以BC平面PAC.又因为BC平面ABC，所以平面ABC平面.（Ⅱ）连结PD，因为PAPC，D是AC的中点，所以ADDC，PDAC.过C作CH//PD，则CHAC.因为平面，CH平面，所以BCCH.又BCAC，如图，以C为原点，分别以CB，CA，CH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.因为AC6,PC5，所以PD4.因为BC6，所以C(0,0,0)，B(6,0,0)，A(0,6,0)，D(0,3,0)，P(0,3,4).因为E是PC的中点，数学答案第1页（共10页）3所以E(0,,2).23所以DE(0,,2)，DB(6,3,0).2设平面DEB的法向量为n(,x,y)z，3DEn0,yz20,z则即2DBn0,P63xy0.令x2，则y4，z3.E所以n(2,4,3).BCx由（Ⅰ）可得：BC平面PAC.D取平面ADE的一个法向量为Aym(1,0,0).mn2229所以cosmn,.|mn|||12929229所以二面角ADEF的余弦值为.29（17）（本小题共14分）解：（Ⅰ）2.（Ⅱ）选择条件①7因为直线x为函数yfx()的图象的一条对称轴，1273所以当时，22k，kZ，122即2k，.3因为||，2所以.3因为f(0)3，3所以AAsin3.32所以A2.所以f(x)2sin(2x).3数学答案第2页（共10页）因为当x[,]时，2[x,].124366所以当2x或时，即当x或时，366124fx()取到最小值，最小值为ff()()1.124选择条件②因为(,0)为函数yfx()的图象的一个对称中心，3所以当x时，22k，kZ，33即2k，.3因为||，2所以.3因为f(0)3，3所以AAsin3.32所以A2.所以fxx()2sin(2).3因为当时，，所以当或时，即当或时，取到最小值，最小值为.（18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名.51所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为.153所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分1以上的概率估计为.3（Ⅱ）记Aii1,2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，Bjj1,2表示“第数学答案第3页（共10页）j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.同（Ⅰ），从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，该女生竞赛成绩在9031分以上的概率估计为，则155PCPAABBAABBAABBAABBAABB12121212121212121212PAP121212121212APBPBPAPAPBPBPAPAPBPBPAP12121212APBPBPAPAPBPB111111111111(1)(1)(1)(1)33553355335511111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)3355335588.225（Ⅲ）参考答案：不能确定是否有12.上述10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以12,是随机的.所以不能确定是否有.（19）（本小题共14分）22,c解：（Ⅰ）由题意知：24,a222abc.a2,解得b3.xy22所以椭圆C的方程为1.43（Ⅱ）设Mm(0,)，Nn(0,)，Exy(,)00.由（Ⅰ）可知F1(1,0)，F2(1,0).因为MF1N90，所以F11MFN0,即(1,)(1,)mn1mn0.所以mn1.又因为MEN90，1所以MENE0，即(,)xymxyn(,)x22y(m)y10.000000m0数学答案第4页（共10页）xy22又因为001，4341所以4()1yymy220.3000m13所以()(3)yym.300m3所以y或ym3.0m0因为点M与点E位于x轴的两侧，即y0与m异号，所以.||PEy3m所以03.||PMmm（20）（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为fx(x)lanx，a所以fx'()1.x所以fa'(1)1．又因为f(1)1，所以曲线yfx()在点(1,f(1))处的切线方程为yax1(1)(1)，即yaxa(1)．（Ⅱ）fx()的定义域为(0,).axafx'()1=.xx当a0时，fx'()0，所以的单调递增区间为.当a0时，令fx()0，得xa.与fx()在区间上的情况如下：x(0,)aa(,)a0极小值数学答案第5页（共10页）所以fx()的单调递减区间为(0,)a，单调递增区间为(a,).（Ⅲ）由（Ⅱ）知：①当a0时，在(0,)上单调递增.所以fx()0至多有一个实根，不符合题意.②当a0时，在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为f(a)aalna.若fa()0，则fx()0，所以fx()0至多有一个实根，不符合题意.若fa()0，即aaaln0，得ae.又f(1)10，且在上单调递减，所以在(0,)a上有唯一零点.因为方程xalnx0有两个不相等的实数根，且较小的实数根为x0，所以在上的唯一零点就是.方法一：所以xax00ln0，xa0(1,).x所以a0.lnx0xx所以“(a1)xa”等价于“(1)00x”，即xxln10000.lnlnxx00由（Ⅱ）知，当a1时，f(x)xlnx的最小值为f(1)1.又因为x01，所以xx00ln1.所以.方法二：a“”等价于“x”.0a1数学答案第6页（共10页）aaaaa22(2)又a0，aaa111a所以a.a1因为fx()在(0,)a单调递减，上aa所以“x”等价于“fx(f)()”，0a10a1aaa即fa()ln0.(*)aaa111因为ae，at令t，则t1，a.a1t1t即等价于ttln0，即tt1ln0.t1所以“(1a)xa”等价于“”.0令gt(t)t1ln，.11t所以gt'()1.tt当t1时，gt'()0，所以gt()在(1,)上单调递增.所以gt()g(1)，而g(1)0.所以tt1ln0成立.所以.（21）（本小题共14分）解：（Ⅰ）XY{1,2}，YX{5}，()()3XYYX.（Ⅱ）①显然X0.若AB中含有一个不在S中的元素，则ASBS1，即ASBSSC1.若AS，且BS，则ASBS0.数学答案第7页（共10页）此时A中最小的元素a1，B中最小的元素b1，所以C中最小的元素ab2.所以1C.因为Sn{1,2,,}，所以SC1，即ASBSSC1.综上，.②由①知.所以()()()()()()ASSABSSBCSSCASSABSSBCSSCSASBCS1.若ASØ，或BSØ，则SASBn.若ASØ，且BSØ，设ASaaa{,,,}12s，BSbbb{,,,}12t，且1aaan12s，1bbbn12t，则SAns，SBnt.若stn，则SASBnstn2.若stn，因为2abababababab1112123tttst，所以ab1112123abab,,,,,,,abababtttst这st1个数一定在集合中，且均不等于1.所以CSst1(n1)stn.所以SASBCSnst2()stnn.所以SASBCS11n.数学答案第8页（共10页）当ABS，Cn{2,3,,2}时，(AS)(SA)(BS)(SB)(CS)(SCn)1.所以()()()()()()ASSABSSBCSSC的最小值是n1.数学答案第9页（共10页）