2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）
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Page8of9北京交通大学2014~2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷
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一．（本题满分10分）将一个表面涂有颜色的正方体等分为1000个小正方体，从这些小正方体中任取一个．令表示所取的小正方体含有颜色的面数，求的分布律（6分）及分布函数（4分）．解：的取值为．，，，．所以，的分布列为由的分布列，知的分布函数为．二．（本题满分10分）设随机变量的密度函数为．⑴求常数（5分）；⑵求的分布函数（5分）．解：⑴由密度函数的性质，得，解方程，得．⑵当时，；当时，；当时，．综上所述，随机变量的分布函数为．三．（本题满分10分）设随机变量的密度函数为．现对进行独立重复观察，令表示随机事件第2次发生时所需要的观察次数．试求随机变量的分布律．解：随机事件的概率．随机变量的可能取值为，而且因此，随机变量的分布律为，．四．（本题满分10分）设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布．令随机变量．⑴试求随机变量的密度函数（5分）．⑵试求（5分）．解：⑴由题意，得，．设随机变量的分布函数为，则当时，；当时，作极坐标变换，则有所以，随机变量的分布函数为所以，随机变量的密度函数为⑵．五．（本题满分10分）设二维随机变量的联合密度函数为求：⑴随机变量边缘密度函数（6分）；⑵方差（4分）．解：⑴．因此，当或者时，．当时，．所以，．⑵．所以，．六．（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件．现从中抽取一件产品，记试求与的相关系数（6分），并判断与是否相互独立（4分）？解：的联合分布律及各自的边缘分布律为0100.10.20.310.700.70.80.2所以，，，，．又，所以，，由于，所以随机变量与相关，从而随机变量与不独立．七．（本题满分10分）记掷颗均匀的骰子点数之和为，求期望（6分）与方差（4分）．解：以表示掷第颗均匀的骰子出现的点数，，则随机变量相互独立，而且同分布，．的分布列为所以，．所以，．因此，．再由的相互独立性，得．八．（本题满分10分）设随机变量与相互独立，而且都服从参数为的指数分布，令，试求二维随机变量的相关系数．解：因为与都服从参数为的指数分布，所以，．于是有，．再由与的相互独立性，得，．．所以有．因此有．九．（本题满分10分）从区间中任意取出两个数，求这两个数的乘积不小于，而且其和不大于的概率．解：设从区间任意取出的两个数分别是与，则随机变量与相互独立，而且都服从区间上的均匀分布．因此二维随机变量的联合密度函数为．所求概率为．由二维连续型随机变量概率的计算方法，有．十．（本题满分10分）某商店按季节出售某种应时商品，每出售1公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量（单位：公斤）是一个随机变量，且服从区间上的均匀分布．为使商店所获利润的数学期望为最大，问该商店应进多少货？解：随机变量的密度函数为设该商店进货公斤，是该商店所得利润，则有即所以，令：则令，得驻点，并且可以判别是函数的最大值点，因此当该商店进货公斤时，商店所得利润的数学期望为最大．1第8页共9页
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