习题3.11.{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{aa,ab,ba,bb}{-1,1}{11,13,17,19,23,29}⑸{1,2,3,・・・,79}(6){2}2.用描述法表示下列集合:不超过200的自然数的集合;{xIxeNax<200}(2)被5除余1的正整数的集合;{xIxeIa3y(yeNax=5y+1)}+函数y=sinx的值域;{yIyeRa-1
0的解集；x-3{xIxeRax>3}1(6)函数y二的定义域集.x2—3x+2{xIxeRax丰1ax丰2}用归纳定义法描述下列集合:允许有前0的十进制无符号整数的集合；{0丄2,3,4,5,6,7,8,9}匸A如果xeA，则{0x,1x,2x,3x,4x,5x,6x,7x,8x,9x,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}匸A不允许有前0的十进制无符号整数的集合；①｛1,2,34,5,6,7,8,9｝匸A如果xgA，则{xO,xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x&x9}匸A不允许有前0的二进制无符号偶数的集合;1gA如果xgA，则{xO,xl}匸A5的正整数倍的集合.5gA女口果xgA，贝yx+5gA判断下列命题中，哪些是真的，哪些是假的(A是任意集合)：(1)0gA；(2)0匸A；(3)AG{A}；⑷A匸A;(5)AgA;(6)A={A};(7)0={0}.答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。判断下列命题中哪些为真：0g{0,{0}}(2)0匸{0,{0}}(3){0}g{0,{{0}}}⑷{0}匸{0,{{0}}}(5){{0}}g{0,{0}}(6){{0}}匸{0,{0}}(7){{0}}g{0,{0,{0}}}(8){{0}}匸{0,{0,{0}}}⑼{a,b}G{a,b,{a},{b}}(10){a,b}匸{a,b,{a},{b}}0匸{0}(12)0u{0}(13)0u0(14)0g{0}答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。设A和B是集合，A匸B和AgB能同时成立吗？为什么？答：能。当B=AU{A}时，A匸B和AgB同时成立。设A和B是集合，A匸B和BgA能同时成立吗？为什么？答：不能。若A匸B和BgA同时成立，则我们能得到BgB，而这是不可能的。设A，B和C是集合，若AgB，且BgC，则AgC可能成立吗？AgC是否总能成立？为什么？答：AgC可能成立。比如当Bg{A}，C={A,B}时，AgB，BgC和AgC同时成立。但结论不是总成立。比如Bg{A}，C={B}时，AgB且BgC，但AgC不成立。9.设A,B和C是任意集合，证明或否定下列断言：⑴若A匸B，且B匸C，则A匸C结论成立。因为xeAnxeBnxeC,所以A匸C⑵若A匸B，且B匸C，则AeC结论不成立。例如当A二{a},B二{a,b},C二{a,b,c}时，有A匸B，且B匸C，但A电C若AeB，且BeC,则AeCs命题为假。设B={A},C={B},易知AeB，且BeC,但A电C若AeB，且B匸C，则AeC结论成立。(题目有误，应改为“若AeB，且B匸C，则AeC”)AeBAB匸COAeBAVx(xGA—xG©)0Vx(q(xGAVO)3x(xGA)A=©设A,B和C是任意集合.证明或否定下列断言：若A电B,且B电C,则A电C答:此断言不正确。例如当A={a},B={a,b},C={{a},c}时，有A电B和B电C,但AeC若AeB,且B电C,则A电C答:此断言不正确。例如当A={a},B={{a},b},C={{a},c}时，有AeB和B电C,但AeC若A匸B,且B电C,则A电C答:此断言不正确。例如当A={a},B={a,b},C={{a},c}时，有A匸B和B电C,但AeC若AuB,且B电C,则A电C答:此断言不正确。例如当A={a},B={a,b},C={{a},c}时，有AuB和B电C,但AeC证明：A匸0当且仅当A=0证：必要性.因为A匸0和同时成立0匸A，所以A=0.充分性.因为空集是任何集合的子集，而A=0,所以A匸0确定下列哪些集合是相等的：A]={a,b}A2={b,a}A3={a,a,b}A4={a,b,c}A5={xl(x-a)(x-b)(x-c)=0}A6={a,b,d}A7={xl{x2-(a+b)x+ab=0}答:A1,A2,A3,A7相等,A4与A5相等.13・设n个集合A1，码…码满足关系A1匸A2匸...匸3匸A「证明:A1=每二…=证：对任意的2,,,}{<,a>,<,b>}={,}{<,>,<,>,<,>,<,>}{v①,a>,<①,b>,v{a},a>,v{a},b>,v{b},a>,v{b},b>,v{a,b},a>,v{a,b},b>}该命题不一定成立，如A={a,b},B=C={a},(AXA)—(BXC)={va,b>,vb,a>,vb,b>}(A-B)X)(A-C)={}VxGB,aeA,eAXB=AXCnxeCnBUC,同理CUB,故B=C不一定有BUC,若A=①,则AXB=AXC=①，但不一定有B=C，若A丰①，则BUC,证明同习题4.A=①nAXA=①,AXA=BXBnBXB=①nB=①，故A=BA丰①,VxeA,eAXA=BXBnxeBnAUB,同理BUA,故A=B若A=①,则显然成立。若AH①,当B=①时，显然成立；当BH①时，V(x,y)eAxBnxeA,yeBucneAXCnAXBUAC(1)原式不成立。如A={a},B={b}.C={c}.D={d},(AuB)X(CuD)={,,,}(AXC)u(BXD)={,}若A,B,C,D至少有一个为①，则显然成立，若A,B,C,DH①,贝kx,y>e(AnB)X(CnB)OxeAnB,yeCnDOxeA,xeB,yeC,yeDOeAXC,eBXDOe(AXC)n(BXD)故原式成立原式不成立，如A=B={a},C={c}.D={d},(A-B)X(C-D)=①,(AXC)-(BXD)={}原式不成立,如A={a},B={b},C={c},D={d},(A㊉B)X(C㊉D)={va,c>,va,d>,vb,c>,vb,d>},(AXC)㊉(BXD)={va,c>,vb,d>}原式成立,vx,y>e(A-B)XCOxeA-B,yeCOxeA,x纟B,yeCOeAXC,纟BXCOe(AXC)-(BXC)原式成立，左式=((A-B)U(B-A))XC=((A-B)XC)U((B-A)XC)=(AXC-BXC)U(BXC-AXC)=(AXC)㊉(BXC)
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